几种特殊类型行列式及其计算

1 行列式的定义及性质
1.1 定义[3]
n 级行列式
1112121
22
212
n n
n n nn
a a a a a a a a a
等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12
12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12
n j j j 是
1,2,
,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当
12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成
()
()
121212
1112121
22
21212
1n n n
n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
这里
12
n
j j j ∑
表示对所有n 级排列求和.
1.2 性质[4]
性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.
性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.
性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.
性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.
性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.
2 行列式的分类及其计算方法
2.1 箭形（爪形）行列式
这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.
例1 计算n 阶行列式
()1
2323111100
1
0001
n n n
a a D a a a a a =≠.
解 将第一列减去第二列的
21a 倍，第三列的3
1a 倍第n 列的
1
n
a 倍，得
1
223
1
11110
000
000
n n n
a a a a D a a ⎛⎫
--
- ⎪⎝
⎭
=
1221n
n
i i i i a a a ==⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
∑
∏. 2.2 两三角型行列式
这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当
b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.
例2 计算行列式
123n
n a c c c b a c c D b
b a
c b
b
b
a =. 解 当
b
c =时
12
3n n
a b b b b a b b D b
b a b b
b
b
a =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即
112131
00000
n
n a b b b
b a a b D b a a b
b a a b
--=----.
用上述特征1的方法，则有
()112
12131
100000000
n
i i n n a b
b a
a b
b
a a
b D b a a b b a a b
=-----=
----∑
()()(
)()
()
11
11
1
n n
i i i n i i a b b a b a b a b a b
-+===-+--
--∑
∏. 当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则
1
12233000n
n
n x a a a x a a a b x a a b x a a D b
b x a b b x a b
b
b
x b
b
b
b x b
++==++-
1
12233000n
x a
a x a
a a
b x a b x
a a
b
b x b b x a b
b b
x b
b
b
b b
=+-
()121100
0n n n x a
a b a x a a
x b D a b a b a x a a b
-----=+----.
化简得
()()(
)()
12
1
1
n n n
n D b x a
x
a x
a
x b
D --=---+-. ()1 而若一开始将n x 拆为n a x a +-，则得
()()(
)()
12
1
1
n n n
n D a x b
x
b x
b
x a D
--=---+-. ()2 由()()()()12n n x b x a ⨯--⨯-，得
()()111n
n n i
j i j D a x b b x a a b ==⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦
∏∏. 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.
例3
计算行列式
()2n d
b
b b
c x a a D n c
a x a c
a
a
x
=≥. 解 将第一行a b ⨯，第一列a
c
⨯，得
22
n a d a a a bc a x a a bc D a
a x a a a
a
a
x
=.
即化为上()21-情形，计算得
()
()()()
1
2
1n n n D d x a n ad bc x a --=-+---.
而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法[8]来简化.
例4 计算行列式
21121221222
1
2
111n n n n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=
+.
解 将行列式升阶，得
122112
1221222
12
1010
10
1n
n
n n n n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++. 将第i 行减去第一行的i
x ()
2,
,i n =倍，得 121
2
11000100
1
n n n
x x x x D x x -=-
-. 这就化为了爪形，按上述特征
1的方法计算可得
2
121
1010000100
1
n
i n i n x x x x D =+=
∑ 21
1n
i i x ==+∑.
2.3 两条线型行列式
这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个
顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.
例5 计算行列式
1
12
2
1
1
n n n n
n
a b a b D a b b a --=
.
解 按第一行展开可得
()
2
213
3
2
2
11
11
1
1
11
1n
n n n n n n n
n n a b b a b a b D a b a b a b a a b +------=+-
()
1
121
2
1
n n
n a a a b b b +=+-.
例6 计算行列式
1
1
1
121
1
1
1
n
n
n n n n n n
n
a b a b a b D c d c d c d ----=
.
解 方法1 直接展开可得
()1
1
1
1
1
11
11221
1
1
1
11
1
100
10
n n n n n
n n
n n n n n n
n
a b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-
()
()1
1
1
1
211
11111
1
11
1
11
1
1n n n n n n n
n n n n n n a b a b a b a b a d b c c d c d c d c d -----+----=--
()()21n n n n n a d b c D -=-.
则
()()()()()()2111121221n
n n n n n n n n n n n n n i i i i n n i D a d b c D a d b c a d b c D a d b c ------==-=--=
=-∏
.
方法
2 (拉普拉斯定理法[3]) 按第一行和第2n 行展开得
()1
1
121211211
1
1
1n n n n
n
n n n
n
n n a b a b a b D c d c d c d --+++--=
-
()()21n n n n n a d b c D -=-. 其余的同法1.
2.4
Hessenberg
型行列式
这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n 行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.
例7 计算行列式
12
3
1110000
22
0220
11n n n D n n
n n
---=
----.
解 将各列加到第一列得
()123120100
0022
0220
000
11n n n n n D n n n n
+---=
--
-
-.
按第一列展开得
()1000220012
2200
011n n n D n n n n
--+=
--
-
-
()()1
1!12
n n -+=-.
2.5 三对角型行列式
形如n a b
c a
b
D c
b c
a
=
的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其
他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的1n -阶行列式再展开即得递推公式. 对这类行列式用递推法[5].
例8 计算行列式
n a b c a b
D c
b c
a
=
.
解 按第一列展开有
12
n n n D aD bcD --=-
解特征方程20x ax bc -+=得
221244,22
a a bc a a bc
x x +---==
. 则
()
()111
21212
,n n n
x x D x x x x ++-=
≠-.
例9 计算行列式
9549
9
54
9
n D =
.
解 按第一行展开得
19200n n D D --+=.
解特征方程得
124,5x x ==.
则
1145n n n D a b --=+.
分别使1,2n =得16,25,a b =-=则
1154n n n D ++=-.
2.6 各行(列)元素和相等的行列式
这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n 行(列)，提取公因式后，再把每一行都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.
例10 计算行列式
1
11222111n n
n
n
a a a a a a D a a a ++=
+.
解 将第2行到第n 行都加到第1行，得
11122211111n n n
n
n
n
n
a a a a a a a a a D a a a +++++
+++
++=
+
()
22
211
1
1111n n
n
n
a a a a a a a a +=+++
+
()
111101010
1
n a a =+++
()11n a a =+++.
2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式
这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行n (列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或1-的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.
若相邻两行(列)元素相差倍数k ，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k -倍，可使行列式出现大量的零元素.
例11 计算行列式
012211
01322
1
4323401
12
310
n n n n n n n D n n n n n ------
=
-----. 解 依次用前行减去后行，可得
11111111111111
1
1
1
1
11123
1
n D n n n ------=
-------.
现将第1列加到第2列至第n 列，得
1000012000122001
2
2
2012324
1
n D n n n n
n ------=
-------
-
()
()
1
2
121n n n --=--. 例11 计算阶n 行列式
2211
3221432342
3
1
11111
n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a
a a a ----------=
.
解 这是相邻两行(列)相差倍数a ，可采用前行减去后行的a -倍的方法化简得
231
10000
010********
10
1
n
n
n
n n
n a a a D a a
a
a
a ----=
-
()
1
1n n a -=-.
2.8 范德蒙德型行列式
这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算.
例12 计算行列式
1111111111222222111
111111n
n n n n
n n n
n n n n n n
n n n
n n n n n n a a b a b b a a b a b b D a b a a b a b b ----+--++++++=
.
解 将第i 行提出n i a ，得
111122
112
21
1
11
11
1
1n
n
n n
n i i n
n n n n b b a a b b D a a a b b a a ++=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪=⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎝⎭
∏
()11
i
j
i j i j n a b
b a ≤≤≤+=
-∏.。