2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学(文)试题

2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学（文科）试题
一、单选题
1．设集合{}2
|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A
B =（ ）
A ．[)21--，
B ．(21)--，
C ．(1
6]-， D ．(31)--，
2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i +
B ．5i -
C ．7i -
D ．7i +
3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．
3
5
B ．
45
C ．35
-
D ．45
-
4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
5
．已知tan α=
，则cos 24πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
（ ） A
．
6
B
． C
D
6．若,x y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则4z x y =+的最大值为（ ）
A ．5-
B ．1-
C ．5
D ．6
7．已知双曲线()22
22:10 ,0x y C a b a b -=>>的焦点到它的渐近线的距离为2
，点
2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B
．
3
C
．
2
D
．
3
8．将函数()36f x sin x π=+
⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的图像向右平移()0m m >个单位长度，
得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．
9
π B ．
29
π C ．
18
π D ．
24
π
9．
已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器
时，液面以上空余部分的高为2h ，则1
2
h h =（ ）
A ．2
1
r r
B ．212
r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3
21r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D
11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]
1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
B ．11,2
⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦
C ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,1
12．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫
⎪⎝
⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．1,33
e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝
⎦⎩⎭
B ．1,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．1,23
e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝
⎦⎩⎭
二、填空题
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则
10S =_________．
14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．
15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=
______.
16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______.
三、解答题
17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC
的中点，且AD =
（1）求A ；
（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且11
3
n n n a a a +-=
+. (1)证明数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21
n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和
大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.
大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表
(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由； (2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.
附：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折
起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.
(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.
21．已知椭圆C ：()2
2211x y a a
+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与
椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足
3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求
||
||
NP PQ 的值. 22．设函数()1
ln f x x t x x
=-
-，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；
(2)当)1(0x ∈，
时，证明2
1
1ln x x x e x x
+--<.
解析
一、单选题
1．设集合{}2
|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A
B =（ ）
A ．[)21--，
B ．(21)--，
C ．(1
6]-， D ．(31)--，
【答案】A
【解析】先求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出A B ．
【详解】
因为{}31, 26|{|}A x x B x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题． 2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i + B ．5i -
C ．7i -
D ．7i +
【答案】D
【解析】由共轭复数的定义求出z ，再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出． 【详解】
因为2z i =+，所以()()1327()z z i i i +⋅=-+=+． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轭复数的定义的应用，属于基础题． 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A ．
3
5
B ．
45
C ．35
-
D ．45
-
【答案】B
【解析】由向量的模的坐标计算公式求出,a b ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅，再根据向量的夹角公式即可求出． 【详解】
由()()2,1,2,4a b ==，得5,25a b ==.设向量a 与b 的夹角为θ，则
84
105
cos θ=
==．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
【答案】A
【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】
水费开支占总开支的百分比为250
20% 6.25%250450100
⨯=++.
故选：A 【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
5．已知tan α=
，则cos 24πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
6
B ．
C ．
46
+D ．
46
- 【答案】D
【解析】利用三角恒等变换与同角三角函数的平方关系将cos 24πα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
化简为关于
tan α的式子，代入tan α=.
【详解】
因为tan α=
cos 2cos 2sin 2422πααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭(
)22cos sin cos 2αααα=-+
)
(
)222222cos sin cos cos sin 2cos sin αααααααα-=
++
+)(
)2221tan 1tan 21tan αα
α
α-=++
+24636
=-
+=
. 故选：D 【点睛】
本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1”在化简中的妙用，属于基础题.
6．若,x y 满足约束条件0
210x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则4z x y =+的最大值为（ ）
A ．5-
B ．1-
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】作出可行域，根据平移法即可求出4z x y =+的最大值． 【详解】
画出可行域，如图所示：
由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1时，z 取最大值5. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题的解法，属于基础题．
7．已知双曲线()22
22:10 ,0x y C a b a b
-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，点
2()P --是双曲线C 上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．
3
C ．
2
D ．
3
【答案】D
【解析】根据题意可知，2b =，2
2184
1a b
-=，222+c b a =，解出,a c ，即可求出． 【详解】
因为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的焦点到它的渐近线的距离为2，所以2b =，
把点()
2P --的坐标代入方程22
214
x y a -=，得218414a -=，29a =，
22213c a b =+=，即3,a c ==c e a =
=
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 8．将函数()36f x sin x π=+
⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的图像向右平移()0m m >个单位长度，
得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．
9
π B ．
29
π C ．
18
π D ．
24
π
【答案】C
【解析】根据平移法则可知， ()3()36
g x sin x m π
=-+，再根据()g x 为奇函数，即
可得到3,6
m k k Z π
π-+=∈，由此解出．
【详解】
由题意知()3()36
g x sin x m π
=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6
m k k Z π
π-+
=∈.
解得,183k m k Z π
π=
-
∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π.
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换以及函数()sin y A ωx φ=+的性质应用，属于基础题．
9．
已知:29p ln ln lna ⋅>，:q 函数()f x lnx a =-在4(0,]e 上有2个零点，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先分别求出,p q 对应的a 的取值范围，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】
对p
，192232ln lna ln ln >⇔
⨯1
3ln 042
ln a a >⋅⇔<<； 对q ， 函数()f x lnx a =-在(40,e ⎤⎦
上有2个零点，即函数()
4
0y lnx x e =<≤与y a =的图象有两个交点，因为44lne =，画出它们的图象，
可知04a <≤，所以,p q q p ⇒⇒，即p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充分条件，必要条件的判断，对数运算性质和对数函数单调性的应用，根据函数零点个数求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则
1
2
h h =（ ）
A ．2
1
r r
B ．212
r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3
21r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D
【答案】B
【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【详解】
在图1中，液面以上空余部分的体积为2
11r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为
222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以2
1221h r h r ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
故选：B 【点睛】
本题考查圆柱的体积，属于基础题.
11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]
1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 A ．3,12⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
B ．11,2
⎡⎤
--⎢⎥⎣
⎦
C ．1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,1
【答案】A
【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3
x
-的最大值和1
x
-
的最小值即可得到结果. 【详解】
()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称
又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数
()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤
121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 3
1a x x
∴-≤≤-在[]1,2上恒成立
312a ∴-
≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
12．已知函数()2x e f x t lnx x x x =-++⎛⎫
⎪⎝
⎭恰有一个极值点为1，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．1,33
e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝
⎦⎩⎭
B ．1,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D ．1,23
e ⎛⎤⎧⎫-∞⋃⎨⎬ ⎥⎝
⎦⎩⎭
【答案】C
【解析】根据题意可知，()()()2
1220
x e x x t x f x x ⎛⎫
-+- ⎪+⎝⎭'==有且只有一个解1x =，因为1x =是它的唯一解，所以方程20x
e t x -+=在()0,∞+上无解，利用导数判断函数
()2
x
g x e x =
+在()0,∞+上的单调性，即可求出． 【详解】
由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()
()2
2112'1x x e f x t x x
x -⎛⎫=-+-
=
⎪⎝⎭
()()()()22
11222x x e x x t t x x e x x x ⎛⎫
-+- ⎪⎡⎤+⎦⎝-⎣⎭+=-
因为()f x 恰有一个极值点为1，所以()'0f x =有且只有一个解，即1x =是它的唯一
解，也就是说另一个方程20x
e t x -+=无解.令()()20x e x g x x +=>，则
()()()
2
1'02x x e g x x +=>+，所以函数()g x 在(0,)+∞上单增，从而()()102
g x g >=，所
以，当12t ≤时，20x
e t x -+=无解，()2x e
f x t lnx x x x =-++⎛⎫ ⎪⎝
⎭恰有一个极值点，所
以实数t 的取值范围是12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
，． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查极值点的存在条件应用，以及利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查学生的数学运算和逻辑推理能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差3d =，且138,,a a a 成等比数列，则
10S =_________．
【答案】175
【解析】根据等差数列{}n a 的通项公式表示出138,,a a a ，列式即可求出首项1a ，从而得到{}n a 的通项公式，再根据等差数列前n 项和公式即可求出． 【详解】
因为138,,a a a 成等比数列，所以()()2
1112373a a a +⨯=+⨯，解得14a =，从而
31n a n =+，所以19109
10431752
S ⨯=⨯+
⨯=. 故答案为：175． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，以及等比中项的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
14．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.直角三角形最短的边称为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从1~5这5个数中随机选取3个不同的数，这三个数为勾股数的概率为______．
【答案】
110
【解析】根据古典概型的概率计算公式即可求出． 【详解】
从这5个数中随机抽取3个整数，所有基本事件个数为10，其中的勾股数为()3,4,5，共1个，故概率110
P =. 故答案为：110
． 【点睛】
本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
15．如图，圆锥VO 的母线长为l ，轴截面VAB 的顶角150AVB ∠=︒，则过此圆锥的项点作该圆锥的任意截面VCD ，则VCD 面积的最大值是___；此时VCD ∠=______.
【答案】
2
12
l 45 【解析】设顶角CVD α∠=，表示出截面VCD 的面积为2
11sin 2
S l α=
，可知当sin 1α=时，VCD 面积的最大值为211
2
S l =，因为VCD 为等腰直角三角形，即可
求出VCD ∠=45． 【详解】
设顶角CVD α∠=，则轴截面VAB 的面积2211
15024
S l sin l =
︒=，
截面VCD 的面积为2
11sin 2
S l α=
．在三角形VAB 和三角形VCD 中，CD AB ≤，所以150a ≤．所以当90a =︒时2112S l =，.因此截面面积的最大值是2
12
l ，此时，因为
VC VD =，所以1
180)92
(045VCD ∠=︒-︒=︒．
故答案为：2
12
l ；45．
【点睛】
本题主要考查三角形面积公式的应用，以及圆锥的结构特征的应用，属于基础题． 16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是______. 【答案】4
【解析】先求出直线PA ，PB 的方程，联立解得12
2
P x x x +=，由点P 是两切线的公共点求得AB 的方程为12
P
x x y ⋅=
+，表示出A ，B 两点到准线的距离之和并化简为()
2
1244
x x ++，从而求得最小值.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，2
22
24
x x y x =-，
联立解得12
2
P x x x +=
，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为
112x y x y =-，222x y x y =-，将P 点坐标代入两方程，得1122,2
,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧
=-⎪⎪⎨
⋅⎪=-⎪⎩
所以直线AB 的方程为
12P x x y ⋅-=-，即12
P
x x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为
1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2
121244424
P x x x x x +=++=+…. 故答案为：4 【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.
三、解答题
17．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=，点D 为边BC
的中点，且AD =
（1）求A ；
（2）若2b c =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3
A π
=
（2
）
【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A ； (2)由AD 为ABC ∆的中线得
2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，同时平方可得22
28c b bc =++，与2b c =联立解出b ，c 的值，
代入三角形面积公式即可得解. 【详解】
解：（1）由()()sin sin sin sin A B a b b C c C +-+=， 可得222a b bc c -+=，
由余弦定理可得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 所以3
A π
=
.
（2）因为AD 为ABC ∆的中线，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r
， 两边同时平方可得2
2
2
42cos AD AB AC AB AC A =++⋅， 故2228c b bc =++.
因为2b c =，所以2c
=，4b =. 所以ABC ∆的面积1
sin 2
ABC S bc A ∆==. 【点睛】
本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且11
3
n n n a a a +-=
+. (1)证明数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. (2)若21
n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
【答案】（1）见解析，12
n n
a =
-（2）()121n n S n =-+ 【解析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并通过数列
11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的通项公式得到数列{}n a 的通项公式； (2)因为1221
n
n n n b n a -=
=⋅+，根据错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 【详解】
(1)因为11
3
n n n a a a +-=
+ 两边都加上1，得()
12113
n n n a a a +++=
+
所以11
1211
112121
n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n n a a +-=++， 所以数列11n a ⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭
是以12为公差，首项为11112a =+的等差数列． 所以112n n a =+，即12
n n a =-．
(2)因为1221
n
n n n b n a -=
=⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和，121112232...2n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅①
则1232122232...2n
n S n =⨯+⨯+⨯++⋅，②
由-①②，得()121
111212122121n n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=---，
所以()121n
n S n =-⋅+．
【点睛】
本题主要考查等差数列的证明，等差数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
19．《中央广播电视总台2019主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李宏岩等17位担任专业评审.从2019年10月26日起，每周六20:00在中央电视台综合频道播出，某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于80分钟的学生称为“赛迷”.
大一学生场均关注比赛时间的频率分布直方图大二学生场均关注比赛时间的频数分布表
(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；
(2)已知抽到的100名大一学生中有男生50名，其中10名为“赛迷”.试完成下面的22
⨯列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
【答案】（1）大一学生是“赛迷”的概率大.（2）表见解析，没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关.
【解析】(1)根据频率分布直方图可求出大一学生是“赛迷”的概率为0.25，由频数分布表可求出大二学生是“赛迷”的概率为0.22,所以大一学生是“赛迷”的概率大；
(2)根据(1)中结论，可知“赛迷”有25人，非“赛迷”有75人，即可完成22
⨯列联表，计
算出2K 的观测值，与临界值2.706比较，即可判断是否有90%把握． 【详解】
(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“赛迷”的概率
()10.00250.010200.25P =+⨯=，
由频数分布表可知，大二学生是“赛迷”的概率
2166
0.22100
P +=
=， 因为12P P >，所以大一学生是“赛迷”的概率大. (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “赛迷”有()0.00250.010*******+⨯⨯=(人)， 非“赛迷”有1002575-=(人)，
22⨯列联表如下:
则2
100401535104
1.333,752550503
()K ⨯⨯⨯=
=≈⨯⨯⨯-
因为1.333 2.706<，所以没有90%的把握认为“赛迷”与性别有关. 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图以及频数分布表的应用，填写22⨯列联表，以及独立性检验的基本思想的应用，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题． 20．如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边126,4,AB F F D C ==、是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿, CE DE 将四边形2BCEF 和2ADEF 折起，使12F F 、重合于点F ，得到如图2所示的几何体.在图2中，M N 、分别为CD EF 、的中点.
(1)证明:MN ⊥平面ABCD (2)求几何体ABF DCE -的体积.
【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)根据线面垂直的判定定理，可证BC ⊥平面CDN ，所以平面CDN ⊥平面ABCD ，再根据面面垂直的性质定理，
证出MN CD ⊥，即可证出MN ⊥平面ABCD ； (2)由题可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等，即可求出． 【详解】
(1)证明:连接,CF DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且 60CEF ∠=︒，
所以CEF △是正三角形，从而CN EF ⊥. 同理可证，DN EF ⊥ 所以EF ⊥平面CDN .
又// EF BC ，所以BC ⊥平面CDN ， 因为BC ⊂平面ABCD ， 所以平面CDN ⊥平面ABCD .
易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥， 所以MN ⊥平面ABCD .
(2)由(1)可知，几何体 ABF DCE -为三棱柱，它的体积与以CDN △为底面，以EF 为高的三棱柱的体积相等.
因为CN DN MN ====.
所以1
22
CDN
S =⨯=
所以2ABF CDE
CDN
V
S
EF -=⋅==【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及棱柱的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力和转化能力，属于中档题．
21．已知椭圆C ：()2
2211x y a a
+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与
椭圆C 交于A ，B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足
3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求
||
||
NP PQ 的值. 【答案】（1）2
213
x y += （2）257
【解析】(1)由题意知ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形，从而求得B 点坐标，代入椭圆方程求出a ，即可得解；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，直线
MN 的方程与椭圆方程联立求出12x x +=
，1234x x =，1214y y =-，利用计算出
点Q 的坐标, 因为点Q 在椭圆C 上，所以2
2
3313
x y +=，整理得
()()2
222211221212222913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，因为1212103x x y y +=， 221113x y +=，22221
3
x y +=，方程解得257m =，即||25||7NP PQ =. 【详解】
解：（1）因为直线AB 的斜率为1，且OB AB ⊥， 所以ABO ∆是以AO 为斜边的等腰直角三角形， 从而有,22a a B ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭， 代人椭圆C 的方程，得2
1144
a +=，解得23a =，
所以椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=.
（2）由（1
）得)
F
，所以直线MN
的方程为y x =设点()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，
将y x =-2
213
x y +=
，得2430x -+=，
所以122
x x +=
，1234x x =，
所以(
1212
1
4
y y x x
=-=-. 因为3OP PM =，所以34OP OM =
，所以1133,44P x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 设
||||NP m PQ =，则NP mPQ =，121231313333,,4444x x y y m x x y y ⎛⎫⎛
⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 所以3123
123(1)1,43(1)1.4m x x x m m
m y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨
+⎪=-⎪⎩
因为点Q 在椭圆C 上，所以2
2
3313
x y +=，
所以()()22
121231*********m m x x y y m m m m ++⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
整理得，()()2
222211*********
913111111163323m m x y x y x x y y m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 由上得1212103x x y y +=，且可知22
1113x y +=，222213
x y +=，
所以()2
22
9111
16m m m ++=，整理得2718250m m --=， 解得25
7
m =或1m =-（舍去），即||25||7NP PQ =. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.
22．设函数()1
ln f x x t x x
=-
-，其中()0,1,x t ∈为正实数. (1)若不等式()0f x <恒成立，求实数t 的取值范围；
(2)当)1(0x ∈，
时，证明2
1
1ln x x x e x x
+--<. 【答案】（1）(]
0,2（2）见解析 【解析】
(1)讨论研究函数()1
ln f x x t x x
=--的单调性，求出函数()f x 在()0,1x ∈上的最大值．要不等式()0f x <恒成立，只需最大值小于零，即可求出．
(2)将原不等式等价变形为21ln 1x x e x x x ->+，由(1)可知212ln x x x ->，试证21x
e x <+在
)1(0x ∈，时恒成立，即可由不等式性质证出21
1ln x x x e x x
+-
-<． 【详解】
（1）由题意得()222
11
'1t x tx f x x x x -+=+-=
设()()2
101h x x tx x =-+<<，则2
4,0t t =->，
①当240t -≤时，即02t <≤时，()0f x '≥ ，
所以函数()f x 在()0,1上单调递增，()()10f x f <=，满足题意；
②当240t ->时，即2t >时，则()h x 的图象的对称轴12
t
x => 因为()()01,120h h t ==-<，
所以()h x 在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则当()10,x x ∈时，()()0,'0h x f x >>，
当()1,1x x ∈时，()()0,'0h x f x <<，
所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,1x 上单调递减， 此时()()1max 10x f f f =>=，不合题意． 综上可得，实数t 的取值范围是(]
0,2．
（2）321ln x
x x x e x x +--<等价于()
()211ln x x x e x x
-+<
因为()0,1x ∈，所以0lnx <，所以原不等式等价于21ln 1x
x e x x x ->
+， 由(1)知当2t =时，120x lnx x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得21
2ln x x x
->
令()()011
x
e m x x x =<<+，则()()2'01x xe m x x =>+，
所以函数()m x 在区间()0,1上单调递增，
所以()()21221ln x e m x x m x -<=<<，即21ln 1
x
x e x x x ->
+在()0,1上恒成立. 所以，当()0,1x ∈时，恒有2
1
1ln x x x e x x
+-
-<， 【点睛】
本题主要考查利用导数解决函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想，转化思想的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题．。