福建省长汀县第一中学高三下学期第一次综合测试数学(

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．若是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为
A ．
B ．
C ．
D ．
3．某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这
些数据的中位数是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的值为，则输入的值为
A ．
B ．
C ．
D ． 5．若，，且构成等比数列，则
A ．有最小值4
B ．有最小值4
C ．无最小值
D ．有最小值2 6．圆在点处的切线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是
A ．
B ．
C ．
D ． 8．设，那么“”是“”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点在直线上，则其渐近线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知()21
()cos sin cos 02
f x x x x ωωωω=⋅-
>的图象与的图象的两相邻交点间的距离为，要得到的图象，只须把的图象
A ．向左平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向
右平移个单位
11．已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，．若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为 A ．或 B ．或 C ．或 D ． 12．如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P ，以为球心，为半径作一个球.设，记该球面
与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题
卡的相应位置．
13．已知向量，，若，则实数等于 ． 14．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数
AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：为优，为良，为轻度污染，为中度污染，为重度污染，300以上为严重污染．2015年1月5日出版的《A 市早报》报道了A 市2014年9月份中30天的AQI 统计数据，右图是根据统计数据绘制的频率分布直方图. 根据图中的信息可以得出A 市该月环境空气质量优良的总天数为 ．
15．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为
的正方形，则原平面图形的面积为 ．
16．对于个互异的实数，可以排成行列的矩形数阵，右图所示的行列的矩形数阵就是其中之一．
将个互异的实数排成行列的矩形数阵后，把每行中最大的数选出，记为，并设其中最小的数为；把每列中最小的数选出，记为，并设其中最大的数为.
1261
26
126
x x x y y y z z
z
两位同学通过各自的探究，分别得出两个结论如下：
①和必相等；②和可能相等；
③可能大于；④可能大于．
以上四个结论中，正确结论的序号是__________________（请写出所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在某次模块水平测试中，某同学对于政治、历史、地理这三个学科每个学科是否能达到优秀水平的概率都为，记政治、历史、地理达到优秀水平的事件分别为、、，未达到优秀水平的事件分别为、、．
（Ⅰ）若将事件“该同学这三科中恰有两科达到优秀水平”记为，试求事件发生的概率；
（Ⅱ）请依据题干信息，仿照（Ⅰ）的叙述，设计一个关于该同学测试成绩情况的事件，使得事件发生的概率大于，并说明理由．
18．已知外接圆的半径为，且．
（Ⅰ）求边的长及角的大小；
（Ⅱ）从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，试判断的形状．
19．在数列和等比数列中，，，．
（Ⅰ）求数列及的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
20．已知长方体中，底面为正方形，面，，，点在棱上，且．
（Ⅰ）试在棱上确定一点，使得直线平面，并证明；
（Ⅱ）若动点在底面内，且，请说明点的轨迹，并探求长度的最小值．
21．已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．
①求的值；
②若的坐标为，求实数的取值范围．
22．定义域为的函数，其导函数为．若对，均有，则称函数为上的梦想函数． （Ⅰ）已知函数，试判断是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由； （Ⅱ）已知函数（，）为其定义域上的梦想函数，求的取值范围；
（Ⅲ）已知函数()sin 1h x x ax a =++-（，）为其定义域上的梦想函数，求的最大整数值．
2015届高三文科数学试题 参考解答及评分标准
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分.
13． 14． 15． 16．②③
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想
等．满分12分．
解：（Ⅰ）依题意，总的基本事件有“，，，，，，，”，共种，………………2分
事件包含的基本事件有“，，”，共种，…4分
由于每个基本事件发生的可能性都相等，故事件发生的概率．……6分
（Ⅱ）方案一：记“该同学这三科中至少有一科达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分
理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分
由于每个基本事件发生的可能性都相等，所以．……12分
方案二：记“该同学参加这次水平测试成绩不全达到优秀水平”的事件为，则事件发生的概率大于.…………8分
理由：事件包含的基本事件有“，，，，，，”，共种，……10分
由于每个基本事件发生的可能性都相等，故．………12分
18．本小题主要考查向量的数量积、几何概型、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想等. 满分12分.
解：（Ⅰ）依题意
1
cos
2
OA OB OA OB AOB
⋅=⋅⋅∠=-，………………2分
得，又，故，…4分又为等腰三角形，故，…………5分
而或
12
(2)
23
C AOB
π
π
∠=-∠=．………………6分
（Ⅱ）依题意，从圆内随机取一个点，取自内的概率，
1 9．本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想等. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）依题
意，，………………2分
设数列的公比为，由，可知，………3分 由，得，又，则，………4分
故n
n n n q b b 222111=⋅==--，………5分
又由，得．………………6分 （Ⅱ）依题意．………………7分
n n n n n S 2)1(2)2(2221201321⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=- ， ①
则1
4322)1(2)2(2221202+⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n S ②……9分
①-②得21231
122222(1)2(1)212
n n n n n S n n +++--=++⋅⋅⋅+--⋅=--⋅-，
…………11分
即1
2)2(4+⋅-+-=-n n n S ，故．………………12分
解法二：（Ⅰ）依题意为等比数列，则（常数），
由，可知，………………2分 由，
得（常数），故为等差数列，…………4分
设的公差为，由，220213=+=+=d d a a ，得， 故．…………6分 （Ⅱ）同解法一．
20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论
证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分12分. 解：（Ⅰ）取的四等分点，使得，则有平面. 证明如下：………1分
因为且，
所以四边形为平行四边形，则，………2分 因为平面，平面，所以平面．………4分
（Ⅱ）因为,所以点在平面内的轨迹是以为圆心，半径等于2的四分之一圆弧． (6)
分
因为，面，所以面， ………………7分
故
EF ==．………………8分
所以当的长度取最小值时，的长度最小，此时点为线段和四分之一圆弧的交点，………………10分
即11523E F E A AF =-=-=，
所以EF =
=
即长度的最小值为．………………12分
21．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，
考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分． 解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（），………………1分
由，，得，
由，可得，………………3分 故椭圆的方程为．………………4分
（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，………………5分
由，且存在，得，
则2
2
2121211222212121
y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅=+--.………………6分
∵，在椭圆上，∴，，………7分 两式相减得，， ∴．………………8分 ②若的坐标为，则，由①可得. 设直线（），
由222,1,43
y x m y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2216123120x mx m -+-=，…… ……9分 所以.
∵，∴，. …………10分
又由()()
2
2
124163120m m ∆=--⋅⋅->，解得，………………11分
∴且．………………12分
解法二：①设直线（），
若，则
由满足（，），得，
∵直线的斜率存在，∴. ………5分
由122,
1,43
y k x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22211(43)63120k x k mx m +++-=……(*).……………6分 ∵、，∴. ………7分
∵12112()2y y k x x m +=++，满足，
∴直线的斜率212121112121
4323y y k m k k k x x x x k ++==+=-
++， 经化简得. ………9分
②若的坐标为，则，由①可得. ………10分 ∴方程(*)可化为2216123120x mx m -+-=，
下同解法一.
所以．………………8分 （Ⅲ），由题意在恒成立，
故cos sin 1x a x ax a +>++-，即在上恒成立．
①当时，0cos0sin012a ⋅<-+=显然成立；……………9分 ②当时，由可得对任意恒成立. 令cos sin 1()x x F x x -+=
，则2
(sin cos )(cos sin 1)
'()x x x x x F x x
--⋅--+=，…10分 令)1sin (cos )cos sin ()(+--⋅--=x x x x x x k ，
则'()(sin cos )sin()4
k x x x x x π
=-⋅=
⋅-．
当时，因为，所以在单调递减； 当时，因为，所以在单调递增．
∵，()104
4
k π
=-
-<， ∴当时，的值均为负数.
∵()104
k π
=-<，， ∴当时，
有且只有一个零点，且. ……………11分 ∴当时，，所以，可得在单调递减； 当时，，所以，可得在单调递增． 则00min 00
cos sin 1
()()x x F x F x x -+==
．…………12分
因为，所以00000cos sin 1(sin cos )x x x x x -+=--⋅，
min 0000()()sin cos )4
F x F x x x x π
==--=+．…………13分
∵在单调递增，，， ∴，
所以01)04
x π
-<+
<，即．
又因为，所以的最大整数值为．…………14分。