南京市第一学期九年级数学期末试卷(含解析)

南京市第一学期九年级数学期末试卷（含解析）
一、选择题
1．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（） A ．2：3
B ．2：3
C ．4：9
D ．16：81
2．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．30°或150°
D ．45°或135°
3．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
4．已知34
a b
=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．
34a b = B ．34a b =
C ．
43
b a = D ．43a b =
5．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ） A ．9︰16
B ．3︰4
C ．9︰4
D ．3︰16
6．在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+2cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．75° C ．105°
D ．120°
7．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）
A ．1x =
B ．2x =
C ．1x =或2x =
D ．1x =-或2x =- 8．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．265cm π
B ．290cm π
C ．2130cm π
D ．2155cm π
9．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=
C ．233(1)10x ++=
D ．233(1)3(1)10x x ++++=
10．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =-- 11．已知α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根，则αβ+的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 12．方程2x x =的解是（ ）
A ．x=0
B ．x=1
C ．x=0或x=1
D ．x=0或x=-1
13．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．80°
D ．100°
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm
15．如图，AB 为
O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长
BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )
A ．54
B ．36
C ．32
D ．27
二、填空题
16．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距
15m ，则树的高度为_________m.
17．圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的全面积为_______cm 2.
18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．
19．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程____．
20．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长10m ，则旗杆高为______． 21．方程22x x =的根是________．
22．如图，五边形 ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， AF 是⊙O 的直径，则∠ BDF 的度数是___________°．
23．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线
OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为
__________．
24．如图，已知△ABC 3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于_____（结果保留根号）．
25．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．
26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，6AC =，8BC =，D 、E 分别是边BC 、
AC 上的两个动点，且4DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则1
4
PA PB +的最小
值为__________．
27．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则
2
MN
PM ＝_____．
28．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．
29．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．
30．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，则y 1_____y 2．(填“＞”“＜”或“＝”)
三、解答题
31．⊙O 中，直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，且60DEB ∠=︒，求CD 的长．
32．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点，取EF 中点G ，连接DG 并延长交AB 于点M ，延长EF 交AC 于点N 。

（1）求证：∠FAB 和∠B 互余；
（2）若N 为AC 的中点，DE=2BE ，MB=3，求AM 的长.
33．某公司经销一种成本为10元的产品，经市场调查发现，在一段时间内，销售量y （件）与销售单价x （ 元/件 ）的关系如下表：
()x 元/件 ⋯ 15 20 25 30 ⋯ y()件 ⋯
550
500
450
400
⋯
设这种产品在这段时间内的销售利润为w （元），解答下列问题： （1）如y 是x 的一次函数，求y 与x 的函数关系式； （2）求销售利润w 与销售单价x 之间的函数关系式； （3）求当x 为何值时，w 的值最大？最大是多少？
34．某市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了四次测试，测试成绩如表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 甲 9 8 8 7 乙
10
6
7
9
（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）分别计算甲、乙两人四次测试成绩的方差；根据计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由．
35．如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm ，面积是242cm ，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？
四、压轴题
36．如图，等边ABC 内接于O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连
接AP 、BP ，过点C 作CM
BP 交PA 的延长线于点M ．
（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；
（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度．
37．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，0是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与BC 边交于点E 、F ，连接OD ，已知BD=3，tan ∠BOD=34
，CF=83．
（1）求⊙O 的半径OD ； （2）求证：AC 是⊙O 的切线； （3）求图中两阴影部分面积的和．
38．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2
y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．
39．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线2
12
y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）
40．如图，抛物线y ＝﹣(x +1)(x ﹣3)与x 轴分别交于点A 、B (点A 在B 的右侧)，与y 轴交于点C ，⊙P 是△ABC 的外接圆．
(1)直接写出点A 、B 、C 的坐标及抛物线的对称轴； (2)求⊙P 的半径；
(3)点D 在抛物线的对称轴上，且∠BDC ＞90°，求点D 纵坐标的取值范围；
(4)E 是线段CO 上的一个动点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转45°得线段AF ，求线段OF 的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据面积比为相似比的平方即可求得结果.
【详解】
解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：4
9=
2 3
.
故选B.
【点睛】
本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA ＝OB ＝3， ∵AB ＝
， ∴OA 2+OB 2＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°，
∴劣弧AB 的度数是90°，优弧AB 的度数是360°﹣90°＝270°， ∴弦AB 对的圆周角的度数是45°或135°， 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC 的性质即可解题. 【详解】
解：∵∠ADC=110°,即优弧ABC 的度数是220°, ∴劣弧ADC 的度数是140°, ∴∠AOC=140°, ∵OC=OB, ∴∠OCB=1
2
∠AOC=70°, 故选D. 【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解：由
34
a b
=，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确； B.由等式性质可得：4a=3b ，错误； C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确； D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B.
【点睛】
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果． 因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B. 考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】
由题意得，sinA-
12=0，2
-cosB=0，
即sinA=
12，2
=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=105°， 故选C ． 【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】
解：∵(1)(2)0x x --=， ∴x －1=0或x －2=0， 解得：1x =或2x =. 故选：C. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.
【详解】
解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积
=2265590cm πππ+⨯=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】
解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为2
33(1)3(1)10x x ++++=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 10．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ． 11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求出αβ+的值．
【详解】
解：∵α、β是一元二次方程22210x x --=的两个实数根 ∴212αβ-+=-
= 故选C ．
【点睛】
此题考查的是根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和=b a
-是解决此题的关键． 12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解：2x x =，
方程整理，得，x 2-x=0
因式分解得，x （x-1）=0，
于是，得，x=0或x-1=0，
解得x 1=0，x 2=1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．
13．A
解析：A
【解析】
试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．
解：连结BC ，如图，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
∴∠ADC=∠B=40°．
故选A ．
考点：圆周角定理．
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ， ∴DM=12
CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠
【详解】
切线性质得到90BAO ∠=
903654AOB ∴∠=-=
OD OA =
OAD ODA
∠=∠
∴
AOB OAD ODA
∠=∠+∠
27
ADC ADO
∴∠=∠=
故选D
【点睛】
本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键二、填空题
16．7
【解析】
设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
解析：7
【解析】
设树的高度为x m，由相似可得
6157
262
x+
==，解得7
x=，所以树的高度为7m
17．24π
【解析】
【分析】
利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．
【详解】
解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，
∴底
解析：24π
【解析】
【分析】
利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，表面积＝底面积＋侧面积＝π×底面半径2＋底面周长×母线长÷2．
【详解】
解：∵圆锥母线长为5cm，圆锥的高为4cm，
∴底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，
∴侧面面积＝1
2
×6π×5＝15π；
∴底面积为＝9π，
∴全面积为：15π＋9π＝24π．故答案为24π．
【点睛】
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
18．115°
【解析】
【分析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和
∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连
解析：115°
【解析】
【分析】
根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．
【详解】
解：连接OC，如右图所示，
由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，
∴∠COB=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=115°，
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
19．720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019 解析：720（1+x）2=845．
【解析】
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，即可得出方程．
【详解】
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，
则2018的全年收入为：720×（1+x）
2019的全年收入为：720×（1+x）2．
那么可得方程：720（1+x）2=845．
故答案为：720（1+x）2=845．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
20．20m
【解析】
【分析】
根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设旗杆的高度为xm，
根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：：10，
解得．
故答案是：20m．
解析：20m
【解析】
【分析】
根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．
【详解】
解：设旗杆的高度为xm，
=：10，
根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：80x
=．
解得x20
故答案是：20m．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
21．x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x(x -2)=0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一
解析：x 1＝0，x 2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-2)=0，
x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：x 1＝0，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
22．54
【解析】
【分析】
连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到
∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=1
解析：54
【解析】
【分析】
连接AD ，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据五边形的内角和得到∠ABC=∠C=108°，求得∠ABD=72°，由圆周角定理得到∠F=∠ABD=72°，求得∠FAD=18°，于是得到结论．
【详解】
连接AD ，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠ABC=∠C=108°，
∴∠ABD=72°，
∴∠F=∠ABD=72°，
∴∠FAD=18°，
∴∠CDF=∠DAF=18°，
∴∠BDF=36°+18°=54°，
故答案为54．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题．23．【解析】
【分析】
圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON、ND、PN，设圆C的半径为r，再
解析：4223
【解析】
【分析】
圆C过点P、Q，且与OB相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON、ND、PN，设圆C的半径为r，再根据等腰直角三角形的性质即可用r表示出CD、NC，最后根据勾股定理列方程即可求出r．
【详解】
解：如图所示，圆C过点P、Q，且与OB相切于点M，连接CM，CP，过点C作
CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D
∵2OP =，6OQ =，
∴PQ=OQ －OP=4
根据垂径定理，PN=
122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4
在Rt △OND 中，∠O=45°
∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，=设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r
∵圆C 与OB 相切于点M ，
∴∠CMD=90°
∴△CMD 为等腰直角三角形
∴CM=DM=r ，=
∴NC=ND －CD=4
根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2
即()22242r -+=
解得：12r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．
24．【解析】
【分析】
如图，过点F 作FH⊥AE 交AE 于H ，过点C 作CM⊥AB 交AB 于M ，根据等边三角形的性质可求出AB 的长，根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形，可得出AE 的长，根据角的和差
解析：34
- 【解析】
【分析】
如图，过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ，过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ，根据等边三角形的性质可求出AB 的长，根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形，可得出AE 的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH ＝HF ＝x ，利用∠EFH 的正确可用x 表示出EH 的长，根据AE=EH+AH 列方程可求出x 的值，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】
如图，过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ，过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ，
∵△ABC 是面积为3的等边三角形，CM ⊥AB ， ∴12×AB×CM ＝3，∠BCM ＝30°，BM=12
AB ，BC=AB ， ∴CM=22AB BM -=
3AB ， ∴12×AB×3AB ＝3， 解得：AB ＝2，（负值舍去）
∵△ABC ∽△ADE ，△ABC 是等边三角形，
∴△ADE 是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，
∵FH ⊥AE ，
∴∠AFH ＝45°，∠EFH ＝30°，
∴AH ＝HF ，
设AH ＝HF ＝x ，则EH ＝xtan30°＝
33x ． ∵AB=2AD ，AD=AE ，
∴AE ＝
12AB ＝1， ∴x+3x ＝1， 解得x ＝3333
-=+． ∴S △AEF ＝
12×1×33-＝334-． 故答案为：334
-．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性质得出△ADE 是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
25．24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
解析：24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=1
2
×8π×6=24π（cm2）．
故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周
长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=1
2
•l•R，（l为弧长）．
26．【解析】
【分析】
先在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理求出AF，即可解答．
【详解】
解：如图：在CB上取一点F，使得CF=，再连接PF、AF，
解析：
2
【解析】
【分析】
先在CB上取一点F，使得CF=1
2
，再连接PF、AF，然后利用相似三角形的性质和勾股定理
求出AF，即可解答．【详解】
解：如图：在CB上取一点F，使得CF=1
2
，再连接PF、AF，
∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，
∴PC=1
2
DE=2，
∵
1
4
CF
CP
=，
1
4
CP
CB
=
∴CF CP CP CB
=
又∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，
∴
1
4 PF CF
PB CP
==
∴PA+1
4
PB=PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF=
2
222
1145
6
2
CF AC
⎛⎫
+=+=
⎪
⎝⎭
∴PA+1
4
PB ≥.
145
2
∴PA+1
4
PB的最小值为
145
，
故答案为145
．
【点睛】
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造相似三角形是解答本题的关键．
27．【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P的坐标，然后设出点M、点N的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1
解析：【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2
MN PM 即可解答本题． 【详解】
解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1，2），
设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121
a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2
MN PM ． 28．【解析】
【分析】
设AB ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB ＝AD ＝4时，BD 的值最小，根据条件可知A ，B ，C ，D 四点在以BD 为直径的圆上．
解析：
【解析】
【分析】
设AB ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由勾股定理可得BD 2＝x 2+(8﹣x )2，由二次函数的性质可求出AB ＝AD ＝4时，BD 的值最小，根据条件可知A ，B ，C ，D 四点在以BD 为直径的圆上．则AC 为
直径时最长，则最大值为．
【详解】
解：设AB ＝x ，则AD ＝8﹣x ，
∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，
∴BD 2＝x 2+(8﹣x )2＝2(x ﹣4)2+32．
∴当x ＝4时，BD 取得最小值为．
∵A ，B ，C ，D 四点在以BD 为直径的圆上．如图，
∴AC 为直径时取得最大值．
AC 的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 29．2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则
解析：2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm
以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，
①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，
352
x x =-， 解得x ＝2或3．
②当AD ：BC ＝PA +PB 时，3=25x x
-，解得x ＝3， ∴当A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，AP 的值为2或3． 故答案为2或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
30．>
【解析】
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1 和y2的大小关系．
【详解】
解：∵二次
解析：>
【解析】
【分析】
根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1和y2的大小关系．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵该函数经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
31．26（cm）
【解析】
【分析】
先求出圆的半径，再通过作OP⊥CD于P，求出OP长，再根据勾股定理求出DP长，最后利用垂径定理确定CD长度.
【详解】
解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB3，
∴PD22
6，
00
D P
∴CD＝2PD＝6（cm）．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造直角 三角形及构造出符合垂径定理的条件是解答此题的关键.
32．（1）见解析；（2）AM=7
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一可证得AD ⊥BC ，根据直角三角形两锐角互余可证得结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE 即可得∠GDE=∠GED ，证明△DBM ∽△ECN ，根据相似三角形的性质即可求得NC ，继而可求AM.
【详解】
解：（1） ∵AB=AC ，AD 为∠BAC 的角平分线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠FAB+∠B=90°.
（2）∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，
∴BD=CD ，
∵DE=2BE ，
∴BD=CD=3BE ，
∴CE=CD+DE=5BE ，
∵∠EDF=90°，点G 是EF 的中点，
∴DG=GE ，
∴∠GDE=∠GED ，
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∴△DBM ∽△ECN ，
35
MB BD NC CE ∴== ∵MB=3，
∴NC=5，
∵N 为AC 的中点，
∴AC=2CN=10，
∴AB=AC=10,
∴AM=AB-MB=7.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.熟练掌握等腰三角形三线合一是解决（1）的关键；（2）问的关键是能证明△DBM ∽△ECN.
33．（1）10700y x =-+；（2）(10)(10700)w x x =--+；（3）当40x =时，w 的值最大，最大值为9000元
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出二次函数即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可得到最大值.
【详解】
(1)设y 与x 的函数关系式为y=kx+b
把（15，550）、（20，500）代入得5501550020k b k b =+⎧⎨=+⎩
解得10700k b =-⎧⎨=⎩
∴10700y x =-+
（2）∵成本为10元，故每件利润为（x-10）
∴销售利润(10)(10700)w x x =--+
（3）(10)(10700)w x x =--+=210(40)9000x --+
∵-10＜0，
∴当40x =时，w 的值最大，最大值为9000元.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，理解题意抓住相等关系函数解析式是解题的关键．
34．（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，（2）推荐甲参加省比赛更合适．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据平均数的计算公式即可得甲、乙两名运动员的平均成绩；
（2）根据方差公式即可求出甲、乙两名运动员的方差，进而判断出荐谁参加省比赛更合适．
【详解】
（1）甲的平均成绩是：
（9+8+8+7）÷4＝8，
乙的平均成绩是：
（10+6+7+9）÷4＝8，
（2）甲的方差是：
()()()()22229-8+8-8+8-8+7-148⎡⎤⨯⎣
⎦＝12， 乙的方差是：
()()()()2222-8+6-8+7-8+9-814⎡⎤⨯⎣
⎦10＝52． 所以推荐甲参加省比赛更合适．理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但是甲的四次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，
故推荐甲参加省比赛更合适．
【点睛】
本题考查了方差、算术平均数，解决本题的关键是掌握方差、算术平均数的计算公式．
35．一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．
【解析】
【分析】
可设较短的直角边为未知数x ，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．
【详解】
解：设一条直角边的长为xcm ，则另一条直角边的长为（x+2）cm ．
根据题意列方程，得
1(2)242
x x •+=． 解方程，得：x 1=6，x 2=8-（不合题意，舍去）．
∴一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一半．
四、压轴题
36．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（34 【解析】
【分析】
（1）由△ABC 是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知
∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS 证得两三角形全等即可；
（3）根据CM ∥BP 说明四边形PBCM 是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可；
（4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ，利用勾股定理求出AB 的长，在△ABC 中，利用等边三角形的性质求出BN ，在△BON 中利用勾股定理求出OB ，最后根据弧长公式求出弧AB 的长.
【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵=BC BC ，=AC AC ，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；。