高二数学空间向量的坐标运算(汇报课教案)全国通用

空间向量的坐标运算〔教案〕
教学目的
⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体〔正方体、长方体〕的顶点坐标；
⒉掌握空间向量坐标运算规律；
3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算.
教学难点：空间向量的坐标的确定及用向量计算或证明几何问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 . 内容分析：
本节主要分下面几个问题：空间直角坐标的确定；空间直角坐标运算；平行于垂直问题。

这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便。

在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难。

另外，引入了向量证明几何问题的方法，使立体几何的证明变得简单.
要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，能简单应用向量方法证明几何问题. 教学过程：
一、复习引入：
1.平面向量的坐标表示
分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a
，
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，
使得j y i x a
+=
把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a
在y 轴上的
坐标。

2.平面向量的坐标运算
假设),(11y x a =
，),(22y x b = ， 那
么
b
a +)
,(2121y y x x ++=，
b
a -)
,(2121y y x x --=，
),(11y x a λλλ=
,b a ⋅2121y y x x +=
假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=
3.1221//y x y x b a =⇔
y
k i A(x,y,z)
O j
x
z
02121=+⇔⊥y y x x b a
二、讲解新课：(此部分由学生自学，之后教师给与适当讲解)
1.空间直角坐标系：
〔1〕假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；
〔2〕在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；
〔3〕作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=〔或45〕，90yOz ∠=；
〔4〕在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标
系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系
2.空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k 为坐标向量，由空间向量基本定理，
那么存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++， 有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz - 中的坐标，记作123(,,)a a a a =．
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一
的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫
竖坐标．
3.空间向量的直角坐标运算律： 〔1〕假设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 那么112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，
112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=． 〔2〕假设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
那么212121(,,)AB x x y y z z =---．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
三、深入理解与应用
1．空间直角坐标的确定
例1．如图建立空间直角坐标坐标系，正方体棱长为2，M 为DD 1的中点，求各顶点及M 的坐标
解：A 〔2，0，0〕；B 〔2，2，0〕；C 〔0，2，0〕；D 〔0，0，0〕； A1〔2，0，2〕；B1〔2，2，2〕；C1〔0，2，2〕；D1〔0，0，2〕；M 〔0，2，1〕 例2．建立空间直角坐标坐标系坐以下点
A(2,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,2) ; D(1,2,3)
1
1
1z
y
x
D
A B
C
2．空间直角坐标运算
例3．(2,3,5)a =-，(3,1,4)b =--，求a b +，a b -， 8a ，a b ⋅． 解：(2,3,5)(3,1,4)(1,2,1)a b +=-+--=--，
(2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)a b -=----=-， 88(2,3,5)(16,24,40)a =-=-， (2,3,5)(3,1,4)29a b ⋅=-⋅--=-．
3．平行与垂直问题
例4．)3,4,(x a =
，),2,3(z b = ，b a //，那么xz=
解：92363243=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧===xz z x z x λλλ
例 5.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点，求证1D F ⊥平面ADE ．
证明：不妨设正方体的棱长为1个单位长度，如图建立空间直角坐标系O xyz -，
那么(1,0,0)AD =-，11
(0,,1)2
D F =-，
11
(1,0,0)(0,,1)02
AD D F ⋅=-⋅-=，
∴1D F AD ⊥，
又1(0,1,)2AE =，111
(0,1,)(0,,1)022
AE D F ⋅=⋅-=，
∴1D F AE ⊥，AD
AE A =，
所以，1D F ⊥平面ADE ．
练习：.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心求证：PAC O B 平面⊥1．
四、小结 ：
⒈ 空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标； ⒉ 掌握空间向量坐标运算的规律；
3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
5．用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标→向量点的坐标化→向量的直角坐标运算.
五、课后作业：p42练习 六、板书设计〔略〕。