高二理科数学期中考试卷及答案

N
M
D 1
C 1
B 1
A
1
D
C
B
A
2012-2013年两英中学高二第二学期期中测试试题
数 学 （理 科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的. 1. 已知全集U =R ，集合{|22}A x x =-<<，2{|20}B x x x =-≤，则=⋂B A （ ）
A ．(0,2)
B ．(0,2]
C ．[0,2]
D ．[0,2)
2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q
(),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ ）
A B C ．5 D ．13 4. 函数ln x
y x
=
在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 B C ．有极小值 D 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为（ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
6. 设p ：0m ≤，q ：关于x 的方程2
0x x m +-= 有实数根，则p ⌝
是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D 7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 的分配方法种数为（ ）
A ．96
B ．114
C ．128
D ．136 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长
为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点 N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为（ ）
A ．4π
B ．2π
图3(度)
150
140110100 C ．π D ．
2
π 图2 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9.为了了解某地居民月均用电 的基本情况, 抽取出该地区若 干户居民的用电数据, 得到频
率分布直方图如图3所示, 若 月均用电量在区间[)110,120 上共有150户, 则月均用电量 在区间[)120,150上的居民
共有 户. 10. 以抛物线2
:8C y x =上的一点若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为 .
11. 如果1()n
x x
+展开式中，第四项与第六项的系数相等，
则n = ，展开式中的常数项的值等于 .
12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为
a 、
b 、
c ，已知3,,3
c C π
==
2a b =, 则b 的值为 .
13. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须
满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
则该校招聘的教师最多是 名.
14. 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）
已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ).
(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若
θ为锐角，且83
f πθ⎛
⎫
+= ⎪
⎝
⎭，求tan θ的值. 16.（本小题满分12分）
某地区预计从2011年初开始的第x 月，商品A 的价格)6912(2
1)(2
+-=
x x x f （ 12,≤∈x N x ，价格单位：元），且第x 月该商品的销售量12)(+=x x g （单位：万件）.（1）2011年的最低价
格是多少？
甲D C B A
乙
B A
（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？ 17.（本小题满分14分） 如图甲，在平面四边形ABCD 中，
已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起， 使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B －EF －A 的余弦． 18.（本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为e =20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为1221为定值； （Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP
OM
λ=，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
19.（本小题满分14分） 设函数231
2
)(bx ax e
x x f x ++=-，
已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点. （1）求a 和b 的值； （2）设23
3
2)(x x x g -=
， 试比较)(x f 与)(x g 的大小. 20.（本小题满分14分）
已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图．(Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；
(Ⅲ)求数列)}3({1
-+n n a n 的前n 项和n T ．
2012-2013说明：1
2难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分. 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共6小题，每小题5分，满分30分．说明：第11小题写对
一个答案给3分.
9. 325 10. (
)(2
2
19x y -+±= 11. 8，70
12.
13. 10
14. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+ sin 2cos2x x =
+2222x x ⎫=
+⎪⎪
⎭
24x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭. … 3分 ∴当224
2
x k π
π
π+
=+
,即(8
x k k π
π=+
∈Z )时,函数()f x
… 5分
(2)解法1:
∵83f πθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭,
223πθ⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭. …… 6分 ∴1cos 23θ=
. …… 7分 ∵θ为锐角，即02
π
θ<<, ∴02θπ<<.
∴sin 23
θ==…… 8分
∴sin 2tan 2cos 2θθθ=
=. …… 9分
∴22tan 1tan θ
θ
=-…… 10分
2
tan 0θθ+-=.
∴
)(1tan 0θθ-+=.
∴tan 2θ=
或tan θ=不合题意,舍去)… 11分
∴tan 2
θ=. … 12分 解法2:
∵83f πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,
223πθ⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭. ∴1cos 23θ=
. …… 7分 ∴2
12cos 13
θ-=. … 8分 ∵θ为锐角，即02
π
θ<<
,
∴cos 3
θ=
. …… 9分
∴sin θ==
. … 10分
∴sin tan cos 2θθθ==. … 12分
解法3:∵83f πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭
. ∴1cos 23θ=
. ∵θ为锐角，即02
π
θ<<, ∴02θπ<<. ∴sin 23
θ==
…… 8分 ∴sin tan cos θθθ=
22sin cos 2cos θθθ= … 10分 sin 21cos 2θθ
=
+2=. … 12分 16．（本小题满分12分）
【解析】（1）∴+-=
],33)6[(2
1
)(2x x f 当6=x 时，)(x f 取得最小值， 即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；………………………4分 （2）设第x 月的销售收入为y （万元），依题意有
)82875(21
)12)(6912(2132+-=++-=x x x x x y ，……………6分
)5)(5(2
3
)753(212-+=-='x x x y ，…7分 所以当51≤≤x 时0≤'y ，y 递减
当125≤≤x 时0≥'y ，y 递增，…9分 所以当5=x 时，y 最小，即第5个月销售收入最少. ………11分 答：2011年在第5月的销售收入最低. …………12分 17. （本小题满分14分）
（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=
即AB BD ⊥-------------------------------------------------------------------------------2分 在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ． -----4分 又90DCB ∠=， ∴DC ⊥BC,且AB
BC B = ∴DC ⊥平面ABC ．----------5分
（2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点
∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，垂足为点E ∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角-------------------------------------7分 在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 设CD a =则2,BD a BC ==
,BF ==,11
22
EF CD a ==-9分
∴在Rt △FEB 中，1
sin a
EF FBE FB ∠=== 即BF 与平面ABC 所成角的正弦值为
4
．---------------------------------10分 解法2：如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CD a =，则2,BD AB a ==BC =
，
可得(0,0,0),(2,0,0)B D a ,(0,0,2)A a
,
3(,0)2C a ，(,0,)F a a ，
∴1(,,0)22
CD a a =-
,(,0,)BF a a =-----8分 设BF 与平面ABC 所成的角为θ，由（1）知DC ⊥平面ABC
∴212cos()24||||
a
CD BF CD BF a πθ⋅-===⋅⋅ ∴sin 4θ=-----------10分 （3）由（2）知 FE ⊥平面ABC ， 又∵BE ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴FE
⊥BE ，FE ⊥
AE ，
∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角------------------------------------12分
在△AEB 中，122
AE BE AC ==
== ∴2221
cos 27
AE BE AB AEB AE BE +-∠=
=-⋅ 即所求二面角B －EF －A 的余弦为1
7
-．-------------14分 （其他解法请参照给分） 18．（本小题满分14
分）
解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为2
2
2
x y b +=
， ∵直线20x y -+=与圆相切，∴
d b ==，即b =
-------------1分 又c
e a =
=，即a =，222a b c =+，解得a =1c =， 所以椭圆方程为22
132
x y +=．
-------------3分 （Ⅱ）设
000(,)(0)P x y y ≠， (A ，B ，则22001
32x y +=，即2
200223
y x =-， 则1k =2k = ------------------4分
即222
00012222000222(3)2333333x x y k k x x x --⋅====----， ∴
k k 21
⋅为定值23
-． ----------6分 （Ⅲ）设(,)M x y ，其中[x ∈．
由已知
222
OP OM
λ=及点P 在椭圆C 上可得22
222222
2
2633()
x x x x y x y λ+-+
==++
， 整理得2222
(31)36x y λλ-
+=，其中[x ∈． --------8分
①当3
λ=
时，化简得2
6y =，
所以点M
的轨迹方程为y x =≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；--9分
②当3
λ≠时，方程变形为
22
22
166313x y λλ+=-
，其中[x ∈， ------11分
当0λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y
轴上的双曲线满足x ≤≤
1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x
轴上的椭圆满足x ≤≤ 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． ---------------14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）)23()2(232)(1
2121b ax x x xe bx ax e x xe x f x x x +++=+++='---，（2分）
由2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，得⎩⎨⎧='=-'.0)1(,0)2(f f （4分）
即 ⎩⎨⎧=++=+-,
0233,
026b a b a （5分） 解得
⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=.
1,31b a （7分） （2）由（1）得231
2
3
1
)(x x e
x x f x --=-， 故)(3
231)()(1
2232312x e x x x x x e x x g x f x x -=+---=---. （8分）
令x e
x h x -=-1
)(，则1)(1-='-x e x h . （9分）
令0)(='x h ，得1=x . （10分）
)(x h '、)(x h 随x 的变化情况如下表： （12分）
由上表可知，当1=x 时，)(x h 取得极小值，也是最小值；即当),(+∞-∞∈x 时，)1()(h x h ≥，也就是恒有
0)(≥x h . （13分）
又02
≥x ，所以0)()(≥-x g x f ，故对任意),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x g x f ≥.（14分） 20． 解：（Ⅰ）由程序框图可知，121==a a ，n n n a a a 6512-=++ 2分
（Ⅱ）由)3(23112n n n n a a a a -=-+++，
且2312-=-a a 可知，数列}3{1n n a a -+是以2-为首项，2为公比的等比数列，可得n
n n a a 231-=-+，即
21223211-⋅=++n n n n a a ， )12(23121
1-=-++n n n n a a ，又21
121-=-a ，
∴数列}12
{
-n
n a 是以21
-为首项，23为公比的等比数列， ∴
1
)23(2112
--=-n n
n a ，132--=n n n a 9分
（Ⅲ） n n n n a n 2)3(1⋅=+-, ∴n
n n T 2...22212⋅++⋅+⋅=①,
1322...22212+⋅++⋅+⋅=n n n T ②, 两式相减得21(22...2)2n n n T n +=----+⋅
()111212222212
n n n n n n +++-=-
+⋅=-+⋅-22)1(1+-=+n n
14分。