2021届山东省济南外国语学校高三上开学考试文科数学试卷

2021年山东省济南外国语学校高三上开学考试文科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}11x x A =-≤≤，{}02x x B =≤≤，则A
B =（ ） A ．[]1,0- B ．[]1,2-
C ．[]0,1
D ．(][),12,-∞+∞
2．设复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -
3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )
的解析式可以是( )
A ．f (x )＝(x －1)2
B ．f (x )＝e x
C ．f (x )＝1x
D ．f (x )＝ln(x ＋1) 4．已知函数()2log f x x =，任取一个01,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使()00f x >的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．23
D ．34
5．“2x <”是“2320x x -+<”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必
要条件
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为
1112
，则判断框中填写的内容可以是（ ）
A ．6n =
B ．6n <
C ．6n ≤
D ．8n ≤
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．323
B ．64
C ．3233
D ．643
8．函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω≠）对任意x 都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于（ ） A ．2或0 B ．2-或2 C ．0 D ．2-或0
9．已知抛物线C ：2y 4x =的焦点为F ，直线)y 3x 1=-与C 交于A 、B(A 在x 轴上方)两点，若AF mFB =，则实数m 的值为( )
A 3
B ．32
C ．2
D ．3
10．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}|12x x -<≤
二、填空题 11．设,x y R ∈，向量(,1)a x =，()1,b y =，()3,6c =-，且a c ⊥，b c ，
则()
a b c +⋅= ． 12．若x ，y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为 ．
13．直线3450x y ++=与圆22
4x y +=交于M ，N 两点，则OM ⋅ON （O 为坐标原点）等于 ．
14．函数()y f x =的图象与直线x a =，x b =以及x 轴围成图形的面积记为()f x 在[],a b 上的面积．已知函数sin y nx =在0,n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为2
n （n *∈N ），则函数sin3y x =在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的面积为 ． 15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点为(2,0)F ，且双曲线的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则双曲线的方程为___.
三、解答题
16．某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[)0,2，第二组[)2,4，第三组[)4,6，第四组[)6,8
，
第五组[)8,10，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；
（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．
17．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．
18．已知四棱锥CD A-B E ，其中C C 1AB =B =A =BE =，CD 2=，CD ⊥面C AB ，//CD BE ，F 为D A 的中点．
（Ⅰ）求证：F//E 面C AB ；
（Ⅱ）求证：面D A E ⊥面CD A ；
（III ）求四棱锥CD A-B E 的体积．
19．在等差数列{}n a 中，122311a a +=，32624a a a =+-，其前n 项和为n S ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 满足1n n b S n
=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()01A ，﹣，且离心率为2
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）经过点11（，）
，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P Q ，（均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．
21．
已知函数()32
f x x ax =-，常数a R ∈. （Ⅰ）若a 1=，过点()1,0作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；
（Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y x 1=-只有一个交点，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由交集的定义知{|}01A
B x x =≤≤，故选
C ． 考点：集合的运算．
2．D
【解析】 试题分析：由题意()()()
22211111i i z i i i -===-++-，故选D ． 考点：复数的运算．
3．C
【解析】
根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．
对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；
对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；
对于C ，f (x )＝在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；
对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.
4．C
【解析】
试题分析：由()log 20f x x =>，得1x >，区间[,]122的长度为
32，满足1x >的部分为(,]12，长度为1，所以所求概率为1233
2
P ==．故选C ． 考点：几何概型．
【名师点睛】几何概型的试验中，事件A 的概率P （A ）只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关．
求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
本题中区域的几何度量是区间的“长度”．
5． B
【解析】试题分析：因为232012x x x -+<⇔<<，所以2x <是2320x x -+<成立的必要不充分条件．故选B ．
考点：充分必要条件．
6．C
【解析】
试题分析：由程序框图，111246S =+++，计算后得1111124612
++=，即6n =时要计算，6n >时结束循环，故选C ．
考点：程序框图．
7．A
【解析】
试题分析：由三视图，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，
11324(44)323
V =⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 考点：三视图，棱锥的体积．
8．B
【解析】
试题分析：对任意x 都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，说明4x π=函数()f x 的一条对称轴，因此()4
f π
是函数的最大值（或最小值），而()f x 的最大值为2，最小值为－2，故选B ． 考点：三角函数的对称轴，最值．
9．D
【分析】
联立直线与抛物线,求得两个交点的坐标，根据向量的数量关系即可求得m 的值．
【详解】
由得3
23x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或13233x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即()
3,23A ，123,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 又()1,0F ，所以(2,AF =--，2,33FB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，
显然3AF FB =，即3m =．
故选D ．
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，属于基础题．
10．C
【解析】
试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．
考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．
11．15
【解析】
试题分析：由a c ⊥得()=360,2,2,1a c x x a ⋅-=∴==由b c 得
()630,2,1,2y y b --=∴=-=-，()
()()=3,13,69615a b c ∴+⋅-⋅-=+=． 考点：平面向量平行与垂直关系的坐标表示及数量积运算．
12．2
【解析】
试题分析：作出题设约束条件表示可行域，如图ABO ∆内部（含边界），作直线:30l x y +=，把直线l 向上平移，z 增大，当l 过点(0,1)A 时，z 取最大值2．
考点：简单的线性规划问题．
13．2-
【解析】
试题分析：圆心O 到直线3450x y ++=的距离为22134d ==+，所以
2222123MN =-=
在OMN ∆中，22222222(23)1cos 22222
OM ON MN
MON OM ON +-+-∠===-⨯⨯， 1cos 22()22
OM ON OM ON MON ⋅=∠=⨯⨯-=-．故填2-． 考点：直线与圆相交，向量的数量积． 14．43
【解析】
试题分析：函数sin y nx =的周期为2T n π=
，区间[0,]n
π是半个周期，由已知sin y nx =图象与线段OA 围成的面积为2n ．函数sin3y x =的周期为23
T π=，因此所求面积为24233⨯=．故填43． B A O y
x
考点：新定义问题．三角函数的周期．
【名师点睛】创新问题考查学生的阅读理解能力，抽象概括能力，对学生的独立学习能力和抽象思维能力要求较高，解决这类问题的步骤是：
（1）阅读理解：首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质：
这里分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。

（2）运用：在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。

本小题比较简单，阅读题目后概括出结论是：三角函数sin y nx =在相邻两个零点之间（半个周期）的图象与x 轴围成的面积是2
n
（n *∈N ），由此发现此类问题的解决与三角函数的周期有关．
15．2
2
13
y x -=
【分析】
先求出渐近线的方程，根据它与圆相切得,a b 的关系，结合半焦距可求,a b ，从而得到所求的方程. 【详解】
双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±
，即0bx ay ±=，它与圆22(2)3x y -+=相切，
=
，又2c ==
，联立解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以双曲线方程为2
2
13
y x -=．
故答案为：2
2
13
y x -=．
【点睛】
方法点睛：求双曲线的方程，关键是求,a b ，在解题过程中应熟悉基本量的的关系，并注意方程思想的应用．
16．（Ⅰ）0.3，0.2，0.1；（Ⅱ）1
5
． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）频率分布直方图中每个小矩形的面积是相应组的频率（概率），因此只要求得相应矩形的面积即可；（Ⅱ）由于采取分层抽样，可知第三组，四组，五组抽取的新产品
数分别为3，2，1，可以把第三组抽到记为123,,A A A ，第四组抽到记为12,B B ，第五组抽到记1C ，从这6个产品中任取2个，可以一一列举出来如121311,,,
A A A A A
B ，共有15种，
其中均来自第三组的取法有121323,,A A A A A A 共3种，由概率公式可得概率．
试题解析：（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 （Ⅱ）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，
由题意可知，分别抽取3个，2个，1个．
不妨设第三组抽到的是123,,A A A ；第四组抽到的是12,B B ；第五组抽到的是1C ，所含基本事件总数为：
{}{}{}{}{}{}{}12132311121121,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A C A B
{}{}{}{}{}2221313231,,,,,,,,,,A B A C A B A B A C {}{}{}121121,,,,,B B B C B C ，
所以31
()155
P A =
=． 考点：频率分布直方图，古典概型．
17．（Ⅰ）3π；（Ⅱ）2
． 【详解】
试题分析：（1）根据平面向量//m n ，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.
试题解析：（1）因为向量()
,3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行，
所以0asinB ＝，
由正弦定理得sinAsinB 0sinBcosA ＝，
又sin 0B ≠，从而tanA 0<A<π，所以A ＝
3
π
.
（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3
π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为
12bcsinA
考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）4
． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证EF 与平面ABC 平行，就是要证EF 与平面ABC 内的一条直线平行，一般是过EF 的平面与平面ABC 的交线，由于//CD BE ，因此取AC 中点G ，连接GF ，GB ，由已知有FG ∥BE ，BG 就是我们要找的平行线；（Ⅱ）要证面面垂直，就是要证线面垂直，由于CD ⊥平面ABC ，因此有CD ⊥BG ，而BG ⊥AC （BG 是等边三角形的中线也是高），从而有BG ⊥平面ADC ，由（Ⅰ）可得EF ⊥平面ADC ，结论得证；（Ⅲ）由上面的证明，把四棱锥分成两个三棱锥E －ABC ，E －ACD ，这两个三棱锥的高分别是EB ，EF ，体积易求，当然也可直接求A 到底面BEDC 的距离（三角形BAC 的高），从而求得体积． 试题解析：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点 ∴FG ∥CD,且FG=
2
1
DC=1 ． ∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等 ∴EF ∥BG ．
ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,
∴EF ∥面ABC ．
（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC
A
B
C
D
E
F G
又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ， ∴BG ⊥面ADC ． ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC
∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ．
（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．
4
3631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=
+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ． 考点：线面平行，面面垂直，棱锥的体积． 19．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1
n n
T n =+． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）从已知条件看，本题利用基本量法求解，把已知用首项1a 和公差d 表示出来，求得1,a d ，可写出其通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得数列{}n a 前n 项和n S 2n =，因此
2
111
1
n b n n n n =
=-++，从而这个数列的前n 项和可用裂项相消法求得． 试题解析：（Ⅰ）121112323()5311a a a a d a d +=++=+=， 32624a a a =+-
即1112(2)54a d a d a d +=+++- 得2d =， 11a =，
1(1)1(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （Ⅱ）2111
(1)1(1)222
n S na n n d n n n n =+-=⨯+-⨯=， 211111(1)1
n n b S n n n n n n n =
===-++++，
111111111()()()...()1122334111
n n
T n n n n =-+-+-++-=-=
+++. 考点：等差数列的通项公式，裂项相消法
20．（Ⅰ）2
212
x y +=；（Ⅱ）证明见解析．
【分析】
（1）根据A 点坐标得到b 的值，根据离心率得到
c
a
的值，结合222a b c =+，可求得,a c 的值，从而求得椭圆方程.（2）写出直线,P Q 的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，然后计算直线AP 和直线AQ 点的斜率之和，化简后可得定值为2. 【详解】
解：（1
）由题设知：
2
c a =
，1b =，结合222a b c =+
，解得a = 所以椭圆E 的方程为2
212
x y +=.
（2）由题设知：直线PQ 的方程为()()112y k x k =-+≠，代入2
212
x y +=，
得：(
)()()2
2
1241220k
x
k k x k k +--+-=，
由已知0∆>，设()()1122,,,P x y Q x y ，120x x ≠， 则()122
4112k k x x k
-+=
+，()122
2212k k x x k
-=
+，
从而直线,AP AQ 的斜率之和为
12121212
1122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=
+=+ ()121122k k x x ⎛⎫
=+-+ ⎪⎝⎭
()
12
1222x x k k x x +=+- ()()()
412222k k k k k k -=+-- ()2212k k =--=.
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系.椭圆方程有两个参数
,a b ，故需要两个条件就可以求解出来.求解时要注意题目是否给定椭圆焦点在哪个坐标轴
上.直线和椭圆的位置关系，要熟练掌握将直线方程代入椭圆方程，化简后写出韦达定理这一个步骤.
21．（1）0y =或1y x =-．（2）(,1)-∞．
【分析】
（1）把1a =代入函数解析式，设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入点10（，），求得切点横坐标，则过10（，）点的切线方程可求；（2）把曲线()y f x =与直线1y x =-只有一个交点转化为关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根，进一步转化为方程
211
a x x x
=-+只有一个实根．构造函数()211g x x x x =-+，利用导数分析其单调性，并
画出其图象大致形状，数形结合可得方程211
a x x x
=-+只有一个实根时的实数a 的取值范围. 【详解】
(1) 若a 1=，()3
2
f x x x =-，()2
f x 3x 2x '=-，设切点P 为()00,x y ，
则()0002
k=f x 3x 2x '=-，则点P 处的切线方程为()()2
3200
0032+x
x y x x x x =---，
该直线经过点（1,0），则有(
)
()2
32
000000321+x x x x x =---，化简得32
000+x 02x x -=，
解得0x =0或0x =1，所以切线方程为0y =或1y x =- (2) 法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，
设()321g x x ax x =-++，则()2
'321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+>所以()'g x 有
两个零点12,x x ，即2
3210i i x ax --=（1,2i =），
且120x x <，231
2i i
x a x -=
， 不妨设120x x <<，所以()g x 在()()12,,,x x -∞+∞单调递增，在()12,x x 单调递减，
()1g x 为极大值，()2g x 为极小值，
方程3210x ax x --+=只有一个根等价于()10g x >且()20g x >，或者()10g x <且
()20g x <，
又()()23
23233111111,2222
i i
i i
i
i i
i i
i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，
设()31122x h x x =-
-+，所以()231
'022
h x x =--<，所以()h x 为减函数， 又()10h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，
所以()1,2i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，()1,2i x i =只能小于1， 所以由二次函数()2
'321g x x ax =--性质可得()'13210g a =-->，
所以1a <.
法二：曲线()y f x =与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根.
显然0x ≠，所以方程2
11
a x x x =-
+只有一个实根. 设函数()211g x x x x =-+，则()3233
122
'1x x g x x x x
+-=+-=. 设()3
2h x x x =+-，()2
'310h x x =+>，()h x 为增函数，又()10h =.
所以当0x <时，()'0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，()'0g x <，()g x 为减函数；当1x >时，()'0g x >，()g x 为增函数；所以()g x 在1x =时取极小值1.
又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，()g x 趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷. 所以()g x 图象大致如图所示：
所以方程211
a x x x
=-
+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(),1-∞．
点睛：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是压轴题；常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题.。