江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 专题5 数列检测题

江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 专题5 数列
检测题
一、重点知识梳理：
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。

(2)通项公式法： ①若
=
+（n-1）
d=
+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若
，则{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当1a >0,d<0时，满足10
m m a a +≥⎧⎨
≤⎩的项数m 使得m S 取最大值.
(2)当1a <0,d>0时，满足1
0m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得
取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

二：典型例题
例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．
(2)过点Q 1 (1，a 1)，Q 2 (2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ
，
例
2．已知数列
{}
n a 中，n S 是其前n 项和，并且
1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2
==n a
c n
n n ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

例3数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈ ⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
⑶设n b =
)
12(1
n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在
最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32
m
成立？若存在，求出m
的值；若不存在，请说明理由。

．
三、巩固练习
1．(2012·大纲全国改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前100项和为________．
2．(原创题)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13, S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是________．
3．(2012·连云港模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2
＋3n ，若a n ＋1a n ＋2
＝80，则n 的值等于________．
4．已知a n ＝n ，b n ＝1
3n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 的前n 项和S n ＝______________.
5．(2011·天津改编)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9
的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *
，则S 10的值为________． 6．(2012·南通模拟)数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －
a n －1，…是公比为13
的等比数列，那么a n ＝________.
7．(2012·镇江模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，当n 是奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 是偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 9＝________.
8．(2012·青岛模拟)各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若
S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.
9．(2012·湖南十二校联考)数列{a n }满足a 1＝1，
a 2k a 2k －1＝2，a 2k ＋1a 2k
＝3 (k ∈N *
)，则(1)a 3＋a 4＝________；(2)其前n 项和S n ＝____________________. 10．(2012·四川)记[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]
＝1，[－0.3]＝－1.设a 为正整数，数列{x n }满足x 1＝a ，x n ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
x n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a x n 2(x ∈N *
)，现有下列命题：
①当a ＝5时，数列{x n }的前3项依次为5,3,2； ②对数列{x n }都存在正整数k ，当n ≥k 时总有x n ＝x k ； ③当n ≥1时，x n >a －1；
④对某个正整数k ，若x k ＋1≥x k ，则x k ＝[a ]． 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 二、解答题
11． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，且不等式ax 2
－3x ＋2>0的解
集为(－∞，1)∪(b ，＋∞)．
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ·2n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
12. (2012·长沙模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在抛物线
y ＝x 2上，数列{b n }满足b 1＝a 1，点(b n ，b n ＋1)在直线y ＝3x 上．
(1)分别求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
13．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x
－2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n ) (n ∈N *
)均在函数y ＝f (x )的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
3
a n a n ＋1，T n 是数列{
b n }的前n 项和，求使得T n <m
20对所有n (n ∈N *
)
都成立的最小正整数m .
参考答案
例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．
(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以
Kp 1p k 是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l 2的方程为y-a 1=d(x-1)，直线l 2的斜率为d ．
例
2．已知数列
{}
n a 中，
n S 是其前n 项和，并且
1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列
),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2 ==
n a c n n
n ，求证：数列{}n c 是等差数列；
⑶求数列
{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径． 解：(1)由S 1n +=4a 2n
+，
S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，
即a 2n +=4a 1n +-4a n ．(根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又
b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·2
1
n -．
当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=2
1
n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S n =21
n -(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等
比数列，求数列通项与前n 项和。

解决本题的关键在于由条件
241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设
||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；
⑶设n b =
)12(1
n a n -)(),(*
21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n
T 32m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意，
n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，
设公差为d ，
由题意得2382-=⇒+=d d ，
n n a n 210)1(28-=--=∴.
（2）若50210≤≥-n n 则，
||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
21281029,2n n
a a a n n n +-=+++=
⨯=-
6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521
4092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n
故
=n S 409922
+--n n n n 65
≥≤n n （3）
)
111(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n
∴n
T )]1
11()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n
.
)1(2+=
n n
若
32m T n >
对任意*N n ∈成立，即161m
n n >
+对任意*N n ∈成立，
)(1*N n n n ∈+
的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7。

即存在最大整数,7=m 使对任意*
N n ∈，均有
.32m
T n >
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。

.
巩固练习
1. 100
101
; 2．7 ; 3． 5 ; 4.n －
n ＋1
＋34
; 5．110; 6.
32
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－13n ; 7．92 ; 8．150 ; 9．(1)18; (2)⎩⎨⎧
3
5
n
2－ n ＝2k 8×6n －1
2
－3
5
n ＝2k －
(k ∈N *
) 10．①③④
11．解 (1)因为ax 2
－3x ＋2>0的解集为
(－∞，1)∪(b ，＋∞)，
所以方程ax 2
－3x ＋2＝0的两根为x 1＝1，x 2＝b ，
可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a －3＋2＝0，a
b 2
－3b ＋2＝0，故a ＝1，b ＝2.
所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2
.
(2)由(1)得b n＝(2n－1)·2n，
所以T n＝b1＋b2＋…＋b n
＝1·2＋3·22＋…＋(2n－1)·2n，①
2T n＝1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，②
②－①得
T n＝－2(2＋22＋…＋2n)＋(2n－1)·2n＋1＋2
＝(2n－3)·2n＋1＋6.
12．解(1)由题意对于数列{a n}有S n＝n2，
当n＝1时，有a1＝S1＝1.
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，n＝1也符合上式，
故对任意的n∈N*都有a n＝2n－1.
对于数列{b n}有b n＋1＝3b n，
故{b n}是以b1＝a1＝1为首项，以3为公比的等比数列，
所以对任意的n∈N*都有b n＝3n－1.
(2)由(1)知a n·b n＝(2n－1)·3n－1，
从而T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n
＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)·3n－1，
于是3T n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，
错位相减并整理得T n＝(n－1)·3n＋1.
13．解(1)设函数f(x)＝ax2＋bx (a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，由f′(x)＝6x－2，
得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，S n) (n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，所以S n＝3n2－2n.
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，
所以，a n＝6n－5 (n∈N*)．
(2)由(1)，知b n＝3
a n a n＋1
＝
3
n －n ＋
－5]
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，
故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1] ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－16n ＋1.
因此，要使12⎝
⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1<m 20 (n ∈N *
)成立， 则m 需满足12≤m
20即可，则m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.。