江苏初二初中数学期末考试带答案解析

江苏初二初中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
2.若，则的值是（）
A．B．C．D．
3.A，B两点在反比例函数图像上，则（）
A．B．C．D．无法确定
4.下列说法中正确的是（）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形一定是位似图形
C．两个位似图形一定在位似中心的同侧
D．位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行
5.如图所示，棋盘上有A、B、C三个黑子与P、Q两个白子，要使△ABC ∽△RPQ，则第三个白子R应放的位置可以是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6.下列各式中，正确的是（）
A．
B．
C．
D．
7.如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解（）
甲：如果指针前五次都没停在5号扇形，下次就一定会停在5号扇形了
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在1号扇形
丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．
其中你认为说法不正确的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
1.函数
中，自变量x 的取值范围是_____________．
2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为______________cm ．
3.一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为______________．
4.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积v 时，气体的密度也随之改
变．与v 在一定范围内满足，图象如图所示，该气体的质量m 为 kg ．
5.若
＋＝0，则 ．
6.某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地（如图），各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形
EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC ＝ cm ．
7.已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，化简
的结果为 ．
8.如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线 （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标
是 ．
三、解答题
1.（本题满分6分）先化简，再求值：，其中
．
2.（本题满分6分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来。

3.（本题满分8分）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表或画树状的方法求两次摸出的球都是白球的概率．
4.（本题满分8分）如图，在
和中，，，
．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？ （2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
5.（本题满分10分）在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，且BE//CD ，AB//CE ，△ABE 的面积记为S １，△BEC
的面积记为S 2，△DEC 的面积记为S 3．
①试判断△ABE 与△ECD 是否相似，并说明理由． ②当S １＝６，S ３＝３时，求Ｓ２的值．
③猜想S １，S ２，S ３之间的等量关系，并说明你的理由．
6.（本题满分12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点B 的坐标为（2，2），A 、C 两点分别在x 轴、y 轴上．P 是BC 边上一点（不与B 点重合），连AP 并延长与x 轴交于点E ，当点P 在边BC 上移
动时，△AOE 的面积随之变化．
①设PB="a" （0＜a≤2）。

求出△AOE 的面积S 与a 的函数关系式．
②根据①的函数关系式，确定点P 在什么位置时，S △AOE =2，并求出此时直线AE 的解析式． ③在所给的平面直角坐标系中画出①中函数的图像和函数S=-a ＋2的简图．
④设函数S=-a ＋2的图像交a 轴于点G ，交S 轴于点D ，点M 是①的函数图像上的一动点，过M 点向S 轴作垂线交函数S=-a ＋2的图像于点H ，过M 点向a 轴作垂线交函数S=-a ＋2的图象于点Q ，请问DQ·HG 的值是否会变化，若不变，请求出此值；若变化，请说明理由．
7.（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB=AC=1，点D ，E 在直线BC 上运动．设BD=x ，CE=y ．
（l ）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．
8.（本题满分8分）某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润售价进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．
9.（本题满分14分）如图，ABMN 中，AC 平分∠BAN 交BM 于C 点，CD ∥AB 交AN 于D
点．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论；
（2）以B点为坐标原点，BM所在的直线为横轴建立平面直角坐标系，若∠ABM = 60°，A点横坐标为2，请直接写出A、C、D点坐标及经过D点的反比例函数解析式；
（3）设（2）中反比例函数的图象与MN交于P点，求当BM的长为多少时，P点为MN的中点。

10.（本题满分16分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（x＞0），
四边形BCDP的面积为ycm2．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
江苏初二初中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.不等式的解集在数轴上表示正确的是（）
【答案】A．
【解析】由不等式可得x＞3，根据在数轴上表示不等式解集的方法可得x＞3在数轴表示为
，故答案选A．
【考点】在数轴上表示不等式解集的方法
2.若，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】B．
【解析】在等式的两边同时加1可得，即可得．故答案选B．
【考点】等式的基本性质．
3.A，B两点在反比例函数图像上，则（）
A．B．C．D．无法确定
【答案】C．
【解析】分别把A，B代入可得，，所以，故答案选C．
【考点】反比例函数图象上点的坐标的特征．
4.下列说法中正确的是（）
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形一定是位似图形
C．两个位似图形一定在位似中心的同侧
D．位似图形中每对对应点所在的直线必互相平行
【答案】A．
【解析】根据位似图形的性质可得位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；两个位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的两侧，位似图形中每对对应点所在的直线必定相交于一点，这一点是位似中心，所以四个选项中只有选项A正确，故答案选A．
【考点】位似图形的性质．
5.如图所示，棋盘上有A、B、C三个黑子与P、Q两个白子，要使△ABC ∽△RPQ，则第三个白子R应放的位置可以是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D．
【解析】观察图形可得△ABC ∽△RPQ，相似比是，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得第三
个白子R应放的位置是丁，故答案选D．
【考点】相似三角形的判定及性质．
6.下列各式中，正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】选项A，，选项A错误；选项B、C不能进行约分，选项B、C错误；选项D，分母提取负
号后，把负号放在分式的前面，选项D正确，故答案选D．
【考点】分式的基本性质．
7.如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解（）
甲：如果指针前五次都没停在5号扇形，下次就一定会停在5号扇形了
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在1号扇形
丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大．
其中你认为说法不正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C．
【解析】随机事件发生的可能性有大有小，在0和1之间，可能性大的事件不一定能够发生，可能性小的事件不一定不发生，由此可得甲乙二人的见解错误；根据概率公式可得指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概
率相等，都为，所以丙的见解正确；随机事件发生的结果不受人的意识的控制，丁的见解错误，故答案选C．【考点】随机事件发生的可能性．
二、填空题
1.函数中，自变量x的取值范围是_____________．
【答案】x≥2．
【解析】要使函数成立，必须满足x-2≥0，即x≥2．
【考点】函数自变量的取值范围．
2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为______________cm．
【答案】15．
【解析】分两种情况：•3为腰，6为底边时，根据三角形三边关系可得，3、3、6构不成三角形；‚6为腰，3为底边时，三角形的三边为6、6、3，所以该三角形的周长为15．
【考点】等腰三角形的性质；分类讨论．
3.一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为______________．
【答案】．
【解析】由题意可得，随机地从袋中取出1球总共有25种等可能的结果，随机地从袋中取出1球不是黑球的等可能结果有13种，根据概率公式可得随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为．
【考点】概率公式．
4.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积v时，气体的密度也随之改变．与v在一定范围内满足，图象如图所示，该气体的质量m为 kg．
【答案】7．
【解析】由图象可知，的图象经过（5，1．4），代入即可得m=7．
【考点】反比例函数的应用．
5.若＋＝0，则．
【答案】0．
【解析】由＋＝0可得，x-4=0，y-2=0，即x=4，y=2．所以=2-2=0．
【考点】和的非负性．
6.某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地（如图），各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形
EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC ＝ cm ．
【答案】20cm ．
【解析】根据三角形的中位线定理和等腰梯形的性质易证四边形EFGH 为菱形，再由菱形的性质可得EF=10，再由三角形的中位线定理可得AC=2EF=20cm ．
【考点】三角形的中位线定理；等腰梯形的性质；菱形的判定及性质．
7.已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，化简的结果为 ．
【答案】-2a ．
【解析】观察数轴可得a-b ＜0，a+b ＜0，根据和
的性质可得
=b-a+（-a-b ）=-2a ．
【考点】数轴；
和
的性质．
8.如图，正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线 （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标
是 ．
【答案】．
【解析】已知点B 1（1，1），B 2（3，2），由题意可得，点A 1（0，1），A 2（1，2），又因点A 1，A 2在直线
的图象上，有待定系数法可求得直线的解析式为y=x+1，可求得A 3（3，4），A 4（7，8）…，所以B 3（7，4），B 4（15，8），…以此类推即可得B n 的坐标为
．
【考点】规律探究题．
三、解答题
1.（本题满分6分）先化简，再求值：，其中
．
【答案】原式=
，把
代入得，原式=．
【解析】先根据分式的运算法则化简后再代入求值即可． 试题解析：解：=
，
把
代入得，原式=
． 【考点】分式的化简求值．
2.（本题满分6分）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来。

【答案】不等式组的解集：-2＜x≤3．在数轴上表示见解析．
【解析】分别解这两个不等式，这两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，在数轴上表示出即可． 试题解析：解：解不等式•得，x≤3； 解不等式 得，x ＞-2；
所以不等式组的解集：-2＜x≤3．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
【考点】一元一次不等式组的解法．
3.（本题满分8分）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表或画树状的方法求两次摸出的球都是白球的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据概率公式即可解答；（2）列表求得所有等可能结果和两次都是白球的结果，即可求概率．
试题解析：（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是．
列表得，
白1白2红
由表格可知，总共有6种等可能结果，两次摸出的球都是白球的的结果有2种，两次摸出的球都是白球的概率的
概率为．
【考点】用列举法求概率．
4.（本题满分8分）如图，在和中，，，
．
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？
（2）能否分别过在这两个三角形中各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．
【答案】（1）不相似，理由详见解析；（2）详见解析．
【解析】（1）根据两个直角相等但两直角的两边的比不相等，可判定这两个三角形不相似；（2）作，交于；作，交于．
由作法和已知条件可知．再证明，即可判断．试题解析：（1）不相似．
在中，，；
在中，，，
．
．
与不相似．
（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
具体作法：作，交于；作，交于． 由作法和已知条件可知． ，， ，， ． ， ， ．．
【考点】相似三角形的判定及性质．
5.（本题满分10分）在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，且BE//CD ，AB//CE ，△ABE 的面积记为S １，△BEC
的面积记为S 2，△DEC 的面积记为S 3．
①试判断△ABE 与△ECD 是否相似，并说明理由． ②当S １＝６，S ３＝３时，求Ｓ２的值．
③猜想S １，S ２，S ３之间的等量关系，并说明你的理由． 【答案】①△ABE 与△ECD 相似，理由见解析． ②． ③
，理由见解析．
【解析】①通过BE//CD ，AB//CE ，证得角相等从而得到△ABE ∽△ECD ；②先根据相似三角形的对应边成比例求出
的值，再根据△BEC 和△DEC 边BE 和DC 上的高相等即可求出S 2的值；③根据②得
，由AB//CE ，可得
，又因△ABE ∽△ECD ，所以
，即可得
所以
．
试题解析：
①∵BE ∥CD ，∴∠BEC=∠DCE ，
∵AB ∥CE ，∴∠BEC=∠ABE ，∠A=∠DEC ， ∴∠DCE=∠ABE ， ∴△ABE ∽△ECD ； ②因为△ABE ∽△ECD 所以
，所以
，
又因为BE ∥CD ，所以△BEC 和△DEC 边BE 和DC 上的高相等， 所以
③结论：
BE//CD ，所以△BEC 和△DEC 边BE 和DC 上的高相等，所以
AB//CE ，可得…
，
因为△ABE ∽△ECD ，所以
，所以
即
【考点】相似三角形的判定及性质．
6.（本题满分12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点B 的坐标为（2，2），A 、C 两点分别在x 轴、y 轴上．P 是BC 边上一点（不与B 点重合），连AP 并延长与x 轴交于点E ，当点P 在边BC 上移
动时，△AOE的面积随之变化．
①设PB="a" （0＜a≤2）。

求出△AOE的面积S与a的函数关系式．
②根据①的函数关系式，确定点P在什么位置时，S
△AOE =2，并求出此时直线AE的解析式．
③在所给的平面直角坐标系中画出①中函数的图像和函数S=-a＋2的简图．
④设函数S=-a＋2的图像交a轴于点G，交S轴于点D，点M是①的函数图像上的一动点，过M点向S轴作垂线交函数S=-a＋2的图像于点H，过M点向a轴作垂线交函数S=-a＋2的图象于点Q，请问DQ·HG的值是否会变化，若不变，请求出此值；若变化，请说明理由．
【答案】①（0<a≤2）；②；③见解析；④DQ·HG的值是不会变化的，理由见解析．
【解析】①由△ABP∽△AOE求出OE=，（0<a≤2）．②把S=2代入得到a=2，点P与C重合时，
S
△AOE
=2，所以．③在坐标系中画出即可；④DQ·HG的值是不会变化的，设M点坐标为，过H作HR垂直于a轴垂足为R，过D作DN垂直于MQ垂足为N，易得HR=，DN=t，易证△HRG和△DNQ均为等腰直角三角形，由勾股定理得HG=，DQ=，所以DQ·HG=·=8．
试题解析：
①易证△ABP∽△AOE，可得，即，所以OE=，
（0<a≤2）．
②把S=2代入得到a=2，点P与C重合时，S
△AOE
=2
③如图，
④DQ·HG的值是不会变化的
设M点坐标为，过H作HR垂直于a轴垂足为R，过D作DN垂直于MQ垂足为N，易得HR=，DN=t，易证△HRG和△DNQ均为等腰直角三角形，由勾股定理得HG=，DQ=
所以DQ·HG=·=8．
【考点】一次函数与相似三角形的综合题．
7.（本题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，
CE=y．
（l）如果∠BAC=300，∠DAE=l050，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．
【答案】（1）；（2）当α、β满足关系式时，函数关系式成立，理由见解析．
【解析】（1）根据已知条件证明△ADB∽△EAC即可得，代入x、y得值即可得y与x之间的函数关
系式；（2）要使，即成立，须且只须△ADB∽△EAC．由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC．又因∠ADB+∠BAD=∠ABC=，∠EAC+∠BAD=β-α，所以只=β-α，须即．试题解析：（l）在△ABC中，AB="AC" =1，∠BAC=300，
∴∠ABC＝∠ACB=750，∴∠ABD＝∠ACE=1050，1分
∵∠DAE=1050．∴∠DAB+∠CAE=750，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=750，∴∠CAE＝∠ADB∴△ADB∽△EAC
∴即；
（2）当α、β满足关系式时，函数关系式成立
理由如下：要使，即成立，须且只须△ADB∽△EAC．
由于∠ABD＝∠ECA，故只须∠ADB＝∠EAC．
又∠ADB+∠BAD=∠ABC=，
∠EAC+∠BAD=β-α，
所以只=β-α，须即．
【考点】相似三角形的综合题．
8.（本题满分8分）某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润售价进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．
【答案】（1）甲种商品进了40件，乙种商品进了40件．
（2）有三种方案，分别为甲38件，乙42件或甲39件，乙41件或甲40件，乙40件．
【解析】（1）设商品进了x件，则乙种商品进了（80-x）件，根据等量关系“购进甲种商品的钱数+购进乙种商品的钱数=1600”，列方程，解方程即可；（2）（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为（80-x）件，根据不等关系“甲、乙两种商品共80件的总利润（利润售价进价）不少于600元，但又不超过610元”，列不等式组，解不等式组，根据x为整数即可确定x的值，从而确定相应的进货方案．
试题解析：（1）设商品进了x件，则乙种商品进了（80-x）件，依题意得，
10x+（80-x）×30=1600
解得：x=40
即甲种商品进了40件，乙种商品进了80-40=40件．
（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为（80-x）件，
依题意可得：600≤（15-10）x+（40-30）（80-x）≤610
解得：38≤x≤40
∵x为整数∴x取38，39，40∴80- x为42，41，40
即有三种方案，分别为甲38件，乙42件或甲39件，乙41件或甲40件，乙40件．
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
9.（本题满分14分）如图，ABMN中，AC平分∠BAN交BM于C点，CD∥AB交AN于D
点．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论；
（2）以B点为坐标原点，BM所在的直线为横轴建立平面直角坐标系，若∠ABM = 60°，A点横坐标为2，请直接写出A、C、D点坐标及经过D点的反比例函数解析式；
（3）设（2）中反比例函数的图象与MN交于P点，求当BM的长为多少时，P点为MN的中点。

【答案】（1）详见解析；（2）A（2，2），C（4，0），D（6，2），；（3）当BM=11时，反比例函数的图象经过MN的中点．
【解析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明BA= BC即可得□ABCD是菱形；（2）作出等边三角形OC边上的高，利用勾股定理求得OA、OC的长，即可得A、C、D点坐标，再求过D点的反比例函数解析式；
（3））设BM=a，则点把代入反比例函数解析式，解得a的值，．
所以当BM=a时，反比例函数的图象经过MN的中点．
试题解析：（1）是菱形，
证明：∵四边形ABMN是平行四边形
∴ AD∥BC
∵CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AC平分∠BAN
∴∠BAC=∠DAC
∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
∴∠BAC=∠ACB
∴BA= BC
∴□ABCD是菱形
（2）A（2，2），C（4，0），D（6，2），
（3）设BM=a，则点
把代入，解之得．
所以当BM=11时，反比例函数的图象经过MN的中点．
【考点】反比例函数与四边形的综合题．
10.（本题满分16分）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF＝CB·CD
（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点．设DP＝xcm（x＞0），
四边形BCDP的面积为ycm2．
①求y关于x的函数关系式；
②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
【答案】（1）详见解析；（2）y＝3x＋27（x＞0）；（3）当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝．
【解析】（1）由已知条件易证△DCF∽△ABC，可得，即可得AB·AF＝CB·CD；（2）由勾股定理求得AC=12，即可得CF＝AF＝6，根据四边形BCDP的面积=△DCP的面积+△BCP的面积即可得y关于x的函数关
系式；（3）由题意可知△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小，当当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．这时
求得x、y的值即可．
试题解析：（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC
∴AF＝CF，∠DFA＝∠DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，
∴∠DCF＝∠DAF＝∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中，
∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B
∴△DCF∽△ABC
∴，即．
∴AB·AF＝CB·CD
（2）解①∵AB＝15 BC＝9 ∠ACB＝90°
∴AC＝＝＝12
∴CF＝AF＝6
∴y=（x+9）×6＝3x＋27（x＞0）
②∵BC＝9（定值），
∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小．
由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，
∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．
显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小．
此时DP＝DE，PB＋PA＝AB．
由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．由EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．
∴AF∶BC＝AD∶AB，
即6∶9＝AD∶15．
∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．
∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．
∴当x＝时，△PBC的周长最小，此时y＝
【考点】三角形相似的综合题．。