高中数学椭圆经典例题详细讲解_2

椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆0632
2
=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系2
2
2
c b a +=可求出m 的值．
解：方程变形为
1262
2=+m
y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2
262=-m ，5=m 适合．故5=m ．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，
P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a 和b （或2
a 和2
b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ．
由椭圆过点()03，
P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92
=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122
22>>=+b a b
x a y ．
由椭圆过点()03，P ，知1092
2=+b
a ．又
b a 3=，联立解得812=a ，92
=b ，故椭圆的方程为19
812
2=+x y ．
例 3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．
分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．
（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．
解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由
20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，
故其方程为
()0136
1002
2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则
()0136
1002
2≠'='+'y y x ． ① 由题意有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='='33
y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为
()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．
例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为
354和3
5
2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=
PF ，3
5
22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．
从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F
PF Rt ∆中，2
1
sin 12
21==∠PF PF F PF ， 可求出6
21π
=
∠F PF ，3
526
cos
21=
⋅=π
PF c ，从而3102
22=-=c a b ．
∴所求椭圆方程为
1103522=+y x 或15
1032
2=+y x ．
例5 已知椭圆方程()0122
22>>=+b a b
y a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是
椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 2
1
=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．
由余弦定理知： 2
2
1F F 2
221PF PF +=12PF -·2
24cos c PF =α．①
由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2
得 α
cos 122
21+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=
b 2
tan 2α
b =．
例6 已知动圆P 过定点()03，
-A ，且在定圆()64322
=+-y x B ：的内部与其相内切，
求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，
即定点()03，
-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为7342
2
=-=b 的椭圆的方程：
17
162
2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例7 已知椭圆12
22
=+y x ， （1）求过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过()12，
A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足2
1
-
=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+=+④
，③，②，①，y y y x x x y x y x 2222222
1212
2222121
①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知
21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有
()()022
12
12121=-+++x x y y y y x x ，
将③④代入得022
12
1=--+x x y y y
x ．⑤
（1）将21=
x ，2
1
=y 代入⑤，得212121
-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222
2
=+y x 得041662
=-
-y y ，04
1
6436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将
22
12
1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）
（3）将
2
12121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 02222
2=--+y x y x ．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得 ：
()
22
2
2212
221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 2122
22124y y y y y -=+， ⑨
将⑧⑨代入⑦得：
()
2244
242122
12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12
122
=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例8 已知椭圆142
2=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
5
10
2，求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程142
2=+y x 得 ()142
2=++m x x ，
即01252
2=-++m mx x ．()()
020*********
≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2
525≤≤-
m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5
221m
x x -=+，51221-=m x x ．
根据弦长公式得 ：5102514521122
2
=-⨯
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使
所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
解：如图所示，椭圆
13
122
2=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨
⎧=+-=-+0
90
32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．
所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，
∴()
363532
2
2
2
2
=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为
136
452
2=+y x ．
例10 已知方程
1352
2-=-+-k
y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩
⎪
⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．
∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．
说明：本题易出现如下错解：由⎩
⎨⎧<-<-,03,
05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．
例11 已知1cos sin 2
2
=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．
解：方程可化为1cos 1sin 122=+α
αy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1
cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4
3
,2(ππα∈．
说明：(1)由椭圆的标准方程知
0sin 1>α，0cos 1
>-α
，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α
sin 12
=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件
πα<≤0．
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为12
2
=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为12
2=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,
11)32(,1)2()3(222
2n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,
143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．
例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则2
x x =
，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．
将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆
1422=+y x ．
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，
设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为
3
π
的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212
212
212
x x x x k x x k AB -++=-+=求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴
上，
所以椭圆方程为
19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132
=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以13
3
7221-
=+x x ，1383621⨯=
x x ，3=k ， 从而13
48]4))[(1(1212
212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为19
362
2=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122． 在21F AF ∆中，3
cos
22112
21212
2π
F F AF F F AF AF -+=，即2
1
362336)12(2
2⋅
⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=
m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得3
46+=n ，所以1348
=+=n m AB ．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程0836372132
=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．
再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．
例15 椭圆
19
252
2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．
2
3
说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．
例16 已知椭圆13
42
2=+
y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．
分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．
利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．
解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41
．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=++-=,134,41
22y
x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

∴13821n x x =
+．于是1342210n x x x =+=，13
124100n
n x y =+-=， 即点M 的坐标为)1312,134(
n n ．∵点M 在直线m x y +=4上，∴m n n +⨯=1344．解得m n 4
13-=． ② 将式②代入式①得04816926132
2=-++m mx x ③
∵A ，B 是椭圆上的两点，∴0)48169(134)26(2
2
>-⨯-=∆m m ．解得13
13
213132<<-
m ． (法2)同解法1得出m n 413-
=，∴m m x -=-=)4
13
(1340，
m m m m x y 34
13
)(414134100-=--⨯-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．
∵A ，B 为椭圆上的两点，∴M 点在椭圆的内部，∴13
)3(4)(2
2<-+-m m ．解得1313213132<<-m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为),(00y x ． ∵
A
，
B
在椭圆上，∴
13
42
121=+y
x ，
13
42
222=+y
x ．两式相减得
0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，
即0)(24)(23210210=-⋅+-⋅y y y x x x ．∴
)(43210
0212
1x x y x x x y y ≠-=--．
又∵直线l AB ⊥，∴1-=⋅l AB k k ，∴14430
-=⋅-
y x ，即003x y = ①。

又M 点在直线l 上，∴m x y +=004 ②。

由①，②得M 点的坐标为)3,(m m --．以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点A ，B 关于直线l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：
(1)利用直线AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0>∆，建立参数方程．
(2)利用弦AB 的中点),(00y x M 在椭圆内部，满足12
020<+b
y
a x ，将0x ，0y 利用参数表示，建立参数不等
式．
例17 在面积为1的PMN ∆中，2
1
tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．
∴所求椭圆方程为13
15422=+y x
例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆19362
2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )，得到关于x (或y )
的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出21x x +，21x x (或21y y +，21y y )的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程，整理得
036)24(4)24(8)14(222=--+--+k x k k x k ①
设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根，∴14)24(8221+-=
+k k k x x ∵)2,4(P 为AB 中点，∴1
4)24(424221+-=+=k k k x x ，21-=k ．∴所求直线方程为082=-+y x ． 方法二：设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ．∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴3642121=+y x ，3642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∴2
1)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．∴直线方程为082=-+y x ． 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --．
∵A 、B 在椭圆上，∴36422=+y x ①。

36)4(4)8(2
2=-+-y x ② 从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为
082=-+y x ．
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是)0,33(、)0,33(-的椭圆截直线082=-+y x 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？。