截尾数据模型中参数无偏估计的C-R下界

ｆ ｒ ３ Ｋ ￣ ｒ ２ ）
．
ｅ ｒ 信息 阵 ，并据此得到 了参数无偏估计的 ｃ — Ｒ下
界。
（ Ｙ ３ ］ Ｙ １ ． Ｙ ２ ） ＝ （ ： ＋ ～ ２ ） 考 （ 告 ） ｅ ｘ ｐ ｛ 一 ｃ ＋ 俐］ ｝ （ ０ ， ５ ＞ ０ ， ｙ ３ ＞ ｙ Ｅ ＞ ｙ １ ＞ ０ ）
因此 ，
＾ ＝ （ （ 唧 － ｍ ＋ （ 训 … 川
喜 ｑ Ｉ ｆ （ ｊ ｅ ｛ 一 【 ‘ 十 ｆ 一 ＋ １ ） ｌ 告 ） ｝ ，
＝ … 川
＋
而且， 由（ ３ ） ～（ ５ ） 可得 ：
（ ）
）
（ ， 乃 ） ＝ （ ｙ ｇ Ａ ｌ ｙ ２ ）
（ ５ ）
１ Ｆ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ 信息 阵
依 次使 用上 述方 法 ， 就可 以最 终给 出 ：
１ ． １ 截 尾样 本 的联合 密度 函数 假设 ｉ 个 独 立 的试 验 产 品 的 失 效 时 间 为 Ｙｉ ， ｉ ＝ ｌ ， …， ｎ服 从 威 布 尔分 布 ， 直 到 有 ｍ 个 产 品失 效 ， 实验停 止 。一 般地 ， 威布 尔分 布 的密度 函数 为 ：
无 一 ， ｙ ） ： ｌ ｌ （ ｌ ） ｌ ｌ ｙ ２ 】 （ Ｉ Ｙ ｌ ， ） … 矗 ， ） （ Ｉ ｙ 一 ， 一 １ ）
＝
【 ｍ ｌ ＿ ＋ 埘 一 ｚ ＋ ・ ８ ） ） － １ ｅ ｘ ｐ ｛ ＋ 一 （ 告 ］ ｝ ，
大风险下界。 事实上 ， Ｆ ｉ ｓ ｈ ｅ ｒ 信息矩阵与模型参数无 偏估计的 ｃ — Ｒ下界都具有重要 的统计学意义［ ４ ］ 。基 于上述讨论 ， 本文针对服从威布尔分布的截尾样本
满 足 的截 尾数 据 模 型 ， 求 出 了关 于未 知参 数 的 Ｆ ｉ ｓ ｈ —
条 件 密度 函数 为 ：
…川
于是 有 ：
：
（ ｒ ２ ｍ ＋ ｍ ＿ １ ） 軎
喜 ｅ ｘ ｛ ． ＋ — ＋ 。 （ 芳 ］ ｝
（ ｙ ｉ ￣ － ， ＞ ｙ ｉ ＞ Ｏ 。 ｉ ＝ ２ ， …， ｍ一 ）
‘ 。
－
Ｈ …（ 一 唧 （ 别
（ ｙ ２ ＞ Ｏ ）
即： Ｙ ， Ｙ …， Ｙ 的联合 密 度为 ：
，
…
＝
唧
） ６ ㈩
＝
） ， …， Ｙ ｍ ）
于是 ， 就有 相应 的分 布 函数 ：
１ － 亘 Ｉ （ ｒ ， ： ＋ ｍ － ｉ ＋ １ ） ． （ 釉（ 斗
（ ０， ５＞ ０ ， ｙ ｍ ＞ …＞ ｙ ｌ ＞ ０ ）
事 实上 ， 有
Ｊ ， Ｙ ｉ ）
＝
＋ ｍ － ｌ ， Ｉ ￣ １ （
娜
．
ｅ ｘ ｐ
｛ 一 ［ ｃ ＋ （ 告 ） ＋ ｃ ． 用 ＋ 一 （ 告 ］ ）
．
（
（ ＋ － １ ）
（ ｙ ２ ＞ ｙ ｌ ＞ Ｏ ）
卜 …。
（
ｆ ｒ ２ ｒ １ ， （ Ｙ ２ ｌ Ｙ １ ） ＝ ｃ ： ＋ 脚 一 ， 考 ） ｛ ． ＋ 埘 一 ， 『 （ 告 ） 一 （ 告 ） ］ ） ４
（ ０， ５＞ ０ ， ｙ ｒ ＞ ｙ １ ＞ ０ ）
８ ）
证明 由（ ３ ） 和（ ４ ） 可得 ：
继 而 有在 给定 （ Ｙ。 ， Ｙ ） ＝ （ ｙ 。 ， Ｙ ： ） 的条 件下 ， Ｙ， 的
～
，
）
（ ， Ｙ ２ ） ＝
．
） ＾ （ Ｙ ２ ｌ ）
其中， ｛ ａ ， ｌ （ ＝ １ ， …， ｉ 一１ ， ｉ ＝ ２ ， ３ ， …｝ 是 一 个 满 足 ａ Ｈ ＝ ｌ的常数 序列 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
：
∑ ， １ ｆ
七
， 这样， 在给定
（ ＿ １ ｙ
Ｙ。 ＝ ｙ 的条 件下 ， Ｙ 的条 件密 度 函数为 ：
Ｉ － Ｉ （ ｒ ， ： ｋ ￣ ＋ ｋ － ｐ ） ． Ｈ （ ｒ ｋ ： ｐ － ｂ ｐ 一 七 十 ｎ
（ ｋ ＝ ｌ ， …， ｉ ， ｉ ＝ ｌ ， …， ｍ）
五
Ｆ 一 ， ＝ ・ 一 ｅ ｘ ｐ
｛ 一 （ 軎 ］ ｝ ｃ ｅ ， ６ ＞ 。 ， ｙ ＞ 。 ， ｃ ２
根据产品的寿命实验 ， 产生 的截尾样本 Ｙ ， Ｙ ２ ，
…
其 中 ， ： ＝ ∑ｒ ｋ ， （ ｉ － ￣ ， … ， ｍ ） 。
１ ． ２截 尾样 本 的边 际密度 函数 定 理 １截尾 数据 模 型 （ ６ ） 中第 ｉ 个 截 尾样 本 Ｙ
… 川 ． 唧
ｅ
斗 （ 堋 ， ∑
ｌ ｊ
一
： ，
删 ｛ 一 ＋ ＋ （ ｝ ｝
∞ｒ ｐ
这表明：
ｌ ＝１
ａｆ ＋ Ｌ ＾
（ ｙ ３ ＞ ｙ ￣Ｏ ）
＋ｊ —ｋ ＋ｌ （ ｋ ＝ ｌ ， …， ｉ ， ｉ ＝ ２ ， ‘ 一， ｍ一１ ） （ １ ２ ）
一
ｃ ）
删 训 ｅ ） （ ０１ ６＞ ０ ’ ３ ） 截尾数据模型中参数无偏估计的 ｏ 。 卫下界
ｉ
｛ ： ＋ 一 尼 ＋ （ 告 ） ｝ ｃ ｙ ｉ ＞ 。 ， ｉ ： ， … ， ｍ ７ ’
其中，
Ｃ ｉ ｉ ｋ
其中，
，
Ｙ 是满足 Ｏ ＜ Ｙ …＜ Ｙ 的次序统计量 ， 利用【 １ ］ 中
给 出 的次 序统 计 量 的密 度 函数 ， 就 可 以得 到 截 尾样
本Ｙ ， Ｙ： ， …， Ｙ 的联 合密 度 。
对于 Ｙ ， 显 然有 ：
具有 下 列密度 函数 ：
监１ （ ） ＝ ｏ ｆ ， Ｉ （ ＋ ， 一 七 十 １ ） ． ｉ ｅ Ｘ ｐ ｏ