【测控设计】高二数学北师大版选修1-2同步训练：3.4 反证法 Word版含解析[ 高考]

§4反证法
课后作业提升
1否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()
A.有一个解
B.有两个解
C.至少有三个解
D.至少有两个解
解析:至多有两个解包含:有两解,有一解,无解三种情况.
答案:C
2用反证法证明“如果a>b,那么”,假设的内容应是()
A.
B.
C.
D.
解析:假设的内容应是结论的反面,的否定是,故选D.
答案:D
3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是()
A.假设三个内角都不大于60°
B.假设三个内角都大于60°
C.假设三个内角中至少有一个大于60°
D.假设三个内角中至多有两个大于60°
答案:B
4若x,y>0且x+y>2,则的值满足()
A.中至少有一个小于2
B.都小于2
C.都大于2
D.不确定
解析:利用反证法解决.假设≥2,≥2,x>0,y>0,则1+y≥2x,1+x≥2y⇒2+x+y≥2x+2y⇒x+y≤2,这与x+y>2矛盾.故中至少有一个小于2.
答案:A
5用反证法证明命题“若p1p2=2(q1+q2),则关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实数根”时,假设为.
答案:两个方程都没有实数根
6有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖了.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖了.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是.
解析:若甲获奖了,则甲、乙、丙、丁说的话都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.
答案:丙
7假设p,q都是奇数,求证:关于x的方程x2+px+q=0无整数根.
证明:假设方程有整数根α,无论α是奇数还是偶数,都必有α2+pα+q为奇数,这与α2+pα+q=0矛盾.故方程无整数根.
8已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
分析:本题结论中含有“至少”,结论情况比较多,可用反证法证明.
证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)|=2,出现矛盾,
∴假设不成立.
∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.。