§5 微积分学基本定理 定积分的计算(续)

§5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）
一 变限积分与原函数的存在性
设)(x f 在],[b a 上可积，则对],[b a x ∈∀，)(x f 在],[x a 上也可积，于是，由
⎰=Φx
a dt t f x )()(， ],[
b a x ∈ 定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。

类似地，可定义变下限的定积分：
⎰=ψb
x dt t f x )()(，],[b a x ∈ )(x Φ和)(x ψ统称为变限积分。

说明：由于 ⎰⎰-=x
b b
x dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限积分即可。

定理9-9 若)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=Φx
a dt t f x )()(在],[
b a 上连续。

证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。

定理9-10 （原函数存在定理） 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=
Φx a dt t f x )()(在],[b a 上处处可导，且)()()(x f dt t f dx d x x a
==Φ'⎰，],[b a x ∈。

证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。

说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数。

因此，该定理也称之为微积分学基本定理。

且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。

定理9-11 （积分第二中值定理） 设)(x f 在],[b a 上可积。

（1） 若函数)(x g 在],[b a 上单调递减，且0)(≥x g ，则],[b a ∈∃ξ，使得
⎰⎰=b
a a dx x f a g dx x g x f ξ
)()()()(。

（2） 若函数)(x g 在],[b a 上单调递增，且0)(≥x g ，则],[b a ∈∃η，使得
⎰⎰=b
a b
dx x f b g dx x g x f η)()()()(。

推论 设函数)(x f 在],[b a 上可积，函数)(x g 在],[b a 上单调，则],[b a ∈∃ξ，使得
⎰⎰⎰+=b b
a a dx x f
b g dx x f a g dx x g x f ξ
ξ)()()()()()(。

【解题要领】 若函数)(x g 在],[b a 上单调递减，令)()()(b g x g x h -=，则对)(x h 应用定理9-11即得；若函数)(x g 在],[b a 上单调递增，)()()(a g x g x h -=，则对)(x h 应用定理9-11即得。

二 定积分的换元积分法和分部积分法
定理9-12 （定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x ϕ在],[βα上连续可微，且满足
a =)(αϕ，
b =)(βϕ，b t a ≤≤)(ϕ，],[βα∈t ，
则有定积分的换元积分公式： ⎰⎰⎰='=β
εβαϕϕϕϕ)())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f b
a 。

注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。

例1 计算dx x ⎰
-1021。

【解题要领】 令t x sin =或t x cos =即可。

例2 计算⎰2
02cos sin π
tdt t 。

【解题要领】 令t x cos =，逆向应用换元积分公式即可。

例3 计算dx x x J ⎰++=1
021)1ln(。

【解题要领】 先令t x tan =，再令t u -=4π
即可。

定理9-13 （定积分的分部积分法） 若)(x u 、)(x v 为],[b a 上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：
⎰⎰'-='b a b a b a dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(， 或
⎰⎰-=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(。

例4 计算 ⎰e
xdx x 12ln
例5 计算⎰=2
0sin πxdx J n
n 和⎰=20cos π
xdx I n n 。

三 泰勒公式的积分型余项
设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有1+n 阶连续导数，令)(0x U x ∈，则
⎰=-+x
x n n dt t f t x 0)()()1(x x n n n n t f n t f t x n t f t x 0)](!)()()()[()1(1)(++-+---
⎰⋅+x
x dt t f 0)(0 +-'+-=))(()([!)(!000x x x f x f n x f n
)(!])(!
)(0)(x R n x x n x f n n n =-+。

其中)(x R n 即为)(x f 的泰勒公式的n 阶余项。

由此可得)(x R n ⎰-=
+x x n n dt t x t f n 0))((!1)1(， 即为泰勒公式的积分型余项。

由于)()1(t f n +连续，n t x )(-在],[0x x （或],[0x x ）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，)(00x x x -+=∃θξ，10≤≤θ，使得
)(x R n 10)1()1())(()!
1(1)()(!10+++-+=-=
⎰n n x x n n x x f n dt t x f n ξξ。

即为拉格朗日型余项。

若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 )(x R n )())((!
10)1(x x x f n n n --=+ξξ， 其中)(00x x x -+=θξ，10≤≤θ。

而10000)()1()()]([)()(+--=----=--n n n n x x x x x x x x x x x θθξ，故 )(x R n 1000)1()()1))(((!
1++---+=n n n x x x x x f n θθ，10≤≤θ， 称为泰勒公式的柯西型余项。

特别地，当00=x 时，柯西型余项变为： )(x R n 1)1()1)((!1++-=n n n x x f n θθ，10≤≤θ。