第十五章分式之分式方程及其解法人教版2024—2025学年八年级上册

第十五章分式之分式方程及其解法人教版2024—2025学年八年级上册
【考点·方法·破译】
1．分式方程(组)的解法
解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解；或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解；或利用换元法将分式方程化为整式方程；’或利用倒数法使方程更简便.
2．分式方程增根
在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).
【典型例题解析】
类型一、分式方程的解法
例1解下列方程 ：
（1）2112-=-+x x x （2）16
3104245--+=--x x x x
（3）91817161---=---x x x x （4）)
4)(3(1)2)(1(1++=++x x x x
【变式训练】
1.把分式方程
的两边同时乘以（x ﹣2），约去分母，得（ ） A ．1﹣（1﹣x ）＝1
B ．1+（1﹣x ）＝1
C ．1﹣（1﹣x ）＝x ﹣2
D ．1+（1﹣x ）＝x ﹣2
2．解方程：
＝1﹣． 3．解分式方程：﹣1＝．
4.解下列分式方程：（1）
13252+=++x x x x （2）1416222-=-+-+x x x
（3）
31415121+++=+++x x x x （4）3
4455623+++++=+++++x x x x x x x x
5.（1）若1=x 是方程
21x a +＋22x a
-＝0的解，则._______=a （2）若A ＝1x x -，B ＝231
x -＋1，当x ＝_______时，A ＝B ． （3）若3=x 是方程102x +＋2k ＝0的解，则3k k +－269k -÷23
k -的值为.
类型二、分式方程中参数的取值范围
例2（1）若分式方程 4
41+=+-x m x x 产生增根，则.______=m （2）若关于x 的方程 3
132--=-x m x 无解，则.______=m
6.若关于x 的方程
产生增根，则m 的值是（ ） A ．1
B ．2
C ．1或3
D ．3
【变式训练】7.（1）分式方程
22x x -+－22x x +-＝2164
x -的增根是.
（2）若分式方程()()611x x +-－1
m x -＝1有增根，则它的增根为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1，－1
（3）若关于x 的方程
23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为.
（4）分式方程
1m x +－21x -＝232x -无解，则m 的值为.
8.若关于x 的方程
﹣＝﹣1无解，则m 的值是（ ） A ．m ＝ B ．m ＝3
C ．m ＝或1
D ．m ＝或3
思路点拨：分式方程无解有两种情况，（1）化成整式方程时无解（2）整式方程的解为增根
例3关于x 的分式方程
61x -＝()31x x x +-－k x
有解，求k 的取值范围.
例4若关于x 的分式方程
21
1=--x m 的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A. 1->m B. 1-≠m C. 1>m 且1-≠m D. 1->m 且1≠m
【变式训练】 9.若关于x 的分式方程
解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥4
B ．m ≤4且m ≠3
C ．m ≥4且m ≠﹣3
D ．m ≤4
10.已知关于x 的分式方程
的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤5 B ．m ≤5且m ≠3
C ．m ≥5
D ．m ≥5且m ≠3
11.若关于x 的分式方程无解，则m 的值是（ ）
A ．m ＝2或m ＝6
B ．m ＝2
C ．m ＝6
D ．m ＝2或m ＝﹣6
12.关于x 的方程
21
x a x +-＝1的解是正数，则a 的取值范围是( ) A ．1->a B ． 1->a 且0≠a C ．1-<a D ．1-<a 且2-≠a
13.若关于x 的一元一次不等式组
至少有2个整数解，且关于y 的分式方程+＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ．
14.当m 为何值时，关于x 的方程
22m x x --＝ 1x x +－ 12x x --的解是正数?
15.（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．
（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．
16.已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
17．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
18．（1）已知关于x的分式方程．
①当a＝5时，求方程的解．
②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．
（2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值．
思路点拨：首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m 的取值范围．
例4如果关于x 的分式方程
1311
a x x x --=++有负分数解，且关于x 的不等式组()⎪⎩
⎪⎨⎧+<+--≥-124342x x x x a 的解集为2x <-，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ） A. 3- B. 0 C. 3 D. 9
思路点拨：先求出分式方程的解，再根据解不等式组求解得到a 的取值范围，再将a 代入分式方程的解中，满足条件即可
【变式训练】
19.关于x 的方程2222x m x x ++=--的解为正数，且关于y 的不等式组()
⎩⎨⎧+≤-≥-222m m y m y 有解，则符合题意的整数m 有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
20.从﹣3，﹣1，12
，1，3这五个数中，随机抽取一个数记为a ，若数a 使关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+0
3721a x x 无解，且使关于x 的分式方程233x a x x ----=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）
A.3-
B. 2-
C. 32-
D. 12。