基本不等式的应用课件人教新课标

10xy 10, xy 10.
当且仅当2x 5y时，等号成立.
2x2x5y5y20 解得：x 5, y 2.
u lg x lg y lg(xy) lg10 1.
例5 已知 y x 1 (x 0), 证明：y 2. x
证明：(1)当x 0时，y x 1 2, x
.
x 1
二不定,需变形
解:
x 0, x 1 0.
y x 1 (x 1) 1 1 2 1 1.
1 x
1 x
当且仅当 x 1 1 即 x 0 时，等号成立. 1 x
练习 1. 求函数 f x (x 1)2 4 (x 1)的最小值.
x 1
2. 求函数 f x x2 3x 1 (x 1)的最小值.
小结： 基本不等式的应用
1.基本不等式可证明简单的不等式 2.应用基本不等式求最值的问题
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤:
一正,二定,三相等
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
(3)取不到等号时用函数单调性求最值: 一不正, a 0,b 0常用a b 2 ab 二不定,需变形 三不等, 常用单调性
证明：x y (x y)( a b ) a b bx ay
xy
yx
a b 2 bx ay ( a b)2 yx
当且仅当 bx ay 即y b x时，等号成立.
yx
a
2.已知a 0,b 0, c 0, d 0, 求证：
ad bc bc ad 4.
bd
ac
三相等
当且仅当 12 3x 即 x 2 时，等号成立. x
二、应用基本不等式求最值
例2 求函数
错解：
f
(x)
2 log2
x
5 log2
x
(0
x
1) 的范围.
f
x
2
log2
x
5 log2
x
2
2
log 2
x 5 log2
x
22
5.
一不正, a 0,b 0时常用a b 2 ab
正解:
0 x 1,
9
正确解法
“1”代换法
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值.
ab
正确解法
“1”代换法
正解： 1 1 a 2b a 2b
ab a
b
3 2b a 3 2 2
ab
当且仅当 2b a 即: a 2b 时，等号成立
ab
而 a 2b a b 1
b a
ab
ab
2 2ab 2 1 , 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab
1 1
6.
解：1 2x y 2 2xy
xy 1 即 1 2 2
2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即 1 1 的最小值为4 2. xy
错因：解答中两次运用基本不等式中取“=”号过 渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错 .
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值.
log2 x 0.
log2
x
5 log2
x
2
5.
f
x
2
log2
x
5 log2
x
2
( log2
x
5 log2
) x
2
2
5.
当且仅当log2
x
5 log2
, x
即x
2
5
时，等号成立.
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例3 函数 y x 1 (x 0) 的最小值为
，此时x
应用基本不等式求最值
一、复习回顾
基本不等式：
a,b R, a2 b2 2ab
(当且仅当a=b时取“=”号)
a 0,b 0, a b ab 2
(当且仅当a=b时取“=”
号)
2ab ab a b
ab
2
a2 b2 2
极值定理
已知 x, y 都是正数，
（1）如果积 xy 是定值P，那么当 x y 时，
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值. ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1 )
证明： a2b2 a4 b4 , b2c2 b4 c4 , a2c2 a4 c4
2
2
2
a2b2 b2c2 a2c2 (a4 b4 ) (b4 c4 ) (a4 c4 ) 2
a4 b4 c4
a2b2 b2c2 2ab2c, a2b2 a2c2 2a2bc,
b2c2 a2c2 2abc2
2(a2b2 b2c2 a2c2 ) 2(ab2c a2bc abc2 )
xy
正解： 1 1 2x y 2x y
xy x
y
“1”代换
3 y 2x 3 2 2
法
xy
当且仅当 y 2x 即 y 2x 时，等号成立. xy
而 y 2x
2x y 1
x
y
2 2
1
2
2 2
ymin 3 2 2
辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方.
x 1
二、应用基本不等式求最值
(2)先变形再利用基本不等式求函数最值:
例4 求函数 y x2 5 的最小值. x2 4
错解:
y x2 5 x2 4 1
x2 4
x2 4
x2 4
1
x2 4 2
当且仅当 x2 4 1 时，等号成立. x2 4
二、应用基本不等式求最值
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
当且仅当x 1 ，即x 1时，等号成立. x
(2)当x
0时，
x
0,
y
x
1 x
(x)
1
(
x)
由(1)可知( x) 1 2,当且仅当x 1时等号成立. (x)
( x)
1 (x)
2,即y
2.
二、应用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求函数最值的步骤: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数值取到 = 号.
练习：
1、当x>0时， x 1 的最小值为 x
2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知 2x 3y 2(x 0, y 0)
1
则x y 的最大值是
6
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3x 3y 的最小值是（D）
A、10
B、 6 3
C、 4 6
D、18 3
4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ）
证明：ad bc bc ad ac(ad bc) bd(bc ad)
bd
ac
abcd
(a2cd b2cd ) (abc2 abd 2 ) abcd
2abcd 2abcd 4. abcd
3.证明： a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c).
和 x y 有最小值 2 P （2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y 时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
和定积最大，积定和最小
例4 设x, y为正实数，且2x 5y 20, 求 u lg x lg y 的最大值.
解： x 0, y 0, 2x 5y 2x 5y 10xy 2
一正,二定,三相等
二、应用基本不等式求最值
例1 若x 0, f (x) 12 3x 的最小值为 12 ；
x
此时 x 2 .
若x 0, f (x) 12 3x 的最大值为 -12 ；
x
此时 x -2 .
一正
解： x 0
二定
f (x) 12 3x 2 12 3x 12
x
x
2
解 : x2 1 2 x2 1 2x,当且仅当x2 1 即x 1时, x2 1有最小值2x 2.
2、已知x 3,求x 4 的最小值. x
解 : x 4 2 x 4 4,原式有最小值4.
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时,等号成立.
x
三、典型题解析
例5 已知正数 x, y 满足 2x y 1, 求 1 1 的最小值. xy
2 2
1
2
2 2
即此时 zmin 3 2
2
例6、已知 0 x 1，求 x 1 x2 的最大值
构造和为定值，利用基本不等式求最值
解： 0 x 1 1 x2 0
x 1 x2 x2 (1 x2 )
x2 1 x2
1.
2
2
当且仅当x2 1 x2即x 2 时，等号成立. 2
x 1 x2的最大值为 1 . 2
A、 y x 5 (x R, x 0) 5x
B、y lg x 1 (1 x 10) lg x
C、 y 3x 3x (x R)
D、y sin x 1 (0 x )
sin x
2
利用基本不等式证明不等式
1.已知a, b是正数，且
a x
b y
1(x,
y
R ),
求证：x y ( a b)2.
例4 求函数 y x2 5 的最小值.
x2 4
三不等, 常用单调性
正解:
y x2 5 x2 4 1 x2 4 1
x2 4
x2 4
x2 4
令 t x2 4, 则y t 1 (t 2) t
当 t
2,即
x
0 时,
ymin
5. 2
下面题中的解法正确吗？为什么？
1、已知x 1 时,求x2 1的最小值;