北师版高中数学必修第二册精品课件 第4章 三角恒等变换 两角和与差的正弦、正切公式及其应用

= .




cos -cos +
sin


2.已知 α∈

,


A.

C.
D.-7

,


α=-,tan
所以 tan +
答案:A
tan +
B.7
解析:因为 α∈
所以 cos
,且 sin

α=,则


,且 sin

α=,

α=-,
=
+
-
=



,
,选正弦、余弦皆可;
若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为
好.

-,
,选正弦较
【变式训练 2】 已知 tan α,tan β 为方程 x2-3 x+4=0 的两根,且
α,β∈

,



,则 α+β 的值为

.
解析:∵tan α,tan β 为方程 x2-3 x+4=0 的两根,

又因为 sin(α+β)= >0,所以<α+β<π,所以 cos(α+β)=-,
所以 sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=




× − - × ห้องสมุดไป่ตู้ .


又因为<β<π,所以 β= .
sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β .(Sα-β)
3.若 cos

α=- ,且


A.-

C.-
α 是第三象限角,则 sin +


等于(
).

B.

D.
解析:∵α 是第三象限角,
∴sin α=∴sin +
答案:C


- =-,



- +

< +β<π,


-

=
+

.


=- ,

=

,求

所以 sin(α+β)=-sin(π+α+β)
=-sin
=-

=- ×


= .


+ +
+




+


+






+ - ×



+

+


∴tan α+tan β=3 ,tan αtan β=4,
∴tan α,tan β 均大于 0.
又 α,β∈


,

,∴α,β∈ ,
+
又 tan(α+β)=- =

∴α+β=2π+ =


.



-
,∴α+β∈(2π,3π).
=- ,
因忽视隐含条件致误

= ,A∈ ,

B.


D.

,则 sin A 的值为(
).
解析:∵A∈




, ,∴A+ ∈
∴cos + =-
-
∴sin A=sin +
=


×
答案:B







,



+ =-,




- =sin +
− - ×
,
- +

+

=

.



的值为(
).




3.已知 tan α= ,tan β= ,且 α,β 均为锐角,则 α+β 为
解析:由已知得 tan(α+β)=
+
-

∴α+β=.

答案:

=

+


- ×

.
=1.又 α,β 均为锐角,
4.已知 cos


解:因为 0<α<,cos α=,所以 sin α= .

又因为 0<β< ,所以 0<α+β<π.


又因为 sin(α+β)= <sin α,



所以 α+β∈ , ,所以 cos(α+β)=-,
所以 sin β=sin [(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
-
× )
探究一 给值求值
【例 1】




已知<α< ,0<β<,cos
+


=-,sin +
sin(α+β)的值.



解:因为<α< ,所以
所以
因为

sin + =


0<β< , 所以
所以 cos


+ =-
<

+α<π.
和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【变式训练 1】




已知 <β<α< ,sin(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求




sin
2β 的值.


解:因为<β<α< ,


所以 0<α-β< ,π<α+β< .




所以 cos(α-β)=,cos(α+β)=-,

又因为 α,β∈ - , ,

所以 α,β∈ , ,所以
所以

+
α+β= ,所以
α+β∈(0,π),
=

,所以

+
sin
=

.

防范措施 在解决三角函数求值问题时,务必注意对隐含条件
的挖掘,尤其是给值求角问题,一定要注意根据已知条件对角
的范围进行精确界定,以免产生增解.
所以 sin 2β=sin[(α+β)-(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)
=


×

−



×

=0.

探究二 给值求角
【例 2】 已知 cos




α= ,sin(α+β)= ,0<α< ,0<β< ,求角




β 的大小.

【变式训练】 在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,
则角C的大小为(
).

A.


C. 或

B.


D. 或
解析:由已知得(3sin A+4cos B)2+(3cos A+4sin B)2=62+12,
即9+16+24sin(A+B)=37.

所以 sin(A+B)= .




所以在△ABC 中,sin C=,所以 C=或 C= .


又 1-3cos A=4sin B>0,所以 cos A< < ,



所以 A>,所以 C< ,所以 C=.
答案:A
1.若 sin +

A.



C. 或







=sin αcos +cos


αsin


=- × +




×

=- .


二、两角和与差的正切
【问题思考】
1.怎样由两角和与差的余弦公式和正弦公式推导两角和与差
的正切公式?
( + )
提示:根据三角函数的定义,有tan(α+β)= ( + ) ,然后利用两
§2 两角和与差的三角函数公式
2.2 两角和与差的正弦、正切公
式及其应用
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.能够根据两角和与差的余弦公式推导出两角
和与差的正弦、正切公式.
2.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公
式解决求值、化简等问题.
3.了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“ ”,错误
的画“×”.
(1)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.( )
(2)对于任意的α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.( × )
(3)对任意
+
α,β∈R,tan(α+β)=
都成立.(
内在联系,通过利用公式解决化简、证明等问题,
提升逻辑推理素养.借助公式进行求值,提升数
学运算素养.
一、两角和与差的正弦
【问题思考】
1.由公式Cα±β出发,你能推出两角和与差的正弦公式吗?利用
什么公式推导?
提示:可以,利用 sin α=cos

-

.
2.sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β .(Sα+β)
【典例】 已知 tan α,tan β 是方程 x2-5 x+6=0 的两个根,且 α,
β∈

-,
,求
+
sin 的值.
错解:由已知得 tan α+tan β=5 ,tan αtan β=6,
+

因此 tan(α+β)=- = - =- .
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin

β= ×

β= ×

-

-
+

×

−

×


-

-
+
=- ,
-
= .
3.两角和与差的正切公式是否对于任意角都有意义?

提示:α,β均有一定取值范围,即α,β,α±β均不等于kπ+ (k∈Z).
4.tan 105°=
.
解析:tan
°+°
105°=tan(60°+45°)=-°°
答案:-2-
=
+
=-2-
.
【思考辨析】
一步缩小为 α,β∈

,
,从而导致增解.

- ,

进
正解:由已知得 tan α+tan β=5 ,tan αtan β=6,
因此
+
tan(α+β)=
-
=

=-
.
因为 tan α+tan β=5 >0,tan αtan β=6>0,所以 tan α>0,tan β>0.
反思感悟 1.解答给值求角问题的关键是找出已知角和所求
角之间的联系,解答此类问题最容易出错的地方是求角的范
围.
2.给值求角问题实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数
值,再求角的范围,最后确定角.求角的某一函数值遵照以下原
则.(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正弦、余弦函数
值,选正弦或余弦函数.若角的范围是

α=,α∈

,
sin(α+β),sin(α-β)的值.
,sin

β=-,β
是第三象限角,求
解:∵cos

α=,α∈
∴sin α=
∵sin
-

β=- ,β

∴cos β=-

,
=
,

.

是第三象限角,


- =- .

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin
·

+


反思感悟 1.在解决给值求值问题时,一定要注意已知角与所
求角之间的关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角之
间的关系,利用角的代换化异角为同角.
2.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的
和或差的形式.
3.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的

又因为 α,β∈ - , ,所以 α+β∈(-π,π),所以
+
所以
=

+
或
=,所以



+
sin
=

或


α+β= 或
sin

α+β=-,
+
=.


以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中忽视了 tan α,tan β 都大于零,没有将 α,β∈

=
×
又因为

−




- × = .


0<β<,所以 β=.


若把本例中的“0<β<”改为“<β<π”,求角 β 的大小.



解:因为 0<α<,cos α=,所以 sin α= .



又因为<β<π,所以<α+β< .


角和的正弦公式与余弦公式展开,分子、分母同除以cos αcos
β(当cos αcos β≠0时)即可得到两角和的正切公式.将β用-β代替,
即可得到两角差的正切公式.
+
2.tan(α+β)=-.(Tα+β)
-
tan(α-β)=+.(Tα-β)