【易错题】高中必修二数学下期中试卷含答案(1)

【易错题】高中必修二数学下期中试卷含答案(1)
一、选择题
1．设曲线3
1
x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4
B ．14
-
C ．
14
D ．4
2．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（ ）
A 2
B ．17
C ．2
D ．8
3．设圆C ：2
2
3x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．60,5
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,1
D ．16,25⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ 4．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆
22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，
则k 的值为（ ） A ．3
B ．
21
2
C ．22
D ．2
5．直线20x y ++=截圆2
2
2210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3 B ．－4
C ．－6
D ．366．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积
为（ ） A ．
814π
B ．16π
C ．9π
D ．
274
π
7．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．
72
π B ．56π
C ．14π
D ．64π
8．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中
心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
31
2
+ B ．31-
C ．
22
D ．
51
2
- 9．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3
，则这个球的表面积为（ ） A ．
1256
π
B ．8π
C ．
2516
π
D ．
254
π
10．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ①若，，则
； ②若，，则； ③若，
，
，则
④若
，
，
，则
.
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
11．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
12．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶5
D ．3∶2
二、填空题
13．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线
A 1
B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．
14．若过点(8,1)P 的直线与双曲线22
44x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．
15．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交
AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.
16．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．
17．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．
18．如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===
，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.
19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.
20．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.
三、解答题
21．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，将ABC ∆沿中位线DE 翻折得到如图（2）所示的空间图形，使二面角A DE C --的大小为02πθθ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
.
（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ； （2）若3
π
θ=
，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值.
22．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .
（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23
BE BC =u u u v u u u v
，求直
线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.
23．如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.
（1）求证：EF P 平面ABD ；
（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 24．四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BCD ∠=︒，
22AB AD DC ===.PAD △ 为正三角形，二面角P -AD -C 的大小为
23
π.
（1）线段AD 的中点为M.求证：平面PMB ⊥平面ABCD ； （2）求直线BA 与平面P AD 所成角的正弦值.
25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中（侧棱垂直于底面的三棱柱），D ，E ，F 分别是线段1CC ，1AC ，AB 的中点，P 为侧棱1CC 上的点，1CP =，90ACB ∠=︒，
14AA AC ==，2BC =.
（1）求证；//PF 平面BDE ； （2）求直线PF 与直线BE 所成的角.
26．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为
PB 的中点，且PMB △为正三角形.
（1）求证：//DM 平面APC ； （2）求证：BC ⊥平面APC ；
（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值． 【详解】
解：由31
x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线3
1
x y x +=
-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =． 故选D ． 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．
2．B
解析：B 【解析】
【分析】
依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】
依题意，因为111A B C △的面积为
所以11111sin 452AC B C ︒=
⨯⋅=111222
B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，
由勾股定理得：AB ====
故选B ． 【点睛】
本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '
轴平行且长度减半.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO
OPQ PO
∠=
，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π
∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得
知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的． 【详解】
由分析可得：22200PO x y =+
又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--
要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …
故2222
000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605
x 剟 即0x 的取值范围是6
[0,]5
， 故选：B ． 【点睛】
解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】
圆C 方程为()2
211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．
因为PA ，PB 为切线，
22
1PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．
∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小，
此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．
又min PC =
，222
2+1⎛⎫∴=，2k ∴=，故选D. 【点睛】
圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
由题意，根据圆的方程2
2
2210x y x y a ++-+-=，即2
2
(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-
，半径r =
又由圆心到直线的距离为d =
=
所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．A
【解析】 【分析】 【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =
，
由勾股定理()2
224R R =+-得94
R =， ∴球的表面积81
4
S π=
，故选A.
考点：球的体积和表面积
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
所以()
2
36abc =，于是213a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，
设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项. 【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
解析：B 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率. 【详解】
由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥， 又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-， 在12Rt PF F ∆中，2
2
2
(2)4a c c c -+=， 即2222a ac c -= 所以2
220,(0,1)e e e +-=∈，
解得1e =
=， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：根据题意知，ABC V 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S V 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为
12·33ABC S DQ =V ，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO V 中，222OA AQ OQ =+，即()2
2212R R =+-，∴5
4
R =
，则这个球的表面积为：2
525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭
；故选Ｄ．
考点：球内接多面体，球的表面积．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．
【详解】
由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩
，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝
πr 2，S 底＝πr 故选
C．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
二、填空题
13．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其
解析：
10
.
【解析】
【分析】
连接
1
CD、CM，取1
CD的中点N，连接MN，可知11
//
A B CD，且
1
CD M
∆是以
1
CD为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1
cos CD M
∠的值作为所求的答案．
【详解】
如下图所示：
连接
1
CD、CM，取1
CD的中点N，连接MN，
在正方体1111
ABCD A B C D
-中，
11
//
A D BC，则四边形
11
A BCD为平行四边形，
所以11
//
A B C D，则异面直线
1
A B和
1
D M所成的角为
1
CD M
∠或其补角，
易知
11111
90
B C D BC C CDD
∠=∠=∠=o，由勾股定理可得
1
5
2
CM D M
==，1
2
CD
N
Q为
1
CD的中点，则
1
MN CD
⊥，在
1
Rt D MN
∆中，1
1
1
10
cos
5
D N
CD M
D M
∠==，因此，异面直线1A B和1D M所成角的余弦值为
10
5
，故答案为
10
5
．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
14．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=
【解析】 【分析】
设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，
2222112244,44x y x y -=-=Q ，
()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-= ()()12121680x x y y ∴---=，
121216
28
y y x x -==- 2AB k ∴=，
∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.
【点睛】
本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.
15．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本
解析：60° 【解析】 【分析】
首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】
由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以
SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而
SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面
角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则2SB BC ==，所以2SC =，所以在
Rt SAC ∆中，1
2
SA SC =
，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o 【点睛】
本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
16．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：
【解析】
试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为
23
r =
，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：2
2
2
7
3
R r d =+=
，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为2
2843
S R π
π==
． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．
【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．
17．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD
解析：（2，4） 【解析】 【分析】 【详解】
取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，
而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.
如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．
易求得P(2,4)．
18．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：
26
+ 【解析】 【分析】
首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最
小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解．
【详解】
在POB V 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=
，同理2PC =，所以PB PC BC ==，
在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '， 使之与平面ABP 共面，如图所示，
当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='， 所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点， 从而2626
222
OC OE EC ''=+=
+= 亦即CE OE +26
+ 26
+ 【点睛】
本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
19．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】 解析：74
【解析】 【分析】
将2291041y x x x =++-+变形为()
2
222354y x x =++
-+，设()0,3A ，
()5,4B ，(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+即x 轴上的一动点C 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，即可求出距离
和的最小值； 【详解】
解：()
2
2222291041354y x x x x x =++-+=++
-+，设()0,3A ，()5,4B ，
(),0C x ，则()2222354y x x AC BC =++-+=+，即x 轴上的一动点(),0C x 到()0,3A ，()5,4B 的距离之和，作()0,3A 点关于x 轴的对称点()10,3A -，连接1BA ，则
1BA 即为距离和的最小值，()22153474BA =+--=
min 74y ∴=
故答案为：74
【点睛】
本题考查平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，将军饮马问题，属于中档题.
20．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A
解析：菱形 【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．
∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）64
【解析】 【分析】
（1）证明DE ∥BC ，DE ⊥平面ABD ，可得BC ⊥平面ABD ，由面面垂直的判定定理即可证出平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，所以
AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(003A ,
,，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，利用空间向
量法求解即可. 【详解】
（1）由题意可知DE 为ABC V 的中位线，所以//DE BC BC ， 因为90B =o ∠，所以BC AB ⊥，所以DE AB ⊥，
因为图（2）所示的空间图形是由ABC V 沿中位线DE 翻折得到的，
所以DE AD ⊥，DE BD ⊥，又AD BD D =I ， 所以DE ⊥平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABD ⊥平面ABC ；
（2）由（1）可知二面角A DE C --的平面角即为ADB ∠，所以3
π
θ∠==ADB ，
因为AD BD =，所以
ABD △为等边三角形，
如图取BD 的中点O ，所以AO BD ⊥，由（1）可知平面ABD ⊥平面BCDE ，
Q 平面ABD ⋂平面BCDE BD =，AO ⊂平面ABD ，
所以AO ⊥平面BCDE ，所以以O 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设图1等腰直角ABC V 中4AB =，则图2中2AD BD AB ===，
则()
003A ,
,，()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0E -， 所以()1,0,3AB =-uu u r ，()
1,4,3=-u u u r AC ，()
1,2,3=--u u u r
AE ，
设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =u r
，
所以有00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即30430
x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，取()
3,0,1m =u r ，
设直线AE 与平面ABC 所成的角为α，
所以6
sin cos ,m AE m AE m AE
α⋅=<>==⋅u r u u u r u r u u u r u u r u u u u r ，
所以直线AE 与平面ABC 所成的角的正弦值为
6
4
.
【点睛】
本题主要考查面面垂直的判定定理以及空间中直线与平面所成角的求法，解题时要会用法向量求线面角.
22．4205
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题意1l ⊥平面SAB ，得到所以1l SA ⊥，同理可证2l SA ⊥，利用线面
垂直的判定定理，即可证得SA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）分别以AB u u u r 、AD u u u r 、AS u u u r
所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量EF u u u r
和平面SCD 的一个法向量为n r
，利用向量的夹角公式，即可求解直线与平面所成的角的正弦值. 试题解析：
（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥.
因为AB AD A ⋂=，所以1l ，2l 为两条相交直线.
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，
1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB .所以1l SA ⊥.同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD .
证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB ⋂平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，
1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD .同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂
线有且仅有一条，所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD .所以，直线1l 为平面SAB 与平面
SAD 的交线.所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .
（Ⅱ）如图，分别以AB u u u v 、AD u u u v 、AS u u u v
所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，()2,0,0B ，()2,3,0C ，
()0,3,0D ，()0,0,6S .
由F 为SC 的中点，得31,,32F ⎛⎫
⎪⎝⎭
；由23BE BC =u u u v u u u v ，得()2,2,0E .所以
11,,32EF u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，()2,3,6SC =-u u
u v ，()2,0,0DC =u u u v .设平面SCD 的一个法向量为
(),,n x y z =v
，
则00
n SC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =.所以()0,2,1n =v .
所以cos ,EF n u u u v v EF n EF n ⋅=⋅u u u v v u u u v v (
)110231⎛⎫-⨯+-⨯+⨯ ⎪=
=. 所以，直线EF 与平面SCD
. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据线面平行的判定定理，在平面ABD 中找EF 的平行线，转化为线线平行的证明；
（2）根据面面垂直的判定定理，转化为CD ⊥平面AEF . 【详解】
（1）E Q ，F 分别是BC ，CD 的中点，EF ∴P BD ； 又Q EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，
EF ∴P 平面ABD .
（2）BD CD ⊥Q ，EF P BD ，EF CD ∴⊥；
AE ^Q 平面BCD ，AE CD ∴⊥；
又EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，
CD \^平面AEF ，又CD ⊂平面ACD ， ∴平面AEF ⊥平面ACD .
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明，难点在于转化为线面垂直,方法：结合已知条件，选定其中一个面为垂面，在另外一个面中找垂线，不行再换另外一个面. 24．（1）证明见解析；（2）34
. 【解析】 【分析】
(1)直角梯形ABCD 中,过D 作DF ⊥AB 于F ,求解三角形可得ABD △为正三角形，又PAD △为正三角形，M 为线段AD 的中点，可得PM ⊥AD ，BM ⊥AD ，再由线面垂直的判定可得
AD ⊥平面PBM ，从而得到平面PMB ⊥平面ABCD ；
(2)在平面PMB 中，过B 作BO ⊥PM ,垂足为O ,则BO ⊥平面P AD ,连接AO ,则∠BAO 为直线BA 与平面P AD 所成角，然后求解三角形得答案. 【详解】
（1）证明：过D 作DF ⊥AB 于F
在Rt ADE ∆中，2,1AD AE ==,
3
BAD π
∴∠=
∴BAD V 和PAD △是正三角形， ∵M 是AD 的中点， ∴AD MB ⊥，AD MP ⊥， 又∵MB MP M ⋂=， ∴AD ⊥平面PMB ， 又∵AD ⊂平面ABCD ∴平面PMB ⊥平面ABCD.
（2）由（1）知PMB ∠是二面角P -AD -B 的平面角 ∴23
PMB π
∠=
. 由（1）知AD ⊥平面PMB ∵AD ⊂平面P AD ∴平面PAD ⊥平面PBM
∴过B 作平面P AD 的垂线，则垂足E 在PM 延长线上,
∴3
BME π
∠=
. 连结AE ，则BAE ∠是AB 与平面P AD 所成的角,
∴3BM =
，∴32BE =
， ∴3sin 4
BAE BE AB ∠=
= 【点睛】 本题主要考查平面与平面垂直的判定，线面角的求法，二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.
25．（1）证明见解析；（2）90°
【解析】
【分析】
（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，可证P 为CD 中点，可证//PG BD ，
////FG AC ED ，证明平面PFG P 平面BED ，从而得证； （2）以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，表示出PF u u u r 和BE u u u r ，利用向量的夹角公式即可求解
【详解】
（1）作BC 中点G ，连结PG ，FG ，
因为F 为AB 中点，G 为BC 中点，所以FG AC P ，又因为E 为1AC 中点，D 为1CC 中点，所以ED AC P ，所以FG ED ∥，又因为1CP =，14AA =，所以P 为CD 中点，所以PG BD P ，又因为FG PG G ⋂=，所以平面PFG P 平面BED ，FP ⊂平面PFG ，所以//PF 平面BDE ；
（2）因为90ACB ∠=︒，三棱柱为直三棱柱，故以CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,1,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2F B P E ，
故()()2,1,1,2,2,2PF BE =-=-u u u r u u u r ，cos ,0PF BE PF BE PF BE
⋅==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故直线PF 与直线BE 所成的角为90°
【点睛】
本题考查线面平行的证法，异面直线夹角的求法，属于中档题
26．（1）见详解；（2）见详解；（353. 【解析】
【分析】
(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .
(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .
(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.
【详解】
(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，
所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P .
又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，
所以MD APC ∥平面.
(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.
又MD AP P ，所以AP PB ⊥.
又因为AP PC ⊥，PB PC P I ＝，所以AP PBC ⊥平面.
因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .
又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，
所以BC APC ⊥平面.
(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP P ，
所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.
因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形， 所以3535,22
PB MB MD MB ====. 由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，
在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝.
于是
111
433
222
BCD BCP
S S⨯⨯⨯=
△△
＝＝.
所以
11
3
33
D BCM M DBC BCD
V V S MD
--
⨯=
g
△
＝＝＝.
【点睛】
本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.。