济阳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

济阳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（ ）
A ．4+2i
B ．20+10i
C ．4﹣2i
D ．
2． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 已知一组函数f n （x ）=sin n x+cos n x ，x ∈[0，]，n ∈N *，则下列说法正确的个数是（ ）
①∀n ∈N *，f n （x ）≤
恒成立
②若f n （x ）为常数函数，则n=2
③f 4（x ）在[0，
]上单调递减，在[
，
]上单调递增．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则O P Q ∆的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
2 D ．4
5． 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,2]上是增函数，则
A 、(25)(11)(80)f f f -<<
B 、(80)(11)(25)f f f <<-
C 、(11)(80)(25)f f f <<-
D 、(25)(80)(11)f f f -<<
6． 函数
的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应该是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
7． 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．
8． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.
9． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,0}--
B ．{1,0,1,2}-
C ．{2,1,0}--
D ．{1,,0,1}-
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
10．观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
11．已知点A （0，1），B （﹣2，3）C （﹣1，2），D （1，5），则向量在
方向上的投影为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣
12．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
二、填空题
13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数
（为自然对数的底数），若
，则实数 的取值范围为______．
14．已知函数f （x ）=x m 过点（2，），则m= ．
15．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x
C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．
16．已知f （x ）=
，则f[f （0）]= ．
17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．
18．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
三、解答题
19．设函数，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，求实数m 的取值范围．
20．如图，在三棱锥 P ABC -中，,,,E F G H 分别是,,,AB AC PC BC 的中点，且
,PA PB AC BC ==.
；
（1）证明：AB PC
（2）证明：平面PAB平面FGH.
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
22．（本小题满分12分） 已知函数2()x f x e ax bx =--.
（1）当0,0a b >=时，讨论函数()f x 在区间(0,)+∞上零点的个数； （2）证明：当1b a ==，1[,1]2
x ∈时，()1f x <.
23．已知一个几何体的三视图如图所示． （Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A 为所在线段中点，点B 为顶点，求在几何体侧面上从点A 到点B 的最短路径的长．
24．已知集合A={x|a ﹣1＜x ＜2a+1}，B={x|0＜x ＜1} （1）若a=，求A ∩B ．
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
济阳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
2．【答案】
D
【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，
故目标被击中的概率为1﹣=，
故选：D．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】解：①∵x∈[0，]，∴f
n
（x）=sin n x+cos n x≤sinx+cosx=≤，因此正确；
②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，
当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则f n（x）=+=g（t），g′（t）=﹣
=，当t∈时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；
当t∈时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数f n（x）不是常数函数，因此②正确．
③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，当x∈[0，
]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上单调递减，当x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上单调递增，因此正确．
综上可得：①②③都正确． 故选：D ．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4． 【答案】C 【解析】
∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③， 联立①②③可得2
18
m =，
∴12y y -==．
∴12122
S OF y y =
-=
． （由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩
，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
考点：抛物线的性质．
5． 【答案】D
【解析】∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=， ∴()f x 的周期为8，∴(25)(1)f f -=-，)0()80(f f =，
(11)(3)(14)(1)(1)f f f f f ==-+=--=，
又∵奇函数)(x f 在区间[0,2]上是增函数，∴)(x f 在区间[2,2]-上是增函数， ∴(25)(80)(11)f f f -<<，故选D. 6． 【答案】D
【解析】解：∵函数y=cos （x+）的最小正周期不大于2，
∴T=
≤2，即|k|≥4π，
则正整数k 的最小值为13．
故选D
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．
7． 【答案】C
【解析】
【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱
垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，
两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为： =4
，
另一个侧面的面积为： =4
，
四个面中面积的最大值为4；
故选C ． 8． 【答案】B
9． 【答案】C
【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．
10．【答案】C
【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．
继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．
故选C．
11．【答案】D
【解析】解：∵；
∴在方向上的投影为==．
故选D．
【点评】考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．
12．【答案】D
【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
14．【答案】﹣1．
【解析】解：将（2，）代入函数f（x）得：=2m，
解得：m=﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．
15．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

16．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
17．【答案】x﹣y﹣2=0．
【解析】解：直线AB的斜率k AB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
18．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的
倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵
，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣x ﹣2=（3x+2）（x ﹣1），
∴当x ∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f ′（x ）＞0；
当x ∈（﹣，1）时，f ′（x ）＜0；
∴f （x ）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减；
且f （﹣）=﹣
﹣×+2×+5=5+
，f （2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；
故f max （x ）=f （2）=7；
故对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立可化为7＜m ；
故实数m 的取值范围为（7，+∞）．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线的位置关系.
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
结合AB⊥AD，可得
分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ）（λ＞0）
∴，，
得，，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．
∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC 的一个法向量是
，
设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，
则，解之
得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P 的坐标为（0，0，2）
设平面PCD 的一个法向量为
=（x
0，y 0，z 0），
，
由
，
，得到，
令x 0=1，可得y 0=z 0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）
∴cos ＜
，
由图形可得二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角是锐角，
∴二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角的余弦值为
．
【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．
22．【答案】（1）当2(0,)4e a ∈时，有个公共点，当24e a =时，有个公共点，当2
(,)4
e a ∈+∞时，有个公共
点；（2）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得2x e a x
=,构造函数2()x
e h x x =,利用()'h x 求出
单调性可知()h x 在(0,)+∞的最小值2
(2)4
e h =,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数
2()1x h x e x x =---,利用导数可判断()h x 的单调性和极值情况,可证明()1f x <.1
试题解析：
当2
(0,
)4
e
a ∈时，有0个公共点； 当2
4e a =，有1个公共点；
当2
(,)4
e a ∈+∞有2个公共点.
（2）证明：设2()1x h x e x x =---，则'()21x
h x e x =--，
令'
()()21x
m x h x e x ==--，则'
()2x
m x e =-，
因为1(,1]2x ∈，所以，当1[,ln 2)2
x ∈时，'
()0m x <；()m x 在1[,ln 2)2
上是减函数，
当(ln 2,1)x ∈时，'
()0m x >，()m x 在(ln 2,1)上是增函数，
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
24．【答案】
【解析】解：（1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1}
∴A∩B={x|0＜x＜1}
（2）若A∩B=∅
当A=∅时，有a﹣1≥2a+1
∴a≤﹣2
当A≠∅时，有
∴﹣2＜a≤或a≥2
综上可得，或a≥2
【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=∅时，要考虑集合A=∅的情况，体现了分类讨论思想的应用．。