9-2 两直线的位置关系
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第2课时 两直线的位置关系
…2019 考纲下载… 1．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两 条平行直线间的距离．
请注意 本课知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一 是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间 的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心 对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现．
方法二：设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 将方法一中求得的交点坐标(－53，79)． 代入上式得 4·(－53)－3·79＋m＝0. ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0. 方法三：∵所求直线过点(－53，79)，且与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，∴所求直线的方程为 4(x＋53)－3(y－79)＝0， 即 4x－3y＋9＝0.
题型二 距离公式 已知点 P(2，－1)． (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离 是多少？ (3)求过点 P 且斜率为 2 的直线与直线 4x－2y＋1＝0 之间的 距离； (4)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求 出方程；若不存在，请说明理由．
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m 为参数且 m≠b)；与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直 线系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂 直的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ 为参数)．
【2018年上海卷12】
★状元笔记★ 几种常用的直线系方程 (1)共点直线系方程：经过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0，其中 A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程 中，无论 λ 取什么实数，都得不到 A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不 能表示直线 l2. (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 y－y0＝k(x－x0)(k 为参数) 及 x＝x0.
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件 待定时，那么可选用直线系方程来求解．
对称问题
（1）中心对称
①点的中心对称
若点M（x1，y1）关于P（a，b）的对称点为N(x,y),
则由中点坐标公式可得
x y
(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直
线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图．
由 l⊥OP，得 klkOP＝－1，
所以 kl＝－k1OP＝2. 由直线方程的点斜式，得 y＋1＝2(x－2)，即 2x－y－5＝0.
所以直线 2x－y－5＝0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直
线，最大距离为|－5|＝ 5
思考题 1 已知两直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋ 3y＋2m＝0，根据下面 l1 与 l2 的位置关系，求实数 m 的值或取值 范围．
(1)相交； (2)垂直； (3)平行； (4)重合．
【解析】 (1)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 相交； 当 m≠0 时，由－m1 ≠－m－3 2，得 m≠－1 且 m≠3. (2)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不垂直； 当 m≠0 时，由(－m1 )·(－m－3 2)＝－1，得 m＝12. (3)若 l1 与 l2 平行,则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ≠－23m,∴m＝－1. (4)若 l1 与 l2 重合，则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ＝－23m，∴m＝3. 【答案】 (1)m≠－1 且 m≠3 (2)m＝12 (3)m＝－1 (4)m＝3
方法四：设所求直线的方程为 (2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0. 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.① 又因为直线①与 3x＋4y－7＝0 垂直． 则有 3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2. 代入①式得所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0. 【答案】 4x－3y＋9＝0
思路三：设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即 (2＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1＋4λ)＝0，再利用垂直关系建立 λ 的方程，求 出 λ 即可得到所求直线方程．
【解析】 方法一：由方程组2x－x＋33y＋y＋41＝＝00，， 解得xy＝ ＝－79. 53，∴交点为(－53，79)． ∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直，∴所求直线的斜率 k＝43. 由点斜式，得 y－79＝43(x＋53)． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
(2)求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点， 并且垂直于直线 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 思路一：先求两条直线的交点坐标，再由两直线的 垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程．
思路二：因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，两条直线的 斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两条 直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
大距离为 5
11 5 (3) 10
(4)不存在
★状元笔记★ 注意事项
(1)求点到直线距离时，直线方程一定要化成 Ax＋By＋C＝0 的形式．
(2)求两平行线间的距离时，一定要化成 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 的形式．
方法技巧 转化与化归思想在直线方程 中的应用 数学问题的解答离不开转化与化归．利用它把代数问题几何化， 几何问题代数化，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题， 可使较繁的数学问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快 速得到解决． 【示例】 已知 a＋b＝3，求 a2＋b2＋10a－4b＋29的最小值． [思路分析] 利用转化思想，看作点 P(a，b)与点 A(－5,2)的距离 的最小值问题．
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m 为参数且 m≠b)；与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直 线系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂 直的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ 为参数)．
解 点 P(a，b)在直线 x＋y－3＝0 上， 而 a2＋b2＋10a－4b＋29＝ a＋52＋b－22， 本题可以看作是求点 P(a，b)与点 A(－5,2)的距离的最小值问题， 这个过程就是转化过程．点 P(a，b)在直线 x＋y－3＝0 上， 点 A(－5,2)到直线 x＋y－3＝0 的距离为 d＝|－5＋22－3|＝3 2， 此即所求代数式的最小值．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件 待定时，那么可选用直线系方程来求解．
题型三 直线系方程 (1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1 ＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．
【证明】 方法一：令 m＝0，则直线方程为 3x＋y＋1＝0.① 再令 m＝1 时，直线方程为 6x＋y＋4＝0.② ①和②联立方程组36xx＋ ＋yy＋ ＋14＝ ＝00， ，得xy＝ ＝－ 2. 1，
(2)两条直线的垂直． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1⊥l2⇔__k_1·_k_2_＝_－__1． ②若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零， 则两条直线_垂__直__． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1⊥l2 ⇔__A__1A__2＋__B_1_B_2_＝_．0 (3)直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 相交的条件是__k_1≠_k_2_. 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交的条件是 __A__1B__2≠_A__2B_．1
方法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(x－y＋3) ＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①
不论 m 为何实数，①式恒为零， ∴有x23－xx＋ ＋y＋yy＝ ＋3＝ 01， ＝0， 0，解得xy＝ ＝－ 2. 1， 故动直线恒过点 A(－1，2)． 【答案】 定点 A(－1，2)
将点 A(－1，2)代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋ 3m2＋1＝0 中，
(m2 ＋ 2m＋ 3)×( － 1) ＋ (1 ＋ m－ m2)×2 ＋ 3m2 ＋ 1 ＝ (3 － 1 － 2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
故此点 A(－1，2)坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m2 ＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0 恒过定点 A.
【思路】 结合图形，根据点到直线的距离公式求解． 【解析】 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的 坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足 条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x＝2. 若斜率存在，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)， 即 kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－2k2k＋－11|＝2，解得 k＝34. 此时 l 的方程为 3x－4y－10＝0.
5.
(3)两直线分别为
2x－y－5＝0 和 4x－2y＋1＝0，(2x－y＋12＝0)
∴距离
d＝|12－（22＋－152）|＝1110
5 .
(4)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，
因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线．
【答案】 (1)x＝2 和 3x－4y－10＝0 (2)2x－y－5＝0，最
课前自助餐
判定两条直线的位置关系
(1)两条直线的平行． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2⇔__k_1＝__k_2_且 ___b_1≠_b_2_，l1 与 l2 重合⇔__k_1_＝_k_2_且__b_1＝__b．2 ②当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有_l_1∥__l_2 _． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 ⇔A1B2＝A2B1 且 B1C2≠B2C1，l1 与 l2 重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2， C1＝λC2(λ≠0)．
点到直线的距离 点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)的距离 ________________．
两平行线间的距离 两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠ C2)间的距离为_________．
授人以渔
★状元笔记★ 判定两直线平行与垂直的两种思路 (1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则直线 l1∥l2⇔kb11＝≠kb22，，l1⊥l2 的充要条件是 k1·k2＝－1. (2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2＝A2B1.(不充分)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
★状元笔记★ 几种常用的直线系方程 (1)共点直线系方程：经过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0，其中 A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程 中，无论 λ 取什么实数，都得不到 A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不 能表示直线 l2. (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 y－y0＝k(x－x0)(k 为参数) 及 x＝x0.
…2019 考纲下载… 1．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两 条平行直线间的距离．
请注意 本课知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一 是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间 的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心 对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现．
方法二：设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 将方法一中求得的交点坐标(－53，79)． 代入上式得 4·(－53)－3·79＋m＝0. ∴m＝9.代入所设方程． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0. 方法三：∵所求直线过点(－53，79)，且与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，∴所求直线的方程为 4(x＋53)－3(y－79)＝0， 即 4x－3y＋9＝0.
题型二 距离公式 已知点 P(2，－1)． (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离 是多少？ (3)求过点 P 且斜率为 2 的直线与直线 4x－2y＋1＝0 之间的 距离； (4)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求 出方程；若不存在，请说明理由．
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m 为参数且 m≠b)；与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直 线系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂 直的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ 为参数)．
【2018年上海卷12】
★状元笔记★ 几种常用的直线系方程 (1)共点直线系方程：经过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0，其中 A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程 中，无论 λ 取什么实数，都得不到 A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不 能表示直线 l2. (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 y－y0＝k(x－x0)(k 为参数) 及 x＝x0.
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件 待定时，那么可选用直线系方程来求解．
对称问题
（1）中心对称
①点的中心对称
若点M（x1，y1）关于P（a，b）的对称点为N(x,y),
则由中点坐标公式可得
x y
(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直
线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图．
由 l⊥OP，得 klkOP＝－1，
所以 kl＝－k1OP＝2. 由直线方程的点斜式，得 y＋1＝2(x－2)，即 2x－y－5＝0.
所以直线 2x－y－5＝0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直
线，最大距离为|－5|＝ 5
思考题 1 已知两直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋ 3y＋2m＝0，根据下面 l1 与 l2 的位置关系，求实数 m 的值或取值 范围．
(1)相交； (2)垂直； (3)平行； (4)重合．
【解析】 (1)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 相交； 当 m≠0 时，由－m1 ≠－m－3 2，得 m≠－1 且 m≠3. (2)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不垂直； 当 m≠0 时，由(－m1 )·(－m－3 2)＝－1，得 m＝12. (3)若 l1 与 l2 平行,则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ≠－23m,∴m＝－1. (4)若 l1 与 l2 重合，则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ＝－23m，∴m＝3. 【答案】 (1)m≠－1 且 m≠3 (2)m＝12 (3)m＝－1 (4)m＝3
方法四：设所求直线的方程为 (2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0. 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.① 又因为直线①与 3x＋4y－7＝0 垂直． 则有 3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2. 代入①式得所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0. 【答案】 4x－3y＋9＝0
思路三：设所求直线方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即 (2＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1＋4λ)＝0，再利用垂直关系建立 λ 的方程，求 出 λ 即可得到所求直线方程．
【解析】 方法一：由方程组2x－x＋33y＋y＋41＝＝00，， 解得xy＝ ＝－79. 53，∴交点为(－53，79)． ∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直，∴所求直线的斜率 k＝43. 由点斜式，得 y－79＝43(x＋53)． 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
(2)求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点， 并且垂直于直线 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 思路一：先求两条直线的交点坐标，再由两直线的 垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程．
思路二：因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，两条直线的 斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两条 直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
大距离为 5
11 5 (3) 10
(4)不存在
★状元笔记★ 注意事项
(1)求点到直线距离时，直线方程一定要化成 Ax＋By＋C＝0 的形式．
(2)求两平行线间的距离时，一定要化成 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 的形式．
方法技巧 转化与化归思想在直线方程 中的应用 数学问题的解答离不开转化与化归．利用它把代数问题几何化， 几何问题代数化，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题， 可使较繁的数学问题直观化、简单化、具体化，从而使问题快 速得到解决． 【示例】 已知 a＋b＝3，求 a2＋b2＋10a－4b＋29的最小值． [思路分析] 利用转化思想，看作点 P(a，b)与点 A(－5,2)的距离 的最小值问题．
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m 为参数且 m≠b)；与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直 线系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂 直的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ 为参数)．
解 点 P(a，b)在直线 x＋y－3＝0 上， 而 a2＋b2＋10a－4b＋29＝ a＋52＋b－22， 本题可以看作是求点 P(a，b)与点 A(－5,2)的距离的最小值问题， 这个过程就是转化过程．点 P(a，b)在直线 x＋y－3＝0 上， 点 A(－5,2)到直线 x＋y－3＝0 的距离为 d＝|－5＋22－3|＝3 2， 此即所求代数式的最小值．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件 待定时，那么可选用直线系方程来求解．
题型三 直线系方程 (1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1 ＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标．
【证明】 方法一：令 m＝0，则直线方程为 3x＋y＋1＝0.① 再令 m＝1 时，直线方程为 6x＋y＋4＝0.② ①和②联立方程组36xx＋ ＋yy＋ ＋14＝ ＝00， ，得xy＝ ＝－ 2. 1，
(2)两条直线的垂直． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1⊥l2⇔__k_1·_k_2_＝_－__1． ②若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零， 则两条直线_垂__直__． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1⊥l2 ⇔__A__1A__2＋__B_1_B_2_＝_．0 (3)直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 相交的条件是__k_1≠_k_2_. 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交的条件是 __A__1B__2≠_A__2B_．1
方法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(x－y＋3) ＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0，①
不论 m 为何实数，①式恒为零， ∴有x23－xx＋ ＋y＋yy＝ ＋3＝ 01， ＝0， 0，解得xy＝ ＝－ 2. 1， 故动直线恒过点 A(－1，2)． 【答案】 定点 A(－1，2)
将点 A(－1，2)代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋ 3m2＋1＝0 中，
(m2 ＋ 2m＋ 3)×( － 1) ＋ (1 ＋ m－ m2)×2 ＋ 3m2 ＋ 1 ＝ (3 － 1 － 2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
故此点 A(－1，2)坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m2 ＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0 恒过定点 A.
【思路】 结合图形，根据点到直线的距离公式求解． 【解析】 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的 坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足 条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x＝2. 若斜率存在，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)， 即 kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－2k2k＋－11|＝2，解得 k＝34. 此时 l 的方程为 3x－4y－10＝0.
5.
(3)两直线分别为
2x－y－5＝0 和 4x－2y＋1＝0，(2x－y＋12＝0)
∴距离
d＝|12－（22＋－152）|＝1110
5 .
(4)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，
因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线．
【答案】 (1)x＝2 和 3x－4y－10＝0 (2)2x－y－5＝0，最
课前自助餐
判定两条直线的位置关系
(1)两条直线的平行． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2⇔__k_1＝__k_2_且 ___b_1≠_b_2_，l1 与 l2 重合⇔__k_1_＝_k_2_且__b_1＝__b．2 ②当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有_l_1∥__l_2 _． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 ⇔A1B2＝A2B1 且 B1C2≠B2C1，l1 与 l2 重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2， C1＝λC2(λ≠0)．
点到直线的距离 点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)的距离 ________________．
两平行线间的距离 两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠ C2)间的距离为_________．
授人以渔
★状元笔记★ 判定两直线平行与垂直的两种思路 (1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则直线 l1∥l2⇔kb11＝≠kb22，，l1⊥l2 的充要条件是 k1·k2＝－1. (2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2＝A2B1.(不充分)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
★状元笔记★ 几种常用的直线系方程 (1)共点直线系方程：经过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0，其中 A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程 中，无论 λ 取什么实数，都得不到 A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不 能表示直线 l2. (2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 y－y0＝k(x－x0)(k 为参数) 及 x＝x0.