高中数学新人教A版必修第一册 第四章 4.1 指数 课件(43张)2

①( n a )n＝_a__；
②
n
an
＝
_a__, |__a_|,
n为奇数， n为偶数.
1．历史：最早的根号“
”源于字母“L”的变形(出自拉丁语 latus 的首字母，表
示“边长”)，没有线括号(即被开方数上的横线)，后来数学家笛卡尔给其加上线括
号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子中显得很乱．直至 18 世
a3
2
2
，a 3 ＝ 3 a2 ，a 5 ＝ 5 a2
，a
-
1 2
＝
1
2
，所以成立的是 a 3
a
＝ 3 a2 .
2．计算 (
3
)
3
3 的结果是(
)
A．π
B． π
C．－π
【解析】选 D.
(
3
)
3 3
＝π－1＝π1
.
D．π1
3．计算：(3－π)0－ (
8
1
)3
＝(
)
27
A．73 －π
B．－23
C．－21
A． （－3）2 ＝－3 C． 22 ＝2
B. 4 a4 ＝a D． 3 (2)3 ＝2
【解析】选 C.由于 （－3）2 ＝3， 4 a4 ＝|a|， 3 (2)3 ＝－2，故 A，B，D 错误．
2．下列运算中正确的是( )
A．a2a3＝a6
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．( a －1)0＝1
D．(－a2)5＝－a10
A． 3 ＋2
B． 3 －2
C．－ 3 －2
D．－ 3 ＋2
【解析】选 C.原式＝[（ 3－2）（ ] 3＋2） 2019·( 3 ＋2)
＝[(－1)]2 019·( 3 ＋2)＝－ 3 －2.
综合类型 指数幂的拓展及应用(数学运算) 无理数指数幂的运算
【典例】计算： ( 8 3 3 3 3 )2 3.
D．13
【解析】选 D.
原式＝1－
(
2 3

)3
＝1－23
＝31
.
4. 3 (6)3 ＋ 4 ( 5 4)4 ＋ 3 ( 5 4)3 ＝________．
【解析】因为 3 (6)3 ＝－6， 4 ( 5 4)4 ＝| 5 －4|＝4－ 5 ， 3 ( 5 4)3 ＝ 5 －4， 所以原式＝－6＋4－ 5 ＋ 5 －4＝－6. 答案：－6
33
3
【解析】原式＝ (2 2 3 3 )2 3 ＝29×32＝4 608.
将本例变为 (
3
3
) 2 ，试求值．
3 3
【解析】原式＝ (
3
)
3
23
2 ＝( 3 )
3 2
＝π.
3
3
关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； (2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直 接运算．
A．0
B．2(b－a)
C．2(a－b)
D．a－b
【解析】选 AC.若 a≥b，则原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，若 a<b，则原式＝b－a ＋a－b＝0.
2．化简：( a－1 )2＋ (1－a)2 ＋ 3 1 a3 ＝________．
【解析】由( a－1 )2 知 a－1≥0，a≥1. 故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1. 答案：a－1
3
【典例】1.化简[ 3 (5)2 ]4 的结果为( )
A．5
B． 5
C．－ 5
D．－5
【解析】选
B.原式＝
(
3
52
3
)4
＝
2
(53
3
)4
＝
5
2 3
3 4
1
＝52
＝
5.
2．(
2
)0－(1－0.5－2)÷(
27
)
2 3
的值为(
)
8
A．－13
B．13
C．43
D．37
【解析】选
D.原式＝1－(1－22)÷(
3 2
)2
＝1－(－3)×49
＝73
.
3．如果
a＝3，b＝384，那么
a[(
b
)
1 7
]n
3
＝________．
a
【解析】
a[(
b
)
1 7
]n3
＝
3[(
384
)
1 7
]n
3
＝
3[(128)
1 7
]n3
＝3×2n－3.
a
3
答案：3×2n－3
关于指数幂的求值 如果底数为假分数，则先化为真分数，再化为幂的形式，利用指数幂的运算性质 进行运算． 微提醒：对于多项的指数幂运算，要注意底数关系．
1．指数幂 aα 的指数 α 只能取有理数吗？
2．式子
a
-
3 4
＝
1
成立吗？
3 a4
3．5 3 是一个确定的实数吗？
提示：1.可以取任意实数．
2．不成立．
3．是．
观察教材 P106 例 3(2) a 3 a ，化为分数指数幂时，化简的顺序是什么？ 提示：由里向外化简．
1．下列各式正确的是( )
3．分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
正分数指数幂 负分数指数幂 0 的分数指数幂
m
a n ＝___n _a_m___
1 m
1
n
___n _a_m____
a m
an
0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义
分数指数幂中，规定底数 a>0，因为当 a＝0 时，a0 及 a 的负分数指数幂没有意义；
此类题目要观察已知式与所求式之间的关系，通过完全平方公式、平方差公式、 立方差(和)等公式，整体构造，整体代入求值．
学情诊断·课堂测评
1．下列各等式中成立的是(a>0)( )
3
A． a 2 ＝ 3 a2
2
C． a 5 ＝±5 a2
2
B． a 3 ＝ 3 a2
D．
a
-1 2
＝－
a
3
【解析】选 B.因为 a 2 ＝
第四章 指数函数与对数函数 4．1 指 数
根底认知·自主学习
在初中我们学习过平方根、立方根，还学习过整数指数幂及其运算性质，知道： m，n∈N*，
(1)am·an＝am＋n；(2)(ab) m＝am·bm； (3)(am) n＝amn；(4) a－n ＝a1n .
【问题 1】有没有 4 次方根，5 次方根，……？ 【问题 2】当 m，n 是分数时，上述公式是否还成立？ 【问题 3】当 m，n 是无理数时，上述公式是否还成立？
2．化简
a
2 3
b
1 2
(3a
1 2
b
1 3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
的结果为(
)
3
A．9a B．－9a C．9b D．－9b
【解析】选 B.
a
2 3
b
1 2
(3a
1 2
b
1 3
)
(
1
a
1 6
b
5 6
)
3
＝
9a
2 3
11 26
·b
1 2
1 5 36
431 325
＝ 9a 6 ·b 6 ＝－9a.
1．关于根式的化简 含根式的式子要统一成分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质计算．对于多层 根式，应从里向外逐层化为分数指数幂进行运算． 2．关于分数指数幂的综合应用 对所有的常数进行乘除运算，对同底数幂转化为指数加减运算．最后结果的形式 一般与原来的式子相同．
3．若 （x－5）（x2－25） ＝(5－x) x＋5 ，则 x 的取值范围是________．
【解析】因为 （x－5）（x2－25） ＝ （x－5）2（x＋5） ＝(5－x)· x＋5 ，所以xx＋ －55≥≤00， ， 所以－5≤x≤5. 所以实数 x 的取值范围是－5≤x≤5. 答案：－5≤x≤5
【加固训练】
化简
(2a
3b
2 3
)
·(－3a－1b)÷(4a
-4b-
5 3
)
(a，b＞0)得(
)
A．－32 b2
B．23 b2
C．－23
7
b3
D．32
7
b3
【解析】选 A.
(2a
3b
2 3
)
·(－3a－1b)÷(4a
-4
-
b
5 3
)
＝2×（4－3）
a b －3－1－(－4)
- 2 +1-(-5) 33
根式化简与求值的思路及注意点 (1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化 简． (2)注意点： ①正确区分( n a )n 与 n an 两式． ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式 的运用，必要时要进行讨论．
基础类型二 分数指数幂的求值(数学运算)
＝－23 b2.
素养开展·创新应用
创新拓展 指数幂运算的应用(数学抽象) 【典例】已知 x＋x－1＝3，求 x4－x－4 的值． 【解析】由 x＋x－1＝3，得 x2＋x－2＝7， 所以 x4＋x－4＝47， 所以(x2－x－2)2＝x4－2＋x－4＝45 即 x2－x－2＝±3 5 ， 所以(x2＋x－2)(x2－x－2) ＝x4－x－4＝±21 5 .
【解析】选 D.a2a3＝a2＋3＝a5，故 A 错误；(－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故
B 错误；当 a＝1 时，( a －1)0 无意义，故 C 错误；(－a2)5＝－a10，故 D 正确．
能力形成·合作探究
基础类型一 n 次方根的概念及相关的应用(数学运算)
1．(多选题) （a－b）2 ＋ 5 (a b)5 的值可能是( )
m
m
当 a<0 时，若 n 为偶数，m 为奇数，则a n ，a n 无意义．因此这样规定就省去
了不必要的讨论，便于学习和应用．
4．实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).
(1)同底数幂相除 ar÷as，同次的指数幂相除barr 分别等于什么？
提示：①ar÷as＝ar－s；②barr
＝(a )r. b
(2)指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示：
正整数指数幂
自然数指数幂
整数指数幂
有理数指数幂
实数指数幂
0次指数幂 负整数指数幂 分数指数幂 无理数指数幂
计算
1 2－1
－ (3)0 ＋ ( 9 )0.5 ＋ 4 ( 54
2 e)4 的值为________．
【解析】
1 2－1
－ (3)0 ＋ ( 9 )0.5 ＋ 4 ( 54
2 e)4
＝ 2 ＋1－1＋23 ＋e－ 2 ＝23 ＋e.
答案：23 ＋e
【加固训练】
计算：( 3 －2)2 019·( 3 ＋2)2 020＝( )
5．计算：
-1
0.002 2
－
(－27
)
2 3
＋
(
3
5
7)0 ＝________．
8
【解析】原式＝
500
1 2
－94
＋1＝10
5 ＋95 .
答案：10 5 ＋59
本课结束
纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号
的左上角，以表示高次方根(当根指数为 2 时，省略不写).从而，形成了我们所熟 悉的开方运算符号．
2．混淆：式子 n an 与（ n an ）n 的意义不同，化简运算过程中不能混为一谈．
正数 a 的 n 次方根一定有两个吗？ 提示：不一定．当 n 为偶数时，正数 a 的 n 次方根有两个，且互为相反数，当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一个且仍为正数．
【加固训练】
3
计算： a 4a 4 a- ＝________．
【解析】原式＝
a
4
3 4
＝a0＝1.
答案：1
运算性质的应用
【典例】1. 3 a a 的分数指数幂表示为( )
1
A． a 2
3
B． a 2
3
C． a 4
D．a
【解析】选 A. 3 a
31
1
＝a 2 3＝a 2 .
11
a ＝ (a a 2 )3
1．n 次方根
如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N*.可用下表表示：
n 为奇数
n 为偶数
a∈R
a>0
a＝0 a<0
x＝__n _a __
x＝__±_n _a___
x＝0 不存在
2.根式
(1)式子 n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(2)性质：当 n>1，n∈N*时，