应力状态和应变状态分析

y
2
(
x
2
y
)2
2 x
tan(20 )
B1D1 CB1
x
1 2
(
x
y
)
tan
20
2 x x
y
作应力圆时，应注意以下三个关系：
①点面对应关系：应力圆上一点，对应于单元 体中某一截面。
②起始对应关系：在应力圆上选择哪个半径 作起始半径，应根据单元体的α角从哪根轴量。x 轴~CD1半径，y轴~CD2半径。
③转向、转角对应关系：俩者转向一致；当单
元体为α时，应力圆上自起始半径量2α角。
作应力圆量取线段OB1、OB2、B1D1和B2D2时， 需根据单元体上相应的应力正负，量取正、负坐
标。
例1：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=40°两截面上的应力,且求主应力和主方向。
mmmm四主应力轨迹线迹线的概念45弯起钢筋纵向钢筋受荷载作用的梁纵向平面内可画出两组曲线其中一组曲线上每一点的切线方向是该点处主拉应力的方向另一组曲线上每一点的切线方向则是主压应力的方向
第七章 应力状态和 应变状态分析
§7-1 应力状态的概念
一、点的应力状态
1、什么叫一点的应力状态
q
1
A
l /4
30 30
30°
x
x 40°
40 40
1 69.2
20.8
3
平面应力状态分析
一、解析法:
1、任意斜面上的应力
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
2、主平面、主应力
tan20
2 x x
y
y
y y
x x
x
y
y y
2 x
1
x
x
0
σ1σ
2
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
y f t
900
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
900
x
y
2
sin 2
x
cos 2
90o x y 常 数
90o
——任意两个互相垂直的截 面上的正应力之和 为常数， 切应力服从切应力互等定理。
y
y y
900
900
x
x
x
2、主平面、主应力
x
y
2
x
2
4 h /4
3
B
l
l /4
构件内不同截面上应力不同； 同一截面不同点的应力的也不同；
经过一点不同方位截面上的应力情况不同。
F
F
n
x
x
x
T
T
σ3
σ1 τ
一点处各方位截面上的应力情况的 集合——该点的应力状态。
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算 σmax≤ [σ] τmax≤[τ] 梁截面上的任意点的强度如何计算？ 分析材料破坏机理
ym
a
y
σa
x
1 3 σb
yb x 3
τ 1 0 b
1
3
c 3
x 1
0 45
τc
y
d 1 3 σd
0
3
1
x
τd
y
e σe x
m
四、主应力轨迹线（迹线）的概念
受荷载作用的梁纵向平面内可画出两组曲线，其中 一组曲线上每一点的切线方向是该点处主拉应力的方向， 另一组曲线上每一点的切线方向则是主压应力的方向。 这样的曲线就称为梁的主应力轨迹线。
x x
x
OF OC CF OC CE cos(2 20)
OC (CD1 cos 20)cos 2 (CD1 sin 20)sin 2
同理
OC CB1 cos 2 B1D1 sin 2
EF
x 2x
2
y
x
y sin
y
2 2
cos 2
x cos 2
x sin
2
4.主平面和主应力
y
yy
应力的符号规定同前
α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
eБайду номын сангаас
x
x
b
y
t
y f
(设ef的面积为dA)
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
—— 平面应力状态下任意斜截
面上的σα和τα计算公式。 列平衡方程：
e
x
x
b
y
y f t
n : dA ( xdAcos)sin ( xdAcos)cos ( ydAsin)cos ( ydAsin)sin 0
单向应力状态下的胡克定律：
/E
单向应力状态下的横向应变：
三向应力状态: 1 引起 1方向应变为 1 / E
2 引起 1 方向应变为 2 / E
1
3
3 引起 1方向应变为 3 / E
所以
1
1 E
1
2
3
2
3
1
2
广义胡克定律
1
1 E
1
2
3
2
1 E
2
3
1
3
1 E
3
1
2
x
xz xy
法向为坐标负向时， 指向坐标轴负方向的 z 应力为正。
xy x
xz
x
二、主应力与主平面
空间应力状态：必存在三 个相互垂直的主平面
2
3
1
1
3
2
按大小记为σ1、σ2、σ3
y
2
x
1
x
平面应力状态：必 存在两个相互垂直 的主平面
三、最大应力
1
3
2
3
ab
c 1
1 3
2
3
1
1 σ
①
x
y
2
sin 2
x
cos 2
②
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 x
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
2 x
若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在
(
x
y
,0)
处，半径为
2
(
x
y
2
)2
2 x
。这样的
圆——Mohr应力圆（莫尔圆）。
(
x
y
2
)2
2
(
x
y
2
)2
3
2
2 3
τ
1
2
2
σ max=σ1，σmin =σ3
τ max=（σ1 -σ3 ）/2
max
B
OF
E
3 2
1 B/
2
45
1 3
45
2
max
A
3 1
§7-5 广义胡克定律、体积应变
一、广义胡克定律
单向应力状态下的胡克定律：
/E
单向应力状态下的横向应变：
小变形、各向同性、线弹性条件下，叠加原理成立。
用图解法求α=-30°面上的应力。
4MPa
解: 作应力圆
10MPa 30°
σ-30° = OF=6.5MPa
τ-30°=EF=-6MPa
τ
D2
F D1 σ
o c 60°
E
例3：图示单元体上，σx=-6MPa， τx=-3MPa，求主
应力大小和主平面位置。
D2
1
67.5
x
x
A B 3 1 D1
A1 2C 0 O
F
F F
T T
F
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件
切应力互等定理
二、主平面、主应力
主平面：切应力为零的截面。
主应力：主平面上的正应力
σ1、σ 2 、 σ 3 。
1 2 3
三、应力状态分类
当一个主应力不为零，其余两个
解： 2、图解法
y
D2
E2
A3 B1 F2 80O O
F1 C
A1
B2
2α0
y
D1
60O
300 OF1 27MPa 300 E1F1 59MPa
400 OF2 32MPa 400 E2 F2 =37MPa
E11 OA1 75MPa
3 OA3 45MPa
0
1 2
D1CA1
69.20
1
3
2
3
1
2
因为三个主平面相互垂直，所以对于一般的 三向应力状态:
只要x、y、z相互垂直，广义 胡克定律即成立。
1.线应变只与正应力有关， 切应力影响不计；
2.切应变只与切应力有关， 正应力影响不计。
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x y
y y
yz
zy
z
zx
yx
x α
x
y
y
A3 O
D2
E
2α
D1
C
A1
解：图解法。
§7-3基本变形杆件的应力状态分析 及主应力迹线的概念
一、 拉压杆件应力状态分析
F
F
x , y 0, x 0
B
E
＝ cos2
＝
2
sin
2
D2
2α D1 σ
O
C
1＝， 2＝3＝0
最大切应力出现在
哪个截面上？
B′
n
x
二、 扭转杆件应力状态分析
22.5
3
(a)
(b)
(c)
解：（1）图解法。
σ1=OA1=1.3 MPa，σ3=OA3= -7.25 MPa
∠D1CA1=2α0=135°
（2）解析法。 σ1 σ3
x
2
(
x
)2
2
2 x
1.24 -7.24
MPa
tan2α0 = －2τx /σx = -1， α0 =67.5 o
思考题：已知：σx， τx ，σα， τα 。用图解法求σy。
解：1、解析法
y
σ1σ x y
2
2
(x
y
2
)2
2 x
1 75.2MPa
3 45.2MPa
y
tan 20
2 x x y
20 180 0 41.630 0 69.20
30 30 30°
x
40 40
x
40°
1
69.2
20.8
3
例1续：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40° 两截面上的应力,且求主应力和主方向。
T
T
x y 0, x
sin 2
cos 2
n
x
σ3
1＝，
2＝0，
＝
3
σ1
τ
D1
σ3
90° σ1 σ
O
最大正应力出现在 哪个截面上？
D2
0 45
三、梁的应力状态分析
q F1 m F2
a b
c ed m
梁内任意一点的主应力为：
σ1 ( )2 2
σ3
2
2
tan 20
2
ym
a
y
σa
x
b x 1
3 σb
3
1 0
y τb
1
3
c 3 1
x 0 45
τc
y
1
3
σd
d 0
3
1
x
τd
y
e σe x
m
q F1 m F2
a b
c ed m
1、梁上任一点均有两 个主应力，一个主拉 应力，一个主压应力。
2、主拉压应力的大 小从梁顶（底）到梁 底（顶）均连续变化。
解：1、解析法
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
300 27.14MPa
300 58.97MPa
y
30 30 30°
x
y
x
40 40
40°
32.2MPa 40
37.3MPa 40
例1续：图示单元体上，有σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40° 两截面上的应力,且求主应力和主方向。
主单元体
二、图解法(应力圆法)
E
D1
A2 2 B2
O
y
2
CF
20
B1
x
A1 1
D2 y x
1.作应力圆 2.三个关系
3.任意斜面上的应力 4.主应力、主方向
OF, EF. 1 OA1
y
y y
x x
x
y
y y
2
x x
1
x
0
2 OA2
0
1 2
D1CA1
例2：图示单元体上，σx=10MPa， σy=-4MPa，试
xy x
xz
x
z
xy xy G
yz yz G
zx zx
G
平面应力状态广义胡克定律
y
2
x
1
x
x
y
2
cos 2
x
sin 2
令τα︳α＝ α0 ＝0
tan20
2 x x y
x
y
2
sin 2
x
cos 2
0
x
y
2
(x
y
2
)2
2 x
0900
x
y
2
(x
y
2
)2
2 x
y
y y
2
x
1
x
x
0
σ1σ
2
x y
2
(
x
2
y
)2
2 x
主单元体
二、图解法(应力圆法)
1.应力圆
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
q
弯起钢筋
45o
纵向钢筋
主拉压应力迹线的特点：
任一点的主拉应力迹线与主压应力迹线正交；
梁底、顶（单向应力状态），主应力迹线平 行或垂直于梁的上下边界线；