深圳市南山区桃源中学数学三角形解答题章末练习卷(Word版 含解析)

深圳市南山区桃源中学数学三角形解答题章末练习卷（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过
分析发现1902
BOC A ︒
∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，
∴112ABC ∠=∠，122
ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛
⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭
（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．
（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？
【答案】（1）12BOC A ∠=
∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠． 【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12
∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得
∠OCD =12∠ACD =12
∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；
（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；
【详解】
（1）12
BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线， ∴12OBD ABC ∠=∠，12
OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角， ∴1122
OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=
∠+∠-∠=∠ 即12
BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，
∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12
∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，
∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，
∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12
（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ） ∴1902
BOC A ︒∠=-
∠ 【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．
如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC ＝60°，求证：△AOC 为“灵动三角形”；
（3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】
（1）答案为：30°；是；
（2）∵AB⊥OM
∴∠B AO＝90°
∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠B AO-∠BAC=30°
∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°
∴∠ACO＝3∠OAC，
∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x ,∠ABC＝30°
∵△ABC为“智慧三角形”，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°，
∴30＝3（90-x），∴x=80
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴30=3（60+x）∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴60+x＝3（90-x），
∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴60+x＝90°，
∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴90-x＝90°，
∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时， ∴90-x ＝3（60+x ），
∴x= -22.5（舍去），
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。

【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．
（1）如图l ，若AC
BD ，求证：AD BC ∥； （2）如图2，若BD BC ⊥，请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加
以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，若BAC BAD ∠=∠，过点D 作DF BC ∥交射线于点F ，当8DFE DAE ∠=∠时，求BAD ∠的度数．
【答案】（1）见详解；（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由见详解；（3）99°．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定定理，即可得到结论； （2）设CE 与BD 交点为G ，由三角形外角的性质得∠CGB=∠D+∠DAE ，由
BD BC ⊥，得∠CGB+∠C=90°，结合C D ∠=∠，即可得到结论；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，由DF BC ∥，DAE ∠+2C ∠=90°，得关于x 的方程，求出x 的值，进而求出∠C ，∠ADB 的度数，结合∠BAD=∠BAC ，即可求解．
【详解】
（1）∵AC BD ，
∴∠C+∠CBD=180°，
∵C D ∠=∠，
∴∠D+∠CBD=180°，
∴AD BC ∥；
（2）DAE ∠+2C ∠=90°，理由如下：
设CE 与BD 交点为G ，
∵∠CGB 是∆ADG 的外角，
∴∠CGB=∠D+∠DAE ，
∵BD BC ⊥，
∴∠CBD=90°，
∴在∆BCG 中，∠CGB+∠C=90°，
∴∠D+∠DAE+∠C=90°，
又∵C D ∠=∠，
∴DAE ∠+2C ∠=90°；
（3）设∠DAE=x ，则∠DFE=8x ，
∴∠AFD=180°-8x ，
∵DF BC ∥，
∴∠C=∠AFD=180°-8x ，
又∵DAE ∠+2C ∠=90°，
∴x+2(180°-8x)=90°，解得：x=18°，
∴∠C=180°-8x=36°=∠ADB ，
又∵∠BAD=∠BAC ，
∴∠ABC=∠ABD=
12
∠CBD=45°， ∴∠BAD=180°-45°-36°=99°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定定理，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握平行线的性质和三角形外角的性质，是解题的关键．
4．（1）如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）
③∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A 与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=1
2
（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=
1
2
（∠2-∠1），
见详解
【解析】
【分析】
（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；
②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-1
2
∠1，y=90-
1
2
∠2，再根据三角形内角
和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=1
2
（∠1+∠2）；
（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】
（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②）∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A=1
2
（∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90-1
2
∠1，y=90-
1
2
∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90-1
2
∠1）-（90-
1
2
∠2）=
1
2
（∠1+∠2）．
（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=1
2
（∠2-∠1）．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).
(1)求△BCD的面积；
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2），
∴CD=3，且CD//x轴
∴△BCD面积=1
2
×3×2=3；
（2）∠CPQ＝∠CQP，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，
∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ
∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，
∴∠CQP＝∠CPQ
（2）∠CPQ ＝∠CQP ，
∵AC ⊥BC ，
∴∠ACO ＋∠BCO ＝90°，又∠ACO ＋∠OAC ＝90°
∴∠OAC ＝∠BCO ，又BQ 平分∠CBA ，
∴∠ABQ ＝∠CBQ ，
∵∠CQP ＝∠OAC ＋∠ABQ
∠CPQ ＝∠CBQ ＋∠BCO ，
∴∠CQP ＝∠CPQ
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
6．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.
① ②
（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.
（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.
（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）10,03B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥ 【解析】
【分析】
(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；
(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；
(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案.
【详解】
(1)设OB=a ，则OC=4a ，
∴BC=3a ， 由题意得，134202a ⨯⨯=， 解得：a=
103， ∴OB=
103，OC=403， ∴10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)设ACB α∠=，
∵90ABC ACB ∠-∠=︒，
∴90ABC α∠=︒+，
∴180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠
()18090αα=︒-︒+-
902α=︒-，
∵AD 平分BAC ∠，∴1452
DAC BAC α∠=
∠=︒-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=︒-+=︒；
(3)FM ⊥PQ ，理由如下：
延长FM 交PQ 于点H ，.
设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，
则∠DMH=∠FMG=β，
∠AQM=∠QMD+∠QDM ，即α=β+45°，
∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，
∴∠2=∠1=90°-β，
∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，
∴∠MHQ=90°，即FM ⊥PQ.
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
7．已知：如图①，BP 、CP 分别平分△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE ，BQ 、CQ 分别平分∠PBC 、∠PCB ，BM 、CN 分别是∠PBD 、∠PCE 的角平分线．
（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；
（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．
【答案】(1) 70°，125°；(2)∠BAC=60° (3) 45°
【解析】
分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出
∠QBC=1
2
∠PBC，∠QCB=1
2
∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出
即可；
（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；
（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.
详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴∠CBP+∠BCP=1
2
（∠DBC+∠BCE）=110°，
∴∠BPC=180°﹣110°=70°，
∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，
∴∠QBC=1
2∠PBC，∠QCB=1
2
∠PCB，
∴∠QBC+∠QCB=55°，
∴∠BQC=180°﹣55°=125°；
（2）∵BM∥CN，
∴∠MBC+∠NCB=180°，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴3
4
（∠DBC+∠BCE）=180°，
即3
4
（180°+∠BAC）=180°，
解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，
∴∠MBC+∠NCB=3
4（∠DBC+∠BCE）=3
4
（180°+α）=225°，
∴∠BOC=225°﹣180°=45°．
点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
8．(1)如图①，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请用你学过的知识予以证明；
(2)如图②，设x＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E，运用(1)中的结论填空．
x＝____________°；x＝____________°；x＝____________°；
(3)如图③，一个六角星，其中∠BOD＝70°，则
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°.
【答案】（1）证明见解析. (2)180；180；180；(3)140
【解析】
【分析】
（1）首先延长BO交AC于点D，可得BOC=∠BDC+∠C，然后根据∠BDC=∠A+∠B，判断出∠BOC=∠B+∠C+∠A即可．
（2）a、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
b、首先根据外角的性质，可得∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，然后根据
∠1+∠2+∠E=180°，可得x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180，据此解答即可．
c、首先延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G，然后根据外角的性质，可得
∠GFC=∠D+∠E，∠FGC=∠A+∠B，再根据∠GFC+∠FGC+∠C=180°，可得
x=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，据此解答即可．
（3）根据∠BOD=70°，可得∠A+∠C+∠E=70°，∠B+∠D+∠F=70°，据此求出
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是多少即可．
【详解】
(1)证明：如图，延长BO交AC于点D，则∠BOC＝∠BDC＋∠C，
又∵∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.
(2)180；180；180
(3)140
【点睛】
（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
9．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，
∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；
(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；
(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).
【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．
（3）参照（2）的解题思路.
【详解】
解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；
（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P，
又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P ，
即2∠P=∠B+∠D ，
∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．
（3）由（2）的解题步骤可知，∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D ．
【点睛】
考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .
（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）
（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）
（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.
【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．
【解析】
分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．
本题解析：
（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：
证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC 与△BAE 中，
{AD AB
DAC BAE AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，
∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，
∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC与△BAE中，
{AD AB
DAC BAC AC AE
=
∠=∠
=
，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，
∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．
点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。