最全面的直线知识点总结

直线的知识点总结
一、 直线的倾斜角与斜率：
1. 直线的倾斜角：
1) 定义：当直线与x 轴相交时，沿x 轴正方向为始边，按照逆时针方
向旋转所得的最小正角；
规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0； 2) 范围：直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<； 2. 直线的斜率：
1) 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的
斜率。

直线的斜率常用k 表示。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

2) 公式： tan k α=
a.当[
)οο90,0∈α时，0≥k ，当α=0°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，
斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；
当()οο180,90∈α时，0<k ，随着α的增大，斜率k 也增大； 当ο90=α 时，k 不存在,即直线与y 轴平行或者重合.
这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.
b. 如果知道直线上两点()1
1
,A x y ，()2
2
,B x y
2112
122112
()AB y y y y k x x x x x x --=
=≠-- 注意：(1)特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. (2)k 与A 、B 的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

c ．设直线():00l Ax By C B ++=≠ 则A k B
=-
注：三点A ，B ，C 共线，则AB BC k k =
二、直线的方程：
①点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.
注意：当直线的倾斜角为0°时，k=0，直线的方程是y =y 0。

当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 0，所以它的方程是x =x 0。

y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，
前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 。

斜截式不能表示
垂直x 轴直线.
③两点式：
11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线。

④截矩式：1x y a b
+
= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别
为,a b 截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.
特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：
a x =（a 为常数）；
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）
注意：注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程
A C
y x B B
=-
-，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.
直线系方程：即具有某一共同性质的直线：
1) 平行的直线系：
平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）
2) 垂直的直线系：
垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000B x A y C -+=（C 为常数）
3) 过定点的直线系：
斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； 过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中
直线方程的设法：
1) 知直线纵截距b ，直线的方程为y kx b =+；
2) 知直线横截距0x ，直线的方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0
的直线)；
3) 知直线过点00(,)x y ，
当斜率k 存在时，直线的方程为00()y k x x y =-+； 当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；
4) 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； 5) 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=；
三、两条直线的位置关系：
一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩. 若方
程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
提醒：
111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222
A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！
四、两条直线所成的角：
1. 到角：
定义：1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l
重合所转的角
θ，θ()π,0∈；
公式：tan θ=211
21k k k k +-(121
k k ≠-)；
2. 夹角：
定义：1l 与2l 的夹角是指直线1l 与2l
所成的最小正角 θ，θ0,2π⎛⎤∈ ⎥
⎝⎦；
公式：tan θ=︱
2
1121k k k k +-︱(121
k k ≠-)
五、公式：
1. 两点间的距离公式：
设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则AB =2. 点到直线的距离公式：
设点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ，则
d =
3. 平行线间的距离公式：
设1:0l Ax By C ++=与22:0l Ax By C ++=的距离为d ，则d =
注：与:0l Ax By C ++=平行且距离为d 的直线方程为
:0l Ax By C ±++
与1:0l Ax By C ++=和22:0l Ax By C ++=的距离相等的直线的方程为
12
:02
C C l Ax By +++
= 4. 中点坐标公式：
设点()11,A x y ，点()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,C x y ，则1202
x x x +=，
12
02
y y y +=
5. 线段的定比分点坐标公式：
点()00,P x y 分有向线段12P P u u u u r
所成的比为λ，点()111,P x y ，
点()222,P x y 则： 1201x x x λλ+=
+，12
01y y y λλ
+=+。