陕西省榆林市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

榆林市第一中学2017年秋季学期期中考试
高二理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则（）
A. 100
B. 4000
C. 101
D. 4001
【答案】B
【解析】因为从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为的样本，
2. 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，试验发生包含事件是从数字中任取两个不同的数字，
构成一个两位数，共种结果，
满足条件的时间可以列举出：，共有个，
根据古典概型的概率公式，得到，故选D．
3. “”的含义为（）
A. 都不为0
B. 至少有一个为0
C. 至少有一个不为0
D.不为0且为0，或不为0且为0
【答案】C
【解析】由的等价条件是或，即两者中不全为，
对照四个选项，可知和中至少有一个不为，故选C．
4. 已知空间向量，则时的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由的充要条件为，即，
所以是的充分不必要条件，故选A.
5. 已知的取值如下表示：
从散点图分析，线性相关，且，则等于（）
A. 9.8
B. 8.0
C. 7.8
D. 8.8
【答案】D
【解析】由题意得，，
代入，即，解得，故选D．
6. 如图1，已知分别是四面体的边的中点，且，若
，则用表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为
，
故选B.
7. 随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，图2是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（）
①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个
②第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了
③8月是空气质量最好的一个月
④6月份的空气质量最差
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
【答案】A
【解析】在A中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，
共5个，故A正确；
在B中，第一季度合格天数的比重为；
第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B是正确的；
在C中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的；在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，
综上，故选A.
8. 甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：
下列说法错误的是（）
A. 甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定
B. 乙同学的数学成绩平均值是
81.5
C. 丙同学的数学成绩低于班级平均水平
D. 在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三
【答案】D
【解析】由统计表可知，甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，所以A正确；
乙同学的数学成绩平均值是，故B正确；
丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，所以C正确；
在次测试成绩是甲第一、丙第二、乙第三，所以D是错误的，故选D．
9. 南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率的值在3.1415926与
3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平，我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及内切圆随机投掷豆子，在正方形中的400颗豆子中，落在圆内的有316颗，则估算圆周率的值为（）
A. 3.13
B. 3.14
C. 3.15
D. 3.16
【答案】D
【解析】设圆的半径为，则正方形的边长为，
根据几何概型的概率公式，可以得到，解得，故选D．
10. 我市某机构为调查2017年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间为（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；
②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10000名中学生参加了此项活动，图3是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6400，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）
A. 0.64
B. 0.36
C. 6400
D. 3600
【答案】B
【解析】由图知，输出的的值是运动事件超过分钟的学生人数，
由于统计总人数，又输出的，
所以运动事件不超过分支的学生人数是，
事件“平均每天参加体育锻炼时间在分钟内的学生的”概率是，
故选B．
11. 设样本数据的均值和方差分别为1和4，若为非零常数，
，则的均值和方差分别为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：因为样本数据的平均数是,所以的平均数是
；根据（为非零常数，），以及数据的方差为可知数据的方差为，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
12. 如图4，正三棱术中，各棱长都相等，则二面角的平面角的正切值
为（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】设棱长为的中点为，连接，
由正三棱柱中，个棱长都相等，
可得，所以二面角的平面角为，
在中，，所以，
即二面角的平面角的正切值为，故选D.
点睛：本题主要考查了二面角的平面角及其求法，解答此类问题的关键在于通过取的中点，得出二面角的平面角为，进而放置在三角形中求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生推理与运算能力.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，若，则的值为__________．
【答案】4或-4
【解析】因为，且，
存在使，所以，
所以，即，解得.
14. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重，得到频率分布直方图如图5所示：
根据图5可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是___________．
【答案】232
【解析】由图可知：段的频率为，
则频数为人．
15. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
若从高校抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校的概率__________．【答案】
【解析】根据分层抽样的方法，可得，解得，
所以若从高校抽取的人中选人作专题发言，共有种情况，
则这二人都来自高校共有种情况，所以概率为．
点睛：本题主要考查了分层抽样和古典概型及其概率的计算问题，其中解答中涉及分层抽样的方法的计算，古典概型及其概率计算的公式的应用，试题比较基础，属于基础题，解答中牢记古典概型及其概率的求解是解答的关键．
16. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果
，对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的说法的序号是__________．
【答案】①②③
【解析】由,
在①中，，所以，所以，所以是正确的；
在②中，，所以，所以，所以是正确的；
在③中，由于，，且，可知是平面的法向量，所以是正确的；
在④中，,
假设存在实数使得，则，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知命题：函数是上的减函数；命题：时，不等式恒成立.若命题“”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：分别求出命题下的的取值，根据为真命题，则命题和中至少有一个真命题，分成三种情况讨论，即可求解实数的取值范围．
试题解析：
(1)命题：函数是上的减函数，
∴∴
命题：时，不等式恒成立，∴，解得.
∵是真命题，故至少一个为真.∴若真真：
∴若真假：∴若假真：.
综上所得的取值范围为：.
18. 已知点.
（1）若，且，求；
（2）求；
（3）若与垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）或2
【解析】试题分析：由已知，设，则，由此能求出的坐标；
（2）由已知，由此能求出的值；
（3）由已知，从而求出的值.
试题解析：
（1）∵,∴
∵，且，∴设且
解得，∴；
（2）∵
∴∴；
（3），
∵与垂直，∴
解得或.
19. 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
（1）用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程；
（2）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小.
附：线性回归方程中，.
【答案】（1）；（2）2.4
【解析】试题分析：
(1)结合题意首先求得样本中心点，然后利用系数公式可得回归直线方程为
；
(2)结合（1）中的结论结合回归方程的预测作用可估计利润额的大小为2.4千万元.
试题解析：
（1）设回归直线的方程是：，，
∴，
∴对销售额的回归直线方程为；
（2）当销售额为4（千万元）时，利润额为（千万元）
20. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加的5次预寒成绩记录如下：甲：82，82，79，95，87
乙：95，75，80，90，85
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）求甲、乙两人成绩的平均数与方差；
（3）若现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适，说明理由？【答案】（1）见解析；（2）；（2）甲
【解析】试题分析：（1）茎叶图保留了原始数据便于记录和表示；（2）平均数反映了数值的平均水平，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散的程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，波动性越小．
试题解析：
（1）
（2）甲乙的平均分分别为85分，85分；
（3）我认为选择甲比较好，因为甲乙的平均分一样，证明平均成绩一样，但是甲的方差小
于乙的方差，则证明甲的成绩更稳定。

考点：茎叶图，平均数与方差．
21. 当，则称点为平面上单调格点：设
（1）求从区域中任取一点，而该点落在区域上的概率；
（2）求从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）作出集合所对应的区域，记事件“从区域中任取一点，而该点落在区域上”，根据几何概型，利用面积比，即可求解概率；
（2）事件“从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点”，得出基本事件的总数，和事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及概率的计算公式，即可求解事件的概率．
试题解析：
作出集合所对应的区域（如图）：
矩形
则：（1）记事件“从区域中任取一点，而该点落在区域上”
则事件符合几何概型，即.
（2）事件“从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点”
则事件符合古典概型，区域中的格点个数:当横坐标分别为0,1,2时,纵坐标可以为
0,1,2,3中的任一个,此时有个；而区域上的格点有（0，3），（1，2），（2，3），（1，2）共4个，
∴
点睛：本题主要考查了事件概率的计算问题，其中解答中涉及到几何概型及其概率的计算，古典概型及其概率的计算公式的综合运用，试题比较基础，属于基础题，解答中正确作出集合的区域，判断好概率的概型，恰当地选择概率的计算方法是解答的关键．
22. 如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直，的中点，的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）根据三线合一得出，利用面面垂直的性质，即可求得
平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，则两法向量的夹角的余弦值的绝对值即为二面角的余弦值.
试题解析：
（1）∵是等边三角形，为的中点，∴
∵平面平面，平面平面平面
∴平面；
（2）取的中点∵底面是正方形，∴
∴两两垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则，∴
显然平面是一个法向量为，设平面的一个法向量为
则，∴令，得
所以∴
∵二面角为锐角，∴二面角的余弦值.。