上海市长宁嘉定区高考二模卷文科数学答案.doc

上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学试题（文科）
参考答案
一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。

21 3。

（文） 1 4。

3
4
5。

1- 6.]6,2[- 7。

4 8．（文）
65
33
9。

（文）6 10。

（文）π4 11、（文）
3531 12。

（文）]2(，-∞ 13。

（文）⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，21 14．（文）13+k
二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。

B 17。

D 18。

（文）B
三、解答题
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） （理）解：（1）因为⊥AB 平面BCD ，所以CD AB ⊥，又CD BC ⊥，所以⊥CD 平面ABC ， DAC ∠就是AD 与平面ABC 所成的角． ………………2分 因为⊥AB 平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，故︒=∠30ADB ， 由2==BC AB ，得4=AD ，22=AC ， ………………4分 所以2
2
cos =
=
∠AD AC DAC ， 所以AD 与平面ABC 所成角的大小为︒45． ………………6分
（2）设点B 到平面ACD 的距离为d ，由（1）可得32=BD ，22=CD ， 则3
2
46131=
⋅⋅⋅=⋅=
∆-AB CD BC AB S V BCD BCD A ，………………8分 d d CD AC d S V ACD ACD B 3
4
6131=⋅⋅⋅=⋅=
∆-．………………10分 由ACD B BCD A V V --=，得2=
d ．
所以点B 到平面ACD 的距离为2．………………12分
（文）解：（1）由题意2
122224S AA π=⋅+2π⋅⋅=π表，解得14AA =. ………………2分
在△AOP 中，02,120OA OP AOP ==∠=
，所以AP =．
在△BOP 中，0
2,60OB OP BOP ==∠=，所以2BP =． ………………4分
所以111
3
A AP
B APB V S AA -∆=
⋅112432=⋅⋅⋅=
………………6分 （2）取1AA 中点Q ，连接OQ ，PQ ，则1//OQ A B ，
得POQ ∠或它的补角为异面直线1A B 与OP 所成的角. ………………8分
又AP =2AQ AO ==
，得OQ =4PQ =，
由余弦定理得222cos 2PO OQ PQ POQ PO OQ +-∠==⋅ ………………10分 所以异面直线1A B 与OP
所成角的大小为． ………………12分
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，ac b =2，所以由余弦定理，
得ac
ac
c a ac b c a B 22cos 22222-+=
-+= ………………2分 由基本不等式ac c a 222≥+，得21
22cos =-≥ac ac ac B ．………………4分
所以⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,21cos B ．因此，30π≤<B ．………………6分
（2）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=++=++=
4sin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12πB B B B B B B B B B y ， ………………9分
由（1），3
0π
≤<B ，所以
1274
4
ππ
π
≤
+
<B ，所以⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
+1,224sin πB ，
所以，B
B B
y cos sin 2sin 1++=
的取值范围是(]
2,1． ………………12分
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） （理）解：（1）由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， 即x x x x
a k a a k a
---+-=--)1()1(， ………………2分
即0)())(1(=+-+---x x x
x a a a
a k ，0))(2(=+--x x a a k ，
因为x 为任意实数，所以2=k ． ………………4分
解法二：因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，所以0)0(=f ，即0)1(1=--k ，2=k ． 当2=k 时，x
x
a
a x f --=)(，)()(x f a a
x f x x
-=-=--，)(x f 是奇函数．
所以k 的值为2． ………………4分 （2）由（1）x
x
a
a x f --=)(，因为23)1(=
f ，所以2
31=-a a ， 解得2=a ． ………………6分 故x
x
x f --=2
2)(，)22(222
)(22x x x x
m x g ----+=，
令x x t --=22，则222222+=+-t x x ，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+∈,23t ， 所以2
2
2
2)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡∞+∈,23t ………………9分
当23<
m 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数，则223-=⎪⎭⎫
⎝⎛h ，22349-=+-m ， 解得1225
=m （舍去）． ………………11分
当2
3
≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）．
………………13分
综上，m 的值是2． ………………14分
（文）解：（1）由题意，对任意R ∈x ，
)()(x f x f -=-，即
x x x x a k a a k a ---+-=--)1()1(，
………………2分
即0)())(1(=+-+---x x x
x
a a a
a k ，0))(2(=+--x x a a k ，
因为x 为任意实数，所以2=k ． ………………4分
解法二：因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，所以0)0(=f ，即0)1(1=--k ，2=k ．
当2=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x
x -=-=--，)(x f 是奇函数．
所以k 的值为2． ………………4分 （2）由（1）知x
x
a
a x f --=)(，由0)1(<f ，得01
<-
a
a ，解得10<<a ． ………………6分
当10<<a 时，x a y =是减函数，x
a
y --=也是减函数，所以x
x a
a x f --=)(是减函数．
………………7分
由0)4()(2
<-++x f tx x f ，所以)4()(2
x f tx x f --<+，………………8分 因为)(x f 是奇函数，所以)4()(2
-<+x f tx x f ． ………………9分
因为)(x f 是R 上的减函数，所以42->+x tx x 即04)1(2
>+-+x t x 对任意R ∈x 成立， ………………11分 所以△016)1(2
<--=t ， ………………12分 解得53<<-t ． ………………13分 所以，的取值范围是)5,3(-． ………………14分
22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） （理）解：（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y ，)2,(x -=，
)1,(-=y x ，)2,(-=x ， ………………2分
由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得)1(2)1(22
--=+y x y ，
化简得y x 42
=．所以，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42
=． ………………4分 （2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，
即直线m ，所以)1,0(-M ， ………………6分
设直线m '的方程为1-=kx y （0≠k ），由⎩⎨⎧=-=，
y x kx y 4,
12 得0442=+-kx x ，
由△016162>-=k ，得12>k ． ………………8分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则k x x 421=+，
所以线段AB 的中点为)12,2(2
-k k ， ………………9分
所以线段AB 垂直平分线的方程为0)]12([)2(2
=--+-k y k k x ，………………10分 令0=x ，得1220+=k y ． ………………11分
因为12>k ，所以),3(0∞+∈y ． ………………12分
（3）由（2），k x x 421=+，421=x x ，所以221221)()(||y y x x AB -+-=
]4))[(1())(1(2122122212x x x x k x x k -++=-+=)1616)(1(22-+=k k )1)(1(422-+=k k ． ………………14分
假设存在点),0(0y D ，使得△ABD 为等边三角形， 则D 到直线AB 的距离||2
3
AB d =
． ………………15分
因为)12,0(2
+k D ，所以121
)1(21|1|2222
0+=++=
++=
k k k k y d ，………………16分
所以1132122
2
2
-⋅+=+k k k ，解得3
4
2=k ． ………………17分 所以，存在点⎪⎭
⎫
⎝⎛311,0D ，使得△ABD 为等边三角形． ………………18分
（文）（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y ，)2,(x -=，
)1,(-=y x ，)2,(-=x ， ………………2分
由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得)1(2)1(22
--=+y x y ，
化简得y x 42
=．所以，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42
=．………………4分
（2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，即直线m ，所以)1,0(-M ，……………5分 当0=a 时，直线m '的方程为0=x ，与曲线C 只有一个公共点，故0≠a ．…………6分 所以直线m '的方程为
1+=y a x ，由⎩⎨⎧=+=，
y x a ay x 4,2
得0)42(2
222=+-+a y a y a ， 由△04)2(44
2
2>--=a a ，得102<<a ． ………………8分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则24
221-=+a
y y ，121=y y ， 所以a
x x 4
21=
+，421=x x ， ………………9分 若FB FA ⊥，则0=⋅，即0)1,()1,(2211=-⋅-y x y x ，
01)(212121=++-+y y y y x x ，0124142=+⎪⎭
⎫
⎝⎛--+a ， ………………11分
解得2
1
2=
a ．所以22±=a ． ………………12分
（3）由（2），得线段AB 的中点为⎪⎭⎫
⎝⎛-12,22a a ，线段AB 的垂直平分线的一个法向量为)
1,(a n =
，所以线段
AB
的
垂
直
平
分
线
的
方
程
为
01222=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x a ， ………………15分
令0=x ，12
2
0+=
a y ， ………………16分 因为102<<a ，所以312
2>+a
．
所以0y 的取值范围是),3(∞+． ………………18分 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）解：（1）因为a ，b ，c 是互不相等的正数，所以0>q 且1≠q ． 由已知，a ，b ，c 是首项为，公比为q 的等比数列，则q b =，2q c =，…2分
当插入的一个数位于b ，c 之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则⎩⎨
⎧+=+=d
q d q 3112
，
消去d 得02322
=+-q q ，
因为1≠q ，所以2=q ． ………………4分
（2）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，0>d ，共插入4个数．
………………5分 若在a ，b 之间插入个数，在b ，c 之间插入3个数，则⎩
⎨⎧+=+=d b c d
a b 42，
于是
4
2b c a b -=
-，b c a b -=-22，0232
=+-q q ，解得2=q ．………………7分 若在a ，b 之间插入3个数，在b ，c 之间插入个数，则⎩
⎨⎧+=+=d b c d
a b 24，
于是24b c a b -=
-，a b b c -=-22解得2
1=q （不合题意，舍去）． ………………9分 若a ，b 之间和b ，c 之间各插入2个数，则⎩
⎨⎧+=+=d b c d
a b 33，b c a b -=-，
解得1=q （不合题意，舍去） ………………11分 综上，a ，b 之间插入个数，在b ，c 之间插入3个数． ………………12分
（3）设所构成的等差数列的公差为d ，
由题意，d s a b )1(++=，1+-=
s a b d ，又d t b c )1(++=，1
+-=t c
b d ，…………14分 所以11+-=+-t b
c s a b ，即1)1(11+-=+-t q q s q ，因为1≠q ，所以q s t =++1
1．………………16分
所以，当1>q ，即c b a <<时，t s <；当10<<q ，即c b a >>时，t s >．
………………18分
（文）（1）当1=n 时，由已知)1(211-=a a ，得21=a ．
当2≥n 时，由)1(2-=n n a S ，)1(211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ， 即12-=n n a a ，所以}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，n n a 2=（*N ∈n ）． ………………4分 （2）由题意，d n a a n n )1(1
++=+，故11+-=
+n a a d n n ，即1
2+=n d n
，………………6分 因为43<<d ，所以41
23<+<n n
，即44233+<<+n n n ，解得4=n ，…………8分
所以516=d ．所以所得等差数列首项为16，公差为3
16
，共有6项．………………10分 所以这个等差数列所有项的和T 1442
)
3216(6=+⋅=． ………………11分
所以，4=n ，144=T ． ………………12分
（3）由（1）知n
n f 2)(=，所以)log
(2
m n f n c n ⋅⋅=2
22
log log
22
m n m
n n n ⋅⋅⋅=⋅=
n n m m n m n n n 22log log 2)2(222⋅=⋅=⋅=⋅．………………14分
由题意，n n c c <+1，即n n m n m n 22
2)1(⋅<⋅++对任意*N ∈n 成立，
所以12+<
n n m 1
1
1+-
=n 对任意*N ∈n 成立．………………16分 因为111)(+-=n n g 在*N ∈n 上是单调递增的，所以)(n g 的最小值为2
1
)1(=g ．
所以212<m ．由0>m 得m 的取值范围是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22,0． 所以，当⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∈22,0m 时，数列}{n c 是单调递减数列． ………………18分。