大音希声大象无形——基于2016年浙江省数学高考理科第15题

大音希声大象无形——基于2016年浙江省数学高考理科第
15题
李学军;曲文瑞
【摘要】作为数学教师,要研究解题,要研究学生的解题,引导学生用数学的思维思
考和解决问题,去体会和体验在解题过程中的纠结和成功之后的快乐,实现真正意义
的数学学习.文章基于2016年浙江省数学高考理科第15题(平面向量试题)进行分析、归纳和提升,从而感受高考试题的朴素美.
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2016(000)012
【总页数】3页(P43-45)
【关键词】高考题;考题解法;教学启示
【作者】李学军;曲文瑞
【作者单位】平湖中学浙江平湖 314200;平湖中学浙江平湖 314200
【正文语种】中文
【中图分类】O123.1
2016年的高考早已经落下帷幕，但关于高考的话题还是各界人士谈论的热点和焦点，无论在学校的教师当中，还是在各个数学交流群里，对于高考试题解法的探究和试题背景的研讨比比皆是.笔者认为，学生至少要有一杯水，教师需要如何做呢？是把教师的至少一桶水给学生舀一杯，还是把这一桶水放在学生面前让学生根据需
要来自己舀呢？还是给学生提供水源的地图让学生自己寻找呢？数学家克莱因说过：“教师掌握的知识要比他所教的知识多得多，才能引导学生绕过悬崖、渡过险滩.”学生平时在做数学题的时候，大多数是寻找曾经做过的题目的感觉，对于呈现在他们面前的数学试题，不能很好思考试题的根本考点，考查的基本数学方法，当在遇到陌生的数学试题时，有时候就有一种对思考方向暂时失忆的感觉.关于2016年
浙江省数学高考理科卷第15题，笔者试着从一名普通考生的角色出发，对该题进行解答、探索，并把笔者的寻题历程及题后感悟呈现如下.
题目已知向量a，b，|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e，均有|a·e|+|b·e|，则a·b
的最大值是.
本题作为填空题的压轴题，具有非常好的选拔功能；题干表述简洁明了，具有非常明显的浙江风格.本题考查了平面向量投影的概念，由于平面向量是代数和几何的
桥梁，因此本题可以通过代数和几何2条途径入手解答.正如章建跃先生曾说：要
让学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯[1].在考试的过程中，学生更应
该从概念入手，从问题的本质出发对问题进行转化和化归，一定可以达到理想的效果.
视角1 坐标的视角
分析设<a,b>=β,且设a=(1,0)，b=(2cosβ,2sinβ)，|a·e|+|b·e|是向量a,b在任意单位向量上的投影的绝对值之和.而在单位向量上的投影之和取得最大值时，取单
位向量,从而
|a·e|+ |b·e|=
,
即
于是
进而
故a·b的最大值是.
点评利用坐标法来解决平面向量问题，实际上就是把抽象的向量问题转化为坐标
运算，这种解法对于学生来说，“痛处”在于如何恰当地建立平面直角坐标系,以
及接下来的问题转化，然后再整理出关系式，通过建立直角坐标系，引进变元化归为三角函数的问题.由于该考题是求最大值，通过分析2个向量的夹角应该是锐角，因此对夹角的限制减少了很多的麻烦.由于要研究的是<a,b>的最大值问题，因此，这种解法的巧妙之处是先进行问题的转化，然后在进行数据处理，这种处理问题的方式更是一种思维上的提升.
视角2 代数的视角
分析设<a,e>=α,<a,e>=β.因为
所以
令sinα+2sinβ=t,2个式子平方得
从而
对任意的实数α，β上式恒成立，因此4(|cosαcosβ|+sinαsinβ)≤(t2+1)min,于是进而
故a·b的最大值是.
点评根据题干中的条件，要想把向量数量积的绝对值表示出来，从定义的角度入
手首先要引入向量的夹角，同时通过分析得出当a·b取得最大值时，<a,b>一定是锐角，接下来处理最值的本质在哪里呢？想办法“减元”.本题的“减元”通过联
想到形式相似，引进等式，通过平方变形进而很好地达到目的.对于给出同样的代
数式，观察的角度不同，就会产生不一样的想法，对于处理双变元函数问题的化归就是想办法进行减元，这个转化非常关键.
视角3 几何的视角
分析设<a,b>=β,且,设，过点E作EP⊥OA，交OA于点P，作EQ⊥OB，交OB
于点Q，联结PQ.在△OPQ中，设∠OPQ=α,∠OQP=γ,由图1可知，四边形OPEQ是以OE为直径的圆内接四边形，且|OP|=sinγ,|OQ|=sinα,从而
|a·e|+|b·e|
于是
点评从几何的角度进行思考，对于那些几何背景素养较高的学生来说，结合平面向量的几何背景入手，可以先从一些特殊图形出发，然后进行归纳分析，从而得到最值.对于2016年的考题来说，通过画出一些图形分析得到的是圆中的问题，从而从圆的角度出发分析，使得比较抽象的问题转化为实实在在的平面几何问题.学习数学不可忽略非常重要的数学思维，即归纳—猜想—论证.归纳至少要有3个数据，因此我们要想办法找到这些数据，有这样的思维方式，找的数据越多越容易归纳出结论，然后就比较容易进行论证.这样处理问题的方式能很好地避开繁琐的计算,但在平时缺少训练.
视角4 构造的视角
分析根据三角不等式
可知
从而
故a·b的最大值是.
点评除了上述通性通法，也可以通过构造法进行解决(可构造三角不等式，三角不等式来源于几何图形).笔者认为:该方法之所以隐蔽，比较难考虑到，主要还是陷入到平面向量的考点当中，正所谓当局者迷；还有一个原因是平时三角不等式的使用频率不高，不够熟练.
视角5 投影的视角
分析如图2，设，则
|a·e|+ |b·e|=
||=
||≤||，
从而
又因为对任意单位向量e,|a·e|+|b·e|恒成立，所以
即
于是
故
点评本题给出的2个绝对值之和，也就是2条线段之和，是否可以让2条线段之和看起来更直接呢？对向量进行首尾顺次联结转化，那么投影线段也就变成了一条线段，在这样的构造中，还有非常重要的知识理解，就是任意单位向量e，实际上给出的是直线的方向向量，要求的是向量a,b在直线l上的投影线段.
3.1 重视概念，关注本质
在高考试卷中，对知识概念的考查，对问题本质的考查可以说是比比皆是，应该说是考查的重点.在数学中学生要能够实现文字语言、符号语言、图形语言的交融，
在审清题意的基础上才能想明白、才能够找到数学问题的本质，把解决问题的思路较好地进行内化.学生说的更高层次是透过问题的本质、背景、相似或相关的数学
问题进行辐射，逐步引导学生去悟，直到学生自发地悟，形成自己的解决问题的能力和解决问题方法.转化是数学中非常重要的数学思想，转化可以是表达方式的转化，可以是形与形之间的转化，可以是文字语言、符号语言、图形语言之间的转化，还可以是解题方法的转化.
3.2 通法入手，巧法渗透
高考是选拔性考试，既要保证考生在考场上把寻常路走好，同时又要让那些有创造性的考生能够脱颖而出.因此在试题的设置上表现为“通性通法”重点考查，又会
在试卷中适当加入一些“技巧性元素”进行锦上添花.因此，在平时的教学中，要
求教师更加注重对知识“通性通法”的教学.而事实上，技巧性解法的发现，也就是通性通法的提升和化归[2].只要对问题解决的通性通法过关、熟练、高效，某些试题的技巧性解法自然就会应运而生.3.3 夯实基础，提升能力
在高考卷中，题目的难易程度都是有要求的，基础题、中档题、难题的设置是有一定比例的.对于教师而言，应该重视基础题的训练，规范解题，做到有理有据，对于计算及数据处理，注重准确、速度.对于高考卷来说，考生在对难题的处理是多方面的：首先要保证时间，安排好难题的思考时间；其次是难题到基础题的分解.如果考生的基本功过关，就基本具备了解决难题的素质.
3.4 着眼专题，优化解题
对于数学学科来说也是有一定量的母题或者说是题根的，非常多的题目是可以找到根本的.教师在某些试题的突破上可以通过专题的形式，强化一题多解、多题一解的训练.在解决问题的过程中，解题思路是如何形成的，解题方法是如何构想的，这些对于学生来说都是至关重要的，我们应该留给学生足够的反思时间和“悟透“的空间.反思解题方法的探索发现过程，反思错误的成因及对策，反思处理问题的思维过程和数学思想方法，反思是否对问题进行深入细致的分析转化.学生通过回顾和总结解题思路，定能收到事半功倍的效果.学生在钻研解决问题的基本方法之外，更深层次是能说明白问题考查的知识要点，以及问题的来源、问题设置的背景，这样真正把所学的知识内化，形成学生自己的学习技能，达到了取“渔”的目的.
通过上述对2016年浙江省数学高考理科第15题的分析和理解，笔者对该题进行了如下改编：
改编1 已知向量a，b，|a|=1,|b|=2,若对任意向量c，且|c|≤2，均有|a·c|+|b·c|，则a·b的最大值是______.
改编2 已知向量a，b，且|a|=1，|b|为单位向量，则|a·e|+|b·e|的最小值是______.
改编3 已知向量a，b，且|a|=1，|b|为单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______. 改编4 已知向量a，b，且|a|=1，|b|为单位向量，则|a·e|+|b·e|的取值范围是
______.
结束语 2016年的高考已经结束，在高考中重点知识一定会重点考查，而平面向量知识仍然以作为考查学生创新思维的题目出现.在求解平面向量试题时，要能够练
就以形助数和以数解形的双重本领.伟大数学家哈尔莫斯曾说过：问题是数学的心脏.数学的学习就是在不断地提出问题和解决问题的过程中发展的.波利亚也说过：
掌握数学就意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题.学生在数学学习的过程中，领悟基
本知识、基本方法的运用，通过引导学生归纳解题方法、技巧、规律和思想方法，促进知识向能力转变，实现自我完善，争取达到“做一题通一法，会一类通一片”的效果.2016年的平面向量试题简约但是不简单，正所谓“大音希声，大象无形”！
【相关文献】
[1] 李学军.用本促真贴地前行[J].中学教研(数学)，2016(4):27-30.
[2] 曹凤山.讲好数学背后的故事——解题教学的一项基本功[J].中学教研(数学)，2016(6):1-4.。