2021年高中数学北师大版选修2-1练习：第1章2.3 充要条件 2 Word版含解析

[A.根底达标]
1．x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2 ,
所以x (y －2)＝0成立．
但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2 ,
所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．
故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.
2．平面α∩平面β＝l ,直线a α ,直线b β ,那么p ： "a 和b 是异面直线〞是q ： "a 与b 均与直线l 相交且交点不同〞的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.由p ： "a 和b 是异面直线〞 ,那么可推出其中一条直线可能与l 平行 ,另一条可能与l 相交 ,故p 不是q 的充分条件 ,由a 与b 均与l 相交且交点不同 ,那么a 与b 一定异面 ,故p 是q 的必要条件．
3．设a ,b 都是非零向量 ,那么 "a·b ＝±|a||b|〞是 "a ,b 共线〞的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a ,b 〉＝θ ,a·b ＝|a||b|cos θ ,当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时 ,cos θ＝±1 ,θ＝0或π ,那么a 与b 共线 ,假设a 、b 共线 ,那么〈a ,b 〉＝0或π ,那么a·b ＝±|a||b|.
4． "ω＝2〞是 "函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最|小正周期为π〞的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.根据T ＝2π|ω|
＝π ,得ω＝±2 ,应选A. 5． "a ＜2〞是 "a 2－2a ＜0〞的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0 ,2) ,因为{a |0＜a ＜2}
{a |a ＜2} ,所以 "a ＜2〞是 "a 2－2a ＜0〞的必要不充分条件．
6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．
解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3) ,令f (x )＝0 ,得sin(x ＋π3)＝－a 2 ,因为－1≤sin(x ＋π3
)≤1 ,所以－2≤a ≤2.
答案：[－2 ,2]
7．全集S ,假设p ：A
B ,q ：∁S B ∁S A ,那么p 是q 的________条件． 解析：如图 ,A B ⇒∁S B ∁S A ,∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充
分条件 ,也是必要条件 ,即p 是q 的充要条件．
答案：充要
8．条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0 ,那么使p 是q 的充分不必要条件的最|小整数a ＝________．
解析：由题意知a ＞0 ,设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a } ,B ＝{x |2x 2－3x ＋1
＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1} , 由题意 ,A B ,
所以由数轴可得⎩⎨⎧1－a ≤12 1＋a ＞1或⎩⎨⎧1－a ＜12 1＋a ≥1.
所以a ≥12
,故a 的最|小整数为1. 答案：1
9．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件．
解：当a ＝0时 ,2x ＋1＞0不恒成立．
当a ≠0时 ,ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0 Δ＝4－4a ＜0
⇔a ＞1. 所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.
10．命题p ：|x －1|＜a (a ＞0) ,命题q ：x 2＋21＞10x ,且p 是q 的既不充分也不必要条件 ,求a 的取值范围．
解：由|x －1|＜a (a ＞0) ,解得1－a ＜x ＜1＋a .
所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ,a ＞0}．
由x 2＋21＞10x ,解得x ＜3或x ＞7.
所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}．
显然集合B A ,即q p ,所以p 不是q 的必要条件．
如果p 是q 的充分条件 ,那么p ⇒q ,即A ⊆B ,所以1＋a ≤3或1－a ≥7.
又a ＞0 ,所以0＜a ≤2.
所以假设p 是q 的既不充分也不必要条件 ,应有a ＞2.
[B.能力提升]
1．设a ,b 是实数 ,那么 "a >b 〞是 "a 2>b 2〞的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D.设a ＝1 ,b ＝－2 ,那么有a >b ,但a 2<b 2 ,故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2 ,b ＝1 ,显然a 2>b 2 ,但a <b ,即a 2>b 2⇒/ a >b .故 "a >b 〞是 "a 2>b 2〞的既不充分也不必要条件．
2．设0＜x ＜π2
,那么 "x sin 2x ＜1〞是 "x sin x ＜1〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为0＜x ＜π2
,所以0＜sin xx sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1 ,因此必要性成立．由
x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ,而1sin x ＞1 ,因此充分性不成立． 3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数 ,不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2
＞0的解集分别为M 和N ,那么 "a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2
〞是 "M ＝N 〞的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0 ,那么M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0 ,那么M ≠N ,所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .
反之 ,假设M ＝N ＝∅ ,即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系 ,只要求判别式小于零．
因此 ,M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2
. 答案：既不充分也不必要
4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |□x －1x ＜0 ,B ＝{x |x 2－3x －4≤0} ,C ＝{x |log 12
x ＞1} ,然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上 ,并将 "□〞中的数告诉了他们 ,要求
他们各用一句话来描述 ,以便同学们能够确定该数 ,以下是甲、乙、丙三位同学的描述：
甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．假设老师评说三位同学都说得对 ,那么 "□〞中的数为________．
解析：设 "□〞中的数为a ,由甲的描述知a 为小于6的正整数 ,那么A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0＜x ＜1a ,B ＝{x |－1≤x ≤4} ,C ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |0＜x ＜12 ,由乙的描述知1a ≤4 ,由丙的描述知1a ＞12 ,所以14≤a ＜2 ,再由甲的描述知a ＝1.
答案：1
5．p ：x (x －3)＜0 ,q ：2x －3＜m ,假设p 是q 的充分不必要条件 ,求实数m 的取值范围． 解：
p ：x (x －3)＜0 ,那么0＜x ＜3；
q ：2x －3＜m ,那么x ＜m ＋32
. 令集合A ＝{x |0＜x ＜3} ,B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x |x ＜m ＋32 ,在数轴上表示出集合A ,B 如下图．由于p 是q 的充分不必要条件 ,那么A B ,即m ＋32
≥3 ,解得m ≥3. 6．(选做题)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ,且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ,使af (x 0)＜0.
证明：①充分性：假设存在x 0∈R ,使af (x 0)＜0 ,
那么b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0]
＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)
＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0 ,
所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．
②必要性：假设方程f (x )＝0有两个不等实数根 ,
那么b 2－4ac ＞0 ,设x 0＝－b 2a
,
a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝
⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝b 24－b 22＋ac ＝4ac －b 24＜0. 所以存在x 0∈R ,使af (x 0)＜0.。