第6章——常应变三角形单元

收敛——单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真解
22:42 有限单元法
崔向阳
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形函数的性质
当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（通 常较容易满足）。当单元的位移函数满足协调性要求时，称 单元是协调的。
当势能泛函中位移函数的导数是2阶时，要求位移函数在单元 的交界面上具有C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函 数往往比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求 ，只要单元能够通过分片试验 (Patch test)，有限元分析的解 答仍然可以收敛于正确的解。这种单元称为非协调单元。
(
y1
−
y2
)x
+
(
x2
−
x1
)
y
其中A是三角形的面积
1 A= 1 1
2
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
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平面三角形单元
u ( x, y ) = N1u1 + N2u2 + N3u3
同理
v ( x, y ) = N1v1 + N2v2 + N3v3
u(x, y) = N(x, y)de
Ni =1 i
j
i
m Nj =1 j
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i m
j
Nmm =1
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形函数的性质
在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有:
Ni (x,
y)
=1−
x − xi x j − xi
N j (x,
y)
=
x − xi x j − xi
Nm (x, y) = 0
证
N
y j (xj，yj)
{ } [ ]B 3×6
d 几何关系
e 6×1
位移函数
[S] = [D][B] 3×6
Ke 6×6
=
?
单元刚度矩阵
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单元应变能
单元应变能 U为：
ym
jh
∫∫ U = 1 2
(σ
A
εx x
+σ
yε
y
+τ γxy
xy )hdxdy
i
x
∫∫ = 1 σTεhdxdy 2A
σT = (Dε)T = εTDT
1 xm ym
k k = 3, 1, 2
i = 1, 2, 3 i
j j = 2, 3, 1
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形函数的性质
在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性)
Ni (x, y) + N j (x, y) + Nm (x, y)
=
1 2A
(ai
+
a
j
+
am
)
+
(bi
+
bj
式中N1，N2和N3是坐标的函数，反映了单元内近似解的形态，称为单元的形 函数，数学上它反应了由节点的场量对单元内任意一点场量的插值，也叫做
插值函数。
为什么叫形函数?
三个函数其实描述的就是单元上近似解的插值关系，它决定了近似解在单 元上分布的形状，所以称它为形函数（shape function）。这里值得注意一 下的是近似解，前面我们说过，假设位移模式是线性变化的，实际情况并 不一定是线性变化的，所以我们通过所做假设得到的结果只能说是近似解 ，而不能说是精确解。
三维问题
平面应力 平面问题 平面应变
离散
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三节点平面三角形单元
u1

v1

de
=
uv22

u3

v3

节点1的位移

节点2的位移

节点3的位移

y, v
3 (x3, y3)
(u3, v3)
fsy
A
1 (x1, y1) (u1, v1)
e
则：
∫∫ Ke = BTDBhdxdy A
注意：hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得 Ke的一般式：
∫ K e = BTDBdV V
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单元外力功
单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体 积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力， 以及相邻单元互相作用的内力等。
c3 b3
由于 A, b1, c1, b2, c2, b3, c3与x、y无关，都是常量，因此B矩
阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元节点位 移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单 元。
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单元应变和应力矩阵
平面应力：
σ(= x, y)
y
j qV
·
i
m
x
qV
=
qVx qVy

y
j
qs
y
j
fc
·
i
i
m
m
x
x
qs
=
qsx
qsy

fc
=

fcx
f
cy

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单元外力功
（1）体积力所做的外力功
y
∫∫ ( ) ∫∫ WV =
A qVxu + qVyv hdxdy =
A
u
当然，相邻单元的E，µ，A和bi、ci(i，j，m)一般不完全相同， 因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在 着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速 减小。
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单元分析
{ }F 6×1 平衡关系
{σ }3×1
{ } [D]3×3
ε
本构关系
3×1
y1 y2
−1
uu12

y3 u3
u ( x, y) = {1 x
1 x1
y} 1 x2
1 x3
y1 y2 y3

−1
uu12 u3

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平面三角形单元
假设
1 x1 y1 −1
{N1
注意到弹性矩阵D的对称性
∫∫ ∫∫ U = 1 σTεhdxdy = 1 εTDεhdxdy
2A
2A
ε = Bde
∫∫ (∫∫ ) = 1 2
A
d
T e
B
T
DBd
e
hdxdy
=
1 2
dT e
B T DBhdxdy
A
de
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刚度矩阵
引入刚度矩阵K：
U
=
1 2
d
T e
K
ed
σ

x

= σ y
τ
xy


1
E
1− µ2
µ

0
µ
1
0

0 0

ε

x

= ε y
Dε(x, y)
1-µ

γ
xy


2
= σ(x, y) D= ε(x, y) DB(= x, y)de S(x, y)de
S(x,= y) D=B D[B1 B2 B=3 ] [S1 S2 S3 ]
qT V
hdxdy
∫∫ WV
=
d
T e
A
N
qT V
hdxdy
N2
N3} = {1 x
y} 1 x2
y2

1 x3 y3
求得 = N1
1 2A
(
x2
y3
−
x3
y2
)
+
(
y2
−
y3 )x
+
( x3
−
x2
)
y
= N2
1 2A
(
x3
y1
−
x1
y3
)
+
(
y3
−
y1
)
x
+
( x1
−
x3
)
y
= N3
1 2A
(
x1
y2
−
x2
y1
)
+
应力矩阵
= Si
D= Bi
2
E A(1 −
µ
2
)
bi

µbi
1-µ 2
ci
µci
ci

1-µ 2
bi

平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。
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单元应变和应力矩阵
由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常 数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常 量。
fsx
2 (x2, y2) (u2, v2)
x, u
引入位移函数的概念：
三节点三角形单元的位 移函数可假设为：
u v
( x, ( x,
y) y)
=α1 =α 4
+ +
α2 α5
x x
+ +
α3 α6
y y
“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部 位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限 元分析必须事先给出（设定）位移函数。一般 而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算 结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划 分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项 式也可得到相当精确的结果。这正是有限单元 法具有的重要优势之一。
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平面三角形单元
显然，三角形三个节点的的位移可由下列方程给出，在各节点上
的水平位移方程为：
u1=α1+α2 x1 +α3 y1 u2=α1+α2 x2 +α3 y2 u3=α1+α2 x3 +α3 y3
解出
αα12

=
1 1
x1 x2
α3 1 x3
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
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第6章: 平面问题(1)-三角形单元
引言
杆梁结构：由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进 行自然的离散。
连续体：它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工 的方法进行离散。
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平面三角形单元
三角形的形函数可统一表示为：
N=i
1 2A
( ai
+
bi
x
+
ci
y)
其中
ai
=
x
j
ym
−
xm
y
j
=
xj xm
yj ym
1 bi = yi − ym =− 1
yj ym
k
j i
1 ci =xm −x j =1
xj xm
1 xi yi 2A = 1 xj yj
B(x, y)
2= 1A b01 0c1 b02 0c2 b03 c03 [B1 B2 B3 ]
c1 b1 c2 b2 c3 b3
b1 0
b2 0
b3 0
B1
= 0 c1 B2 0= c2 B3 0
c3

c1 b1
c2 b2
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形函数的性质
形函数Ni 在节点i 上的值等于1，在其它节点上的值等于0。
Ni (xi , yi ) = 1 Ni (x j , y j ) = 0 Ni (xm , ym ) = 0 N j (xi , yi ) = 0 N j (x j , y j ) = 1 N j (xm, ym ) = 0 Nm (xi , yi ) = 0 Nm (x j , y j ) = 0 Nm (xm, ym ) = 1
∫ij
N i dl
=
1 2
lij
N
y
j (xj，yj)
Ni(x、y)
1 i(xi，yi)
m (xm，ym)
x
xj
x
xi
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形函数的性质
完备性—包含常应变项和刚体位移项 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m 阶，则选取的位移函数至少是m阶完全多项式。
协调性—相邻单元公共边界保持位移连续 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m 阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶的 连续导数，即Cm-1连续性。 如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在 相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变， 这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能 中去，有限元解就不可能收敛于真正解。
Ni (x,
y)
=1−
x − xi x j − xi
N j (x, y)
=
x − xi x j − xi
Nm (x, y) = 0
m
j
相邻单元的位移在公共边上是连续的
p i
形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为
∫ ∫A Nidxdy
=
A 3
式中 lij 为 ij 边的长度。
Ni =1 i m
j
Ni(x、y)
1 i(xi，yi)
m (xm，ym)
x
xj

xi
Ni(x, y) = 1 x − x j xi − x j
Ni ( x,
y)
=
x − xj xi − x j
=
x−
xi + xi − xi − x j
xj
=1−
x − xi x j − xi
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形函数的性质
+
bm
)x
+
(ci
+
c
j
+
cm
)
y
=1
第一列与它的 第一列与第二
代数余子式乘 列的代数余子
积之和
式乘积之和
第一列与第三 列的代数余子 式乘积之和
2A
0
0
1. 三个形函数只有两个是独立的
2. 当三角形单元的三个结点的位移相等 u=i u=j u=m u*
u(x, y) = Niui + N ju j + Nmum = (Ni + N j + Nm )u* = u*
分片试验由B.M.Irons首先提出，已经证明它给出了收敛性的充分条件。
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单元应变和应力矩阵
∂