【创新设计】2021-2021学年高中数学 8.2余弦定理活页训练 湘教版必修4(1)

余弦定理
双基达标
(限时20分钟
)
1．若是等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的极点的余弦值为 ( )．
解析 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，那么腰长为2a .由余弦定理得cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78，应选D.
答案 D
2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，那么c 的值为
( )．
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．无解
解析 由3a ＝
3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－
2bc cos A ，即16＝48＋c 2－12c ，解得c ＝4或c ＝8. 答案 C
3．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长别离为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，假设p ∥q ，那么C 的大小为
( )．
解析 ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即
a 2＋
b 2－
c 2＝ab .由余弦定理可得cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 2
2ab ＝ab
2ab ＝1
2
，∵0<C <π， ∴C ＝π3.
答案 B
4．在△ABC 中，假设sin A ∶sin B ：sin C ＝3∶2∶4，那么cos C ＝________． 解析 依照正弦定理，知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，k >0， 则cos C ＝9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－1
4
.
答案 －1
4
5．在△ABC 中，假设a 2－b 2－c 2＝bc ，那么A ＝________． 解析 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝－12
，
∴A ＝120°. 答案 120°
6．证明：cos B cos C ＝c －b cos A
b －
c cos A
.
证明 右边＝
c －b ·
b 2＋
c 2－a 2
2bc b －c ·
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＝
c －
b 2＋
c 2－a 2
2c b －
b 2＋
c 2－a 2
2b
＝a 2＋c 2－b 22c
a 2＋
b 2－
c 22b ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝cos B
cos C
＝左侧． 综合提高
限时25分钟
7．已知三角形的三边长别离是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，那么此三角形中的最大角是
( )．
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
解析 ∵a 2＋b 2＋ab >a ，a 2＋b 2＋ab >b ， ∴最大边是a 2＋b 2＋ab ，设其所对的角为θ， 则cos θ＝a 2＋b 2－（a 2＋b 2＋ab ）2
2ab
＝－1
2
，θ＝120°.
答案 C
8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，那么△ABC 是 ( )．
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·
b 2＋
c 2－a 2
2bc
＋b ·
a 2＋c 2－
b 2
2ac
＝
c·
2ab
.化简，得a4－2a2b2＋b4＝c4，即(a2－b2)2＝c4，∴a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2.∴△ABC是直角三角形．
答案B
9．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，那么A＝________．
解析直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12，因此c＝23，由正弦
定理a
sin A ＝
c
sin C
得sin A＝
1
2
，由于a<c，因此A<C＝60°，因此A＝30°.
答案30°
10．在△ABC中，假设2a＝(3＋1)b＝(6＋2)c，那么△ABC中最大内角的余弦值为________．
解析由题意可知c＝
2
6＋2
a＝
6－2
2
a，
b＝2a
3＋1
＝(3－1)a.因此a为最大边，把b，c代入余弦定理a2＝b2＋c2－
2bc cos A中，得cos A＝2－6 4
.
答案2－6 4
11．在△ABC中，C＝60°，a＋b＝16.
(1)试写出△ABC的面积S与边长a的关系；
(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出最大值；
(3)当a等于多少时，周长l有最小值？并求出最小值．
解(1)∵a＋b＝16，
∴b＝16－a>0，
∴S ＝1
2ab sin C
＝1
2a (16－a )sin 60° ＝
3
4
(16a －a 2)
＝－
34
(a －8)2＋163；
(2)当a ＝8时，S max ＝163；
(3)l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋a 2＋b 2－2ab cos 60°
＝16＋
3（a －8）2＋64
当a ＝8时l min ＝24.
12．(创新拓展)在△ABC 中，假设三边的长为持续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．
解 设最小内角为θ，三边长为n －1，n ，n ＋1，(n >1，n ∈N )，依照正弦定 理得：
n －1
sin θ＝n ＋1sin 2θ，∴n －1＝n ＋12cos θ
， ∴cos θ＝
n ＋1
2（n －1）
. 依照余弦定理得cos θ＝
n 2＋（n ＋1）2－（n －1）2
2n （n ＋1）
∴
n ＋12（n －1）
＝
n 2＋（n ＋1）2－（n －1）2
2n （n ＋1）
，
解得n ＝5，从而三边长别离为4，5，6.。