新北师大版九年级下册初中数学 6 利用三角函数测高 教案

第一章直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；
2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.
运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告．
能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.
1.在实际生活中，会经常见到一些高大的物体，像旗杆、高楼、古塔等(多媒体展示如图1－6－7所示的图片)，它们高度较高且顶部不易到达，如果想测量它们的高度，根据所学的知识，大家有哪些测量方案？
图1－6－7
(1)利用太阳光下的影子测量；(2)利用标杆测量；(3)利用镜子的反射测量.
师：我们前面刚学过直角三角形的边角关系，那么能不能用这方面的知识来测量一些物体的高度呢？带着这个问题，我们来进行本节课的学习.
2.如图1－6－8，AC表示一幢楼，它的各楼层都可到达；BD表示一个建筑物，且不能到达．已知AC与BD地平高度相同，AC周围没有开阔地带，仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角).
图1－6－8
(1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案，要求写出测量步骤和必要的
测量数据(用字母表示)，并画出测量示意图；
(2)写出计算BD高度的表达式.
师：如何设计一个测量建筑物BD高度的方案呢？
【探究1】测量倾斜角(仰角或俯角)
师：(课件展示)测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1－6－9).
图1－6－9
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：
如图1－6－10所示，把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数.
图1－6－10
根据测量数据，你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由.
了解了用测倾器测量倾斜角的大小，
借助它和皮尺我们就可以测量一些物体的高度.
在生活中有些物体的底部可以到达，有些物体的底部不可以直接到达，所以分两类分别探究.
【探究2】测量底部可以到达的物体的高度，所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
图1－6－11
师：如图1－6－11，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？
测量AN及AC的长.
测量仰角∠MCE.
你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示.
(学生之间讨论后回答)
1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.
3.量出测倾器的高度AC＝a.
根据刚才测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由．和同伴交流一下你的发现.
在Rt△MCE中，ME＝EC·tanα＝AN·tanα＝l·tanα，
∴MN＝ME＋EN＝ME＋AC＝l·tanα＋a.
那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？
【探究3】测量底部不可以直接到达的物体的高度.
所谓“底部不可以到达”，就是在
图1－6－12
地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.
如图1－6－12，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行：
1.在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE＝α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A，B与N在一条直线上，
且A，B之间的距离可以直接测得)，测得此时M的仰角∠MDE＝β.
3.量出测倾器的高度AC＝BD＝a，以及测点A，B之间的距离AB＝b.
根据测量数据，物体MN的高度计算过程如下：
ME tanβ.
在Rt△MDE中，ED＝
在Rt△MCE中，EC＝ME
tanα
. ∵EC－ED＝CD，
∴
ME
tanα
－
ME
tanβ
＝b，∴ME＝
btanαtanβ
tanβ－tanα
，
∴MN＝btanαtanβ
tanβ－tanα
＋a.
【应用举例】
师：回过头来，我们再来看活动一中的第2个问题，现在你能解决了吧？
生：可以类比测量底部不可以直接到达的物体高度的方法来解决.
图1－6－13
师：你来说说具体的解决方案.
生1(这名学生到黑板前边叙述方案边
画出测量示意图)：
1.在测点A处安置测倾器，测得B的仰角为α.
2.在测点C处安置测倾器，测得B的仰角为β.
3.量出测点A，C之间的距离b.
利用测得数据就可以计算建筑物BD的高度.
其余学生根据学生1的测量方案及数据计算建筑物BD的高度.
变式：如图1－6－14，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度是5 m，大门距主楼的距离BC是30 m，
图1－6－14
在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时侧倾器离地面的高度BE是1.4 m，求学校主楼的高度(精确到0.01 m).
(本题先让学生独立完成，找一名学生到黑板前板书解题过程，便于集体纠正出现的错误)
例1 如图1－6－15，从地面C，D两处望山顶A，仰角分别为30°，45°.若C，D两处相距200 m，求山高AB.
图1－6－15
例2如图1－6－16，大楼AD的高为10米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶B处的仰角为30°，求塔BC的高度.
图1－6－16
本节课应掌握：
1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量；
2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．。