苍南县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

苍南县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 如图，长方形ABCD 的长AD=2x ，宽AB=x （x ≥1），线段MN 的长度为1，端点M 、N 在长方形ABCD 的四边上滑动，当M 、N 沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数y=f （x ）的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知函数关于直线对称 , 且,
则的最小值为
()sin f x a x x =-6
x π
=-12()()4f x f x ⋅=-12x x +A 、
　B 、
C 、
D 、6
π3
π56
π23
π
3． 已知i 是虚数单位，则复数等于（
）
A ．﹣ +i
B ．﹣ +i
C ．﹣i
D ．﹣i
4． 已知直线 a P 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）
A ．
B ．与异面
C ．与相交
D ．与无公共点
a b P 5． 若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（
）A ．B ．
C ．
D ．2
6． 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知命题p
：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
8． 函数f （x ）=﹣x 的图象关于（ ）
A ．y 轴对称
B ．直线y=﹣x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y=x 对称
9． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．64
B ．72
C ．80
D ．
112
【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.10．
在中，、、分别为角
、
、
所对的边，若
，则此三角形的形状一定是
（ ）A ．等腰直角B ．等腰或直角C ．等腰D ．直角
11．已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3， =k ﹣4，与垂直，k 的值为（
）
A ．﹣6
B ．6
C ．3
D ．﹣3
12．若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
二、填空题
13．某工程队有5项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后立即进 行那么安排这5项工程的不同排法种数是 ．（用数字作答）14．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数
()()21x
f x e
x ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是
0x ()00f x <a 15．给出下列四个命题：①函数y=|x|与函数
表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=3x 2+1的图象可由y=3x 2的图象向上平移1个单位得到；④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域为[0，4]；
⑤设函数f （x ）是在区间[a ，b]上图象连续的函数，且f （a ）•f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）　
16．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．
17．已知函数，且，则，的大小关系()f x 2
3(2)5x =-+12|2||2|x x ->-1()f x 2()f x 是 ．
18．若圆与双曲线C ：
的渐近线相切，则
_____；双曲线C 的渐近线方程是
____．
三、解答题
19．（本小题满分12分）一直线被两直线截得线段的中点是12:460,:3560l x y l x y ++=--=P 点, 当点为时, 求此直线方程.
P ()0,020．（本小题满分12分）
成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.
（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）
21．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自独立工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p ＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率
（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）
（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．
22．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（I）当a=3时，求函数f（x）在[，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
24．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．
（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．
苍南县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】 C
【解析】解：∵线段MN 的长度为1，线段MN 的中点P ，∴AP=
，
即P 的轨迹是分别以A ，B ，C ，D 为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH ，FE ，RT ，LK ，部分．∴G 的周长等于四个圆弧长加上线段GH ，FE ，RT ，LK 的长，即周长
=
=π+4x ﹣2+2x ﹣2=6x+π﹣4，
面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积为
，
∴f （x ）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，
∴对应的图象为C ，故选：C
．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P 的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．　
2． 【答案】D
【解析】
：()sin )(tan f x a x x x ϕϕ=-=
-=12(),()()4
6
3
f x x k f x f x π
π
ϕπ=-
∴=+
⋅=-Q Q 对称轴为112212min
522,2,6
6
3
x k x k x x π
π
πππ∴=-
+=
+∴+=
3． 【答案】A 【解析】解：复数=
=
=
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】
//a b
试题分析：因为直线a P平面α，直线b⊆平面α，所以或与异面，故选D.
考点：平面的基本性质及推论.
5．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：，
可得a2=b2，c=a，
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
6．【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
7．【答案】D
【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．
下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．
故选；D．
8．【答案】C
【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）
∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选C．
9．【答案】C.
【解析】
10．【答案】B
【解析】
因为，所以由余弦定理得，
即，所以或，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形，故选B
答案：B
11．【答案】B
【解析】解：∵=（2+3）（k﹣4）
=2k+（3k﹣8）﹣12=0，
又∵=0．∴2k﹣12=0，k=6．
故选B
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的
12．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
二、填空题
13．【答案】　12　
【解析】解：安排甲工程放在第一位置时，乙丙与剩下的两个工程共有种方法，
同理甲在第二位置共有2×2种方法，甲在第三位置时，共有2种方法．由加法原理可得： +4+2=12种．
故答案为：12．
【点评】本题考查了排列与乘法原理，优先安排除了甲乙丙3个工程后剩下的2个工程的方案是解题的关键，属于中档题．　
14．【答案】【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线0x
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减; 当
时,
,函数单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
.3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化
为存在唯一的整数，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
0x
据题设建立不等式组求出解之得.
15．【答案】　③⑤　
【解析】解：①函数y=|x|，（x ∈R ）与函数，（x ≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；
错；
②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；
③函数y=3（x ﹣1）2的图象可由y=3x 2的图象向右平移1个单位得到；正确；④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域由0≤2x ≤2，⇒0≤x ≤1，它的定义域为：[0，1]；故错；
⑤设函数f （x ）是在区间[a ．b]上图象连续的函数，且f （a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根．故正确；故答案为：③⑤　
16．【答案】　2　．
【解析】解：整理函数解析式得f （x ）﹣1=log a （x ﹣1），故可知函数f （x ）的图象恒过（2，1）即A （2，1），故2m+n=1．∴4m +2n ≥2
=2
=2
．
当且仅当4m =2n ，即2m=n ，即n=，m=时取等号．∴4m +2n 的最小值为2
．
故答案为：2　
17．【答案】]12()()f x f x 【
解
析
】
考
点：不等式，比较大小．
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．18．【答案】
，
【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线【试题解析】双曲线的渐近线方程为：圆
的圆心为（2，0），半径为1．
因为相切，所以
所以双曲线C 的渐近线方程是：故答案为：
，
三、解答题
19．【答案】．16
y x =-【解析】
试题分析：设所求直线与两直线分别交于,根据因为分别在直线
12,l l ()()1122,,,A x y B x y ()()1122,,,A x y B x y 上，列出方程组，求解的值，即可求解直线的方程. 1
12,l l 11,x y
考点：直线方程的求解.20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：．
在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：．
通讯器械正常工作的概率P′=；
（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，
为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作．
①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：p2；
②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：．
此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：；
③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：；
此时通讯器械正常工作，故它的概率为：
P″=p2++，
可得P″﹣P′=p2+﹣，==．
故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；
当0＜p时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低；
当p时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．
【点评】本题考查二项分布，考查了相互独立事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．
22．【答案】
【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，（x﹣3）2+y2=100，
当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…①
当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…②
将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b2=36﹣9=27
∴圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：2
两边再平方得：3x2+4y2﹣108=0，整理得
所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f′（x）=﹣2x+3﹣=﹣=﹣，
函数f（x）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点，
故函数在[，2]最大值是f（1）=2，
又f（2）﹣f（）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f（2）＜f（），
故函数在[，2]上的最小值为f（2）=2﹣ln2．
（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x2﹣ax+1=0有两个不同正根．
故a应满足⇒⇒，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是．
24．【答案】
【解析】解：（1）设切点．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．
即y=x0x﹣x02．
因为点P（0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．
点A，C的坐标满足方程组，
得x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+），
S ABCD=|AC||BD|==8（2+k2+）≥32．
当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．。