山东省邹城市第一中学高三数学4月高考模拟试题 文 新人教A版

2015届山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟
数学（文）试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、设a 是实数，且11ai
R i
+∈+，则实数=a （ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．2-
2、若k∈R，则“k>3”是“方程
x2k －3－y2k ＋3
＝1表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知,,a b a b +成等差数列，,,a b ab 成等比数列，且0log 1m ab <<，则m 的取值范围是
A ．8m >
B ．1m >
C ．18m <<
D ．01m <<或8m >
4．△ABC 中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则C ∠等于
A ．60o
B ．60o
或120o
C ．120o
D ．90o
5．已知O 是坐标原点，点()2,1A -，若点(),M x y 为平面区域2
12x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，则
OA OM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围是
A ．[]1,0-
B ．[]1,2-
C ．[]0,1
D ．[]0,2
6．下图为一个求50个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为
A ．i>50
B ．i<50
C ．i>=50
D ．i<=50
7．设函数3
x y =与2
)2
1(-=x y 的图像的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是
A ．)1,0(
B ．)2,1(
C ．)3,2(
D ．)4,3(
8．若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A ．若l n αβαβ⊂⊂，，∥，则l n ∥ B ．若,//,l l αβ⊥，则αβ⊥
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥
9．若点(,)m n 在直线43100x y +-=上，则2
2
m n +的最小值是
A ．2
B ．22
C ．4
D ．23
10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（其中2
π<
ϕ），为了得到()sin 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象
A ．向左平移
6π
个单位长度 B ．向右平移
3π
个单位长度
C ．向右平移6π
个单位长度
D ．向左平移3
π
个单位长度
11．两个正数,a b 的等差中项是5
,2
一个等比中项是6,,a b >且则双曲线22221x y a b -=的离心
率e 等于
A ．35
B ．13
C ．
313
D ．
23
12．二次函数)(x f 满足)()4(x f x f -=+，且,3)0(,1)2(==f f 若)(x f 在[]m ,0上有最小
S=0 i=1 DO
INPUT x S=S+x i=i+1
LOOP UNTIL ____ a =S/50 PRINT a END
值1，最大值3，则实数m 的取值范围是 A ．),0(+∞
B ．[)+∞,2
C ．(]2,0
D ．[]4,2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13．已知函数2
()12sin ,()f x x f x =-则的周期T= 。

14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程
ˆ0.2540.321y
x =+ ．由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加________万元；
15．如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为 ．
16．写出以下五个命题中所有正确命题的编号 ①点A （1,2）关于直线1-=x y 的对称点B 的坐标为（3,0）；
②椭圆22
1169
x y +=的两个焦点坐标为()5,0±；
③已知正方体的棱长等于2, 那么正方体外接球的半径是23；
④下图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线11AC 与1B C 成60o
的角；
⑤下图所示的正方形C B A O ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形是矩形．
第④题图． 第⑤题图 三、解答题（共6小题，共74分）
17．已知函数2
()3cos cos f x x x x ωωω=⋅-(0)ω>最小正周期为
π2
． （Ⅰ）求ω的值及函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若ABC ∆的三条边a ，b ，c 满足bc a =2
，a 边所对的角为A ，求A 的取值范
围．
18．（本小题满分12分）
数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，）
，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列。

（Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）求{}n a 的通项公式。

19．（本小题满分12分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5
频率
0.05
m
0.15 0.35
n
（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个
零件等级恰好相同的概率．
20．如图，在三棱锥P —ABC 中，,PAC ABC ∆∆分别是以A 、B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB=1。

（Ⅰ）现给出三个条件：①3PB =
PB BC ⊥；③平面PAB ⊥平面ABC 。

试从中
任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P —ABC 的体积。

21．如图，已知椭圆22
22b
y a x +（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，过点(0,)A b -和(,0)B a 的直线
与原点的距离为
2
3
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知定点(1,0)E -，若直线2y kx =+(0)k ≠与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存
在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由． 22．已知函数11
()()ln f x m x x m x
=++-，
（其中常数0m >） （Ⅰ）当2m =时，求()f x 的极大值； （Ⅱ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；
（Ⅲ）当[)3,m ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x 、
22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P 、Q 处的切线互相平行，求12x x +的取值范围．
2015届山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟 数学（文）试题参考答案
一、选择题:1—12．BAABB ABBAC CD
二、填空题:13．π 14．0．254 15． 3 16．①④ 三、解答题: 17．解：（Ⅰ）311π1
()2cos 2sin(2)2262
f x x x x ωωω=--=--． …………4分 由
2ππ
22
ω=，得2=ω． …………………………………………………5分 函数2
1
)64sin()(--=πx x f ． …………………………………6分
（Ⅱ）因为2222221
cos 2222
b c a b c bc bc bc A bc bc bc +-+--=
==≥．……………10分 而A 为三角形内角，所以03
A π<≤．………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）12a =，22a c =+，323a c =+， …………………………………2分 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，
所以2
(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． ………………………5分
当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． ……………6分 （Ⅱ）由于21a a c -=，322a a c -=，
1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=L 。

………………………10分 又12a =，2c =， 故)1(2-+=n n a n ．
)3,2,1(22⋅⋅⋅=+-=n n n …………………………………………12分 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布表得 0.050.150.351m n ++++=，
即 0.45m n +=． …………………………………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 1.020
2
==
n ． ………………………………………4分 所以0.450.10.35m =-=． …………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ； 等级为5的零件有2个，记作12,y y ． 从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：
12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y
共计10种． ………………………… ………………8分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”．
则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个 ．…………10分
故所求概率为 4
()0.410P A =
=．
………………………………………12分 21．解析：（Ⅰ）直线AB 方程为：0bx ay ab --=
依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
+=2336
22b
a a
b a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，∴ 椭圆方程为13
22
=+y x ． 4分
（Ⅱ）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=0
3322
2y x kx y ，得)31(2k +09122
=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(2
2
>+-=∆k k ① 6分
设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+-=+⋅2212
213193112k x x k k x x ， ② 7分
而4)(2)2)(2(21212
2121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．
8分
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
11
12211
-=++⋅x y x y ， 即0)1)(1(2121=+++x x y y ∴05))(1(2)1(21212
=+++++x x k x x k ③ 将②式代入③整理解得6
7=k ． 10分
经验证，6
7
=
k ，使①成立． 11分 综上可知，存在6
7
=k ，使得以CD 为直径的圆过点E ． 12分
22．（Ⅰ）当2m =时，51
()ln 2f x x x x
=+-
22
51(2)(21)
()122x x f x x x x --'=--=-(0)x > … … … … … 1分 当102x <<，2x >时，()0f x '<；当1
22
x <<时，()0f x '>
∴()f x 在1(0,)2和(2,)+∞上单调递减，在1
(,2)2
单调递减 … 3分
故53
()=(2)ln 222f x f =
-极大 … … … … … … … 4分 （Ⅱ）2222
111()1()()
1()1m x m x x m x m m m f x x x x x +-++--'=--=-=-(0,0)x m >> 5分 ①当01m <<时，则1
1m
>，故(0,)x m ∈时，()0f x '<；(,1)x m ∈时，()0f x '>
此时()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,1)m 单调递增； … … … 6分
②当1m =时，则1
1m
=，故(0,1)x ∈，有22(1)()0x f x x -'=-<恒成立， 此时()f x 在(0,1)上单调递减； … … … … … … 7分
③当1m >时，则101m <
<，故1(0,)x m ∈时，()0f x '<；1
(,1)x m ∈时，()0f x '> 此时()f x 在1(0,)m 上单调递减，在1
(,1)m
单调递增； … … … 8分
（Ⅲ）由题意，可得12()()f x f x ''=（12,0x x >，且12x x ≠）
即
22112211
1111m m m m x x x x +
+
--=-- ⇒ 1212
1()x x m x x m
+=+ … … 9分
∵12x x ≠，由不等式性质可得2
1212()2
x x x x +<恒成立，又12,,0x x m > ∴212121()()2x x x x m m ++<+ ⇒ 124
1x x m m
+>
+对[)3,m ∈+∞恒成立 11分 令1()(3)g m m m m =+≥，则22
1(1)(1)
()10m m g m m m
+-'=-=> 对[)3,m ∈+∞恒成立
∴()g m 在[)3,+∞上单调递增，∴10
()(3)3
g m g ≥= … 12分 故
446
1(3)5
g m m
≤
=+
… … … … … … … … 13分 从而“1241x x m m
+>
+
对[)3,m ∈+∞恒成立”等价于“1246(3)5
x x g +>
=” ∴12x x +的取值范围为6(,)5
+∞ … … … … … … … 14分。