河南省百校联盟2020届高三12月教学质量监测数学(理)试题 Word版含答案

河南省百校联盟2020届高三12月教学质量监测
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合{}
2|43A x Z x x =∈-≤，则集合A 中元素的个数为（ ）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
2. ()
20173243i i i
+=-（ ）．
A ．1762525i +
B ．1762525i -+
C ．1762525i -
D ．1762525
i
--
3.
()20
sin x
e
x x dx π
-+=⎰（ ）．
A ．3
13
e π
π++
B ．3
13
e π
π-+
C ．3
33
e π
π++
D ．3
33
e π
π-+
4.已知4位同学和1位老师参加歌咏比赛，若老师不能在第一位和最后一位出场，且A 同学不能在第4位出场，则不同的排法种数为（ ）． A ．36 B ．54 C ．60 D ．72
5.朱载堉（1536—1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”，十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制.各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则
2
1
f f =（ ）． A
B
C
． D
6.已知随机变量()35,8,36x
N ，则()47.8P x >=（ ）
()()()0.6826,220.9544P x P x μσμσμσμσ-<≤+--<≤+=．
A ．0.3413
B ．0.1587
C ．0.0228
D ．0.0456
7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 值为127，则判断框中可以填（ ）．
A ．10?k ≤
B ．12?k ≤
C ．14?k ≤
D ．16?k ≤
8.已知函数()sin 2f x x =，将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位，再向上平移2个单位，得到函数
()g x 的图象，则当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()g x 的值域为（ ）
．
A ．0,1⎡+⎢⎣⎦
B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．⎡⎢⎣⎦
D ．⎡⎣ 9.已知某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（ ）．
A ．
1603 B ．40 C ．80
3
D ．403 10.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右支上存在一点M ，使得PQ MQ =，其中
()()
,0,,0P b Q b -，若tan MQP ∠=-，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）．
A ．y x =
B ．y x =
C ．y x =±
D ．95
y x =± 11.已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且
//,2,AB CD CD AB PA PB AD CD =====PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥
P ABCD -的外接球的表面积为（ ）． A ．44π B ．48π C ．52π D ．54π
12.已知实数,,,m n p q 满足()2
22
4ln 03p q m n q ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭
，则()()22
m p n q -+-的最小值为（ ）． A ．36 B ．18 C ．9 D ．27
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题---第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量,a b 满足()4,3,3a b =-=，若向量,a b 的夹角为2
3
π，则23a b +=____________．
14.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与椭圆()22
222:10y x C a b a b
+=>>相交于A B C D 、、
、四点，若
椭圆1C 的一个焦点为()
F ，且四边形ABCD 的面积为
16
3
，则椭圆1C 的离心率e 为 ____________． 15.已知实数,x y 满足240300x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，若66ax y +≥-恒成立，则实数a 的取值范围为 ____________．
16.已知数列{}n a 的首项为9，且()2
1122n n n a a a n --=+≥，若1
11
2n n n b a a +=
++，则数列{}n b 的前n 项和n S =____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分
12分） 如图，在ABC ∆中，sin 4C =,82
C AB π
π<<=，若12sin sin BAC AB B ∠=． （1）求ABC ∆的面积；
（2）已知D 在线段BC 上，且BAD CAD ∠=∠，求sin CAD ∠的值以及AD 的值．
18.（本小题满分12分）
已知函数())2
14
m
f x x m x =-+
．现有一组数据（该组数据数量庞大），从中随机抽取10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为2．
（1）现从茎叶图中的数据中任取4个数据分别替换m 的值，求至少有2个数据使得函数()f x 没有零点的概率；
（2）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m 的值，记使得函数()f x 没有零点的个数为ε，求ε的分布列以及数学期望、方差． 19.（本小题满分12分）
已知正方形11BCC B 如图（1）所示，E 是线段1CC 的中点．现以1CC 为轴，将正方形11BCC B 旋转到11ACC A ，
使得AB =
，得到的图形如图（2）所示，连接111111,,,,,,AB A B AE B E AB B C BC ．
（1）证明：1BC ⊥平面1AB C ； （2）求二面角1E AB C --的大小． 20.（本小题满分12分）
已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22
:165
x y C '+=的一个焦点重合，点()0,2A x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于,M N 两点． （1）求抛物线C 的方程以及AF 的值；
（2）记抛物线C 的准线与x 轴交于点B ，若2
2
,40MF FN BM BN λ=+=，求实数λ的值．
21.（本小题满分12分）
已知函数()()22ln x e a
f x a x a R x x
=++∈．
（1）当a e ≥-时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在三个不同的极值点，分别为12,,2x x ，且1202x x <<<，求实数a 的取值范围，并证明：
121x x <．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），曲线2C 的普通方程为
22
1164
x y +=．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的极坐标方程； （2）若,A B 是曲线2C 上的两点，且OA OB ⊥，求2
2
11OA
OB
+
的值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()41f x x x =+--，若不等式()3f x >的解集为P ． （1）求P ；
（2）若,a b P ∈，且1a b <<，证明：()2
11
91a b a b +≥--．
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数学（理）试题参考答案
一、选择题
二、填空题
2 15. []23-， 16. 2119101
n --
三、解答题
17.【解析】（1）记,AC b BC a ==
，因为sin C =
2
C π
π<<，故
又32a b =，故6b =；……………………………5分 故ABC ∆
的面积11sin 4622S ab C =
=⨯⨯=……………………………6分 （2）依题意，22227
cos ,cos 12sin 28
b c a BAC BAC DAC bc +-∠=
=∠=-∠，即1
sin 4
CAD ∠=
，…………………………………8分 故(
)117sin sin 448
ADC DAC C ⎛⎫∠=∠+=
⨯-+= ⎪⎝⎭，
故
67sin sin 784
AD AC AD C ADC =⇒=⇒=
∠………………………12分 18.【解析】（1）依题意，
()200.30.5 1.4 1.9 1.8 2.3 3.2 3.4 4.5107a a =-++++++++⨯⇒=⎡⎤⎣⎦；…………………………1分
对于函数(
))2
1,04m f x x m x =-+
∆<，解得1
22
m <<； 则茎叶图中，有4个数据满足
1
22
m <<；……………………………4分 故所求概率13166444
10101823
11142142
C C C P C C =--=--=……………………6分 （2）由（1）可知任取1个数据，能够使得函数()f x 没有零点的概率2
5
P =；…………………7分 故ε的可能取值为0，1，2，3，4；
则()()43
14381232160,1562555625P P C εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()223
23442321623962,35562555625P C P C εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4
21645625
P ε⎛⎫
===
⎪⎝⎭. 故所求分布列为：
………………………………………………………10分 因为24,5B ε
⎛⎫
⎪⎝⎭
，故()()2823244,4555525E D εε=⨯==⨯⨯=……………………………12分
19.【解析】（1）因为2
AC BC AB ==
，故222AC BC AB +=，故AC BC ⊥；…………1分 因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，故1CC ⊥平面,ABC AC ⊂平面ABC ，故1AC CC ⊥；……2分 因为1BC
CC C =，故AC ⊥平面11BCC B ；因为1BC ⊂平面11BCC B ，故1AC BC ⊥；……3分
又因为1BC CC =，故11B C BC ⊥；因为1AC
B C C =，故1BC ⊥平面1AB C …………4分
（2）以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，1CC 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -；
不妨设2AC =，则()()()()()()110,0,0,2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0,E 0,0,1C A B C B ，
则()()()112,0,1,2,2,2,0,2,2AE AB BC =-=-=-，
易知，1BC ⊥平面()11,0,2,2AB C BC =-，则平面1AB C 的一个法向量()0,1,1m =-， 设(),,1n x y =是平面1AB E 的一个法向量， 则100
n AE n AB ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，∴2102220x x y -+=⎧⎨-++=⎩，得11,,122n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，
所以cos ,2m n m n m n
=
=
=
因为二面角1E AB C --为锐角，故二面角1E AB C --的大小为30°……………………………12分
20.【解析】（1）依题意，椭圆22
:165
x y C '+=中，226,5a b ==，故2221c a b =-=， 故()1,0F ，故
12
p
=，则24p =，故抛物线C 的方程为24y x =………………2分 将()0,2A x 代入2
4y x =，解得01x =，故122
p AF =+=…………………………3分
（2）依题意，()1,0F ，设:1l x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，
联立方程241
y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2
440y my --=……………………5分
所以121244y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，①且11221
1
x my x my =+⎧⎨=+⎩，
又MF FN λ=，则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-， 代入①得()22
2144
y m y λλ-=⎧⎨
-=-⎩，消去2y 得2
142m λλ=+-，………………………8分 易得()1,0B -，则()()11221,,1,BM x y BN x y =+=+， 则()()()2222
22
222222
11221212121122BM BN
BM BN x y x y x x x x y y +=+=+++++=++++++
()()()()()()()()2
2
22
121212222
1212224211222148
1168448164016
my my my my y y m y y m y y m m m m m m =+++++++++=+++++=++++=++
由4216401640m m ++=，解得2
12
m =
，
故2λ=12分 21.【解析】（1）()
()()()3
23
222x
x x e ax x e a a f x x x
x x -+-'=+-=
，………………………1分 ①当0a ≥时，3
0,0x e ax x +>>，所以当02x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；
当2x >时，()()0,f x f x '>单调递增；……………………………2分
②当0e a -≤<时，令()x h x e ax =+，则()x h x e a '=+，令()0h x '=，得()ln x a =-， 故()h x 在()()
0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，()()
()ln ln ln a
h a a a a a e
--=-+-=， 因为0e a -≤<，所以01a
e
-<
≤，即()()ln 0h a -≥，所以当0e a -≤<时，0x e ax +≥恒成立， 故()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增…………………………………4分
综上，当a e ≥-时，函数()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增…………………………5分 （2）由（1）知()h x 在()()
0,ln a -上单调递减，在()()
ln ,a -+∞上单调递增.
若要()0h x =的两个不同根为12,x x 且1202x x <<<，则必有()()()()()0020
ln 00ln 2h h h a a >⎧⎪
>⎪⎨-<⎪
⎪<-<⎩
，解得
2
2
e a e -<<-………………………………7分 由()()1122
1112220000x x x x h x e ax e ax h x e ax e ax =⎧⎧⎧+==-⎪⇔⇔⎨⎨⎨=+==-⎪⎩⎩⎩，两边取对数得()()11
2
2ln ln ln ln x a x x a x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，
两式相加得()12122ln ln x x a x x +=-+，
故要证121x x <，只需证明()122ln x x a +<-即可……………………………………9分 易知()12ln x a x <-<，
设()()()()2ln g x h x h a x =---，其中()()2
0ln ,2220x
x a x a g x e a a a e
'<<-=++>+=，
故()g x 在()()0,ln a -上单调递增，故()()()ln 0g x g a <-=，
故()()()()()2ln 0ln h x h a x x a <--<<-，……………………………………10分 令1x x =得()()()112ln h x h a x <--，因为()()120h x h x ==，故()()()212ln h x h a x <--………11分 又因为()()()21,2ln ln ,x a x a --∈-+∞，且()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增， 因此有()212ln x a x <--，即()122ln x x a +<-成立，原命题得证…………………………12分
22.【解析】（1）依题意，曲线1C 的普通方程为()2
211x y -+=，即2220x x y -+=…………3分 曲线2C 的极坐标方程为2222cos 4sin 16ρθρθ+=（只要写出ρθ、的关系式均给分）………………5分
（2）曲线2C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθ
ρθ
+=，
设()12,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入得222222221122cos sin sin 2cos 1,1164164ρθρθρθρθ+=+=， 故222222122222121211cos sin sin cos 516416416
ρρθθθθρρρρ+=+=+++=， ∴221
1516
OA OB +=………………………………10分 23.【解析】（1）()5,423,415,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩
，则当4x ≤-时，53->不成立；当41x -<<时，233x +>， 解得01x <<；当1x ≥时，53>成立，故{}|0P x x =>………………………5分
（2）因为0,a b a >>，所以()()22
24a b a b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦
，当且仅当2b a =时，取等号，故()()()22
222222222411141411591111b b b b a b a b b b b b b b
-⎛⎫⎡⎤+≥+=+-+=++≥ ⎪⎣⎦-----⎝⎭，当且仅当()22222411b a b b b
b =⎧⎪-⎨=⎪-⎩
，即a =
，b =10分。