2023届广东省广州市大湾区高三年级上册学期1月第一次联合模拟数学试题

广州市大湾区2023届高三上学期1月第一次联合模拟数学
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、姓名、班级、座位号和准考证号填写在答题卡上，并填涂10位准考证号（考号）．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
{14},{03}A x x B x x =-<<=<≤A B = A ．
B ．
C ．
D ．{14}x x -<<{03}x x <≤{13}x x -<≤{04}
x x <<2．复数z 满足（i 为虚数单位），则复数（ ）
(1i)2i z -=z =A ．
B ．
C ．
D ．1i --1i +1i -1i
-+3．为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛．现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：69 77 92 98 99 100 102 103 115 116 116122 123 124 127 128 129 134 140 142 143 159估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（ ）
A ．124
B ．125.5
C ．127
D ．127.5
4．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高，日影长．图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面．已知某PM h =PN l =测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图2326︒'2dm 1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（参考数据：）2.98dm tan 340.67,tan 56 1.49︒≈︒≈（
）
A ．
B ．
C ．
D ．2326︒'3234︒'34︒56︒
5．函数的图象可能为（ ）22
1
sin ln x y x x
+=⋅
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知F 为双曲线：的左焦点，P 为其右支上一点，点，则周长的最小值为
22
145
x y -=(0,6)A -APF △（
）
A ．
B ．
C ．
D ．4+4+6+6+
7．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A
B
C ．
D ．2-2+-+8．设数列的前n 项和为，且．若对任意的正整数n ，都有
{}n a 1,1n S a =(
)121n n S a n N
*
+=-∈成立，则满足等式的所有正整数n 为
12132131n n n n n a b a b a b a b n --++++=-- 123n n b b b b a ++++= （
）
A ．1或3
B ．2或3
C ．1或4
D ．2或4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，直线，则（
）
2
2
:(1)(2)25C x y -+-=:(21)(1)740l m x m y m +++--=
A ．直线l 过定点(3,1)
B ．直线l 与圆
C 可能相离
C ．圆C 被y 轴截得的弦长为
D ．圆C 被直线l 截得的弦长最短时，直线l 的方程为250x y +-=10．函数的部分图象如图所示，()0,()cos ,02f A x A x ωπωϕϕ⎛⎫
=>+<
⎝
>⎪⎭
，则下列选项中正确的有（ ）
71120,121223f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ．的最小正周期为
()f x 23
π
B ．是奇函数12f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．的单调递增区间为()f x 252,()12
3123k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦D ．01212f x f x ππ''⎛⎫⎛⎫
-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福．他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则A ．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
1
6
B ．己知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
13
C ．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
13
D ．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
58
12．已知正数a ，b 满足等式，则下列不等式中可能成立的有（ ）
2
2(2ln ln )a b b a -=-A ． B ． C ． D ．2
12a b >>
2
12
a b <<1a b >>1b a <<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数为奇函数，则______________．22
,
(),
x x x f x ax x x ⎧-+>=⎨+<⎩a =14．的展开式中的系数为_____________（用数字作答）．
6
()()x y x y +-3
4
x y 15
，则______________．
1=cos 3x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭16．设A ，B 是平面直角坐标系中关于y 轴对称的两点，且．若存在，使得与||2OA = ,m n R ∈m AB OA +
垂直，且，则的最小值为________________．n AB OB +
|()()|2mAB OA n AB OB +-+= ||AB 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）己知等差数列的各项均为正数．若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为
{}n a ，且，中任何两个数都不在同一行．
123,,a a a 123,,a a a 第一列
第二列第三列第一行4511第二行3109第三行
8
7
6
（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前n 项和为．求证：．
()()
116
15n n n b a a +=
++{}n b n T 34n T <18．（12分）如图，在
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC △已知．
()cos cos cos 0b c A a B a C +--=
（1）求角A ；
（2）若D 为线段延长线上一点，且，求．
BC ,34
CAD BD CD π
∠=
=tan ACB ∠19．（12分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，D 为
111ABC A B C -11ACC A AB AC ⊥2AB AC ==的中点，
11B C
11AA B C ==（1）证明：平面；
1AC ∥1A BD （2）求平面与平面所成的夹角的余弦值．
1AB C 1AA D 20．（12分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号1的次数为X ．（1）当时，求；
6n =(2)P X ≤（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量y ，若其数学期望和方差均存布，则对任意正实
()E Y ()D Y 数a ，有．根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估2
()
(|()|)1D Y P Y E Y a a
-<≥-
|()|Y E Y a -<计．为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值．98%21．（12分）设抛物线，过点P 的直线分别与抛物线相切于A ，B 两点，且点A 在x 轴下方，2
2y x =,PA PB 点B 在x 轴上方．
（1）当点P 的坐标为时，求；
(1,2)--||AB （2）点C 在抛物线上，且在x 轴下方，直线交x 轴于点N ．直线交x 轴于点M ，且
BC AB ，若的重心在x 轴上，求
的最大值．
4||3||AM BM <ABC △ABC
BMN
S S △△22．（12分）已知函数．
1()x e f x x
-=（1）讨论的单调性；
()f x （2）设a ，b 是两个不相等的正数，且，证明：．
ln ln a b b a +=+ln 2a b ab ++>
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
题号12345678答案
B
D
C
B
A
B
C
A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号9101112答案
AC
AD
BC
AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1
14．
15．
16．5-1
2
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解答：（1）由题可得1233,7,11a a a ===故(
)
34(1)41n a n n n N *
=+-=-∈（2）且，
()()
116
15n n n b a a +=
++41n a n =-故161
4(4415)(2)
n b n n n n =
=
+-++．11122n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
∴11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=
-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭
．3111342124
n n ⎛⎫=
-+< ⎪++⎝⎭18．解：（1）由条件及正弦定理可得
(sin sin )cos sin cos sin cos 0
B C A A B A C +--=即sin cos cos sin sin cos cos sin 0B A B A C A C A -+-=故sin()sin()0B A C A -+-=则有sin()sin()B A A C -=-又(,),(,)B A C A ππππ-∈--∈-故有，
B A A
C -=-或（舍去），()()B A A C π-+-=或（舍去）．()()B A A C π-+-=-则，又2B C A +=A B C π++=所以．
3
A π
=
（2）设，在和中，由正弦定理可得
ACB α∠=ABD △ACD △，2sin sin 343BD AD πππα=
⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
sin()sin
4CD AD
ππα=
-∴
2sin sin()3sin sin 434BD CD παπαπππ⎛⎫
⋅- ⎪
⋅-⎝⎭=⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
∴
3sin
sin()4
2sin sin 343
π
παπππα-
=
⎛⎫
⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=∴tan 9α=--
19．解：（1）连接交于点O ，连接11,AB A B OD
∵为三棱柱
111ABC A B C -∴为平行四边形，点O 为的中点11ABB A 1AB 又∵D 为的中点11B C ∴1AC OD
∥又∵平面，平面OD ⊂1A BD 1AC ⊄1A BD ∴平面．1AC ∥1A BD （2）解法1：
∵11CA AB
CA AA AB AA A
⊥⊥= ∴面 CA ⊥11ABB A ∵面1 AB ⊂11ABB A ∴1CA AB ⊥
∴12
AB =
==
∵112,2,AB AB BB ===∴,即2
2
2
11AB AB BB +=1
AB AB ⊥
以A 为坐标原点，分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系，
1,,AB AB AC 111(0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,2),(1,2,1)
A A
B B
C
D ---∴,1(2,2,0)AA =- 1(1,0,1)
A D =
∵,,1AB AB ⊥AB AC ⊥1AB AC A
= ∴面，即平面的一个法向量为AB ⊥1AB C 1AB C 1(1,0,0)
n =
设平面的法向量为，则即1AA D 2(,,)n x y z = 121200AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
220
x y x z -+=⎧⎨+=⎩令21,1,1(1,1,1)
x y z n ===-∴=-
设平面与平面所成夹角为，
1AB C 1AA D θ
∴1212cos n n n n θ⋅====⋅
∴平面与平面
．1AB C 1AA
D 解法2：设点
E 为的中点，点
F 为的中点，
BC AC 连接交于点Q ，连接，DE 1B C ,,AE AQ EF 设点P 为的中点，连接．AQ ,EP FP ∵点E 为的中点，点D 为的中点BC 11B C ∴
且，点Q 为的中点1EQ BB ∥11
2
EQ BB =
=1B C ∵为矩形，∴11ACC A 1
AC AA ⊥又∵，∴平面1,AC AB AB AA A ⊥= AC ⊥11ABB A ∴1
AC AB ⊥
∴在中，1ACB △11,2,AC AB AC B C ⊥==12AB =
∴为等腰直角三角形，其中1AB C △112,AC AB B C ===
而点Q 为的中点，∴且1B C 1AQ B C ⊥AQ =∵点P 为的中点，点F 为的中点
AQ AC
∴且1FP B C ∥11124FP CQ B C ===∴FP AQ
⊥又∵在中，，点E 为的中点Rt ABC △2AB AC ==BC
∴AE =
∴在中，，且点P 为的中点
AEQ △AE EQ AQ ===AQ
∴且EP AQ ⊥EP =
∴即为平面与平面所成的夹角EPF ∠1AB C 1AA D
∴在中，EFP △11,2EF AB FP EP =
===
∴222cos 2EP FP EF EPF EP FP +-∠=
=⋅20．解：（1）由已知，
16,2X B ⎛
⎫~ ⎪⎝
⎭
所以(2)(0)(1)(2)
P X P X P X P X ≤==+=+=；652
4
126
66111111615112222264646432
C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⋅+⋅=++=
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭（2）由已知，所以，
1,2X B n ⎛⎫~ ⎪⎝
⎭
()0.5,()0.25E X n D X n ==若，则，即，0.40.6X
n
≤
≤0.40.6n X n ≤≤0.10.50.1n X n n -≤-≤即．
|0.5|0.1X n n -≤
由切比雪夫不等式，2
0.25(|0.5|0.1)1(0.1)n P X n n n -≤≥-要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则，98%20.2510.98(0.1)n n -
≥解得，所以估计信号发射次数n 的最小值为1250．
1250n ≥21．解：（1）令，
()()1122,,,A x y B x y ∵，∴，∴，∴22y x
=y =1y y
'=11PA k y =∴()111
1:PA l y y x x y -=
-又∵(1,2)P --∴()()1111111:2112
PA l y x y x y --=--⇔=-∴(
)111211
1122
2y x y y x ⎧=-⎪⇒=--⎨⎪=⎩同理可得
．
22y =-+∴
，
(
)1212122y y x x y y -=--=--=∴
||AB ===（2）令，由条件知．
()33,C x y 1230y y y ++=∴1sin 2111sin 2
ABC
BMN AB BC ABC S AB BC AM CN S BM BN BM BN BM BN ABC ⋅⋅⋅∠⎛⎫⎛⎫==⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅⋅⋅∠△△13131322222111y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+⋅=--=-+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭()211213112222222222y y y y y y y y y y y --⋅--=+=+=+22
11122219224y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∵，∴4||3||AM BM <12||3||4
AM y BM y -=<∴12
304y y -<<∴当时，取得最大值．1212y y =-ABC BMN S S △△9422．解：（1）证明：（1）的定义域为1()x e f x x
-=(,0)(0,)-∞+∞ ，令，得：．1
2(1)()x x e f x x
--'=()0f x '=1x =当x 变化时的关系如下表：
(),()f x f x 'x ()
,0-∞0()0,11()1,+∞()
f x '-\-0+()f x
在上单调递减；在上单调递增．
()f x (,0),(0,1)-∞(1,)+∞（2）证明：要证，
ln 2a b ab ++>只需证：(ln )(ln )2
a b b a +++>根据，只需证：ln ln a b b a +=+ln 1
b a +>不妨设，由得：；
a b <ln ln a b b a +=+ln ln a a b b -=-两边取指数，，化简得：ln ln a a b b e e --=a b
e e a b
=令：，则，根据（1
）得()x e g x x =1
()(),()()x e e g a g b g x ef x x
-⋅===在上单调递减；在上单调递增（如下图所示），
()g x (,0),(0,1)-∞(1,)+∞
由于在上单调递减，在上单调递增，要使且，则必有，()g x (0,1)(1,)+∞()()g a g b =a b ≠01,1a b <<>即01a b
<<<由得：．
01a b <<<1,1ln 1b a >->要证，只需证：，
ln 1b a +>1ln b a >-由于在上单调递增，要证：，
()g x (1,)+∞1ln b a >-只需证：，
()(1ln )g b g a >-又，只需证：，
()()g a g b =()(1ln )g a g a >-只需证：，1ln 1ln 1ln a a
e
e e a a a a ->=--只需证：，(1ln )a
e a e ->只需证：1ln 1a a e e
->只需证：，即证，1ln 10a a e e -->1ln 0a a e e
--->令1ln 1ln (),(01),(1)0,()x a x a x e x a e e e ϕϕϕ----=
-<<==-只需证：，
()0,(01)x x ϕ><<，111()x x x x
e ex x e ex ex e ex e ϕ--=-+'=-+=-⋅令，()x
h x e ex =-在上单调递减，
(1)0,()0,(01),()x h h x e e x h x ==-<'<<(0,1)所以，
()(1)0h x h >=所以()0x x e ex x ex e
ϕ-⋅'=-<所以在上单调递减，所以()x ϕ(0,1)()(1)0
x ϕϕ>=所以()0
a ϕ>所以：．ln 2a
b ab ++>。