巧解几何题妙用未知数1

活用未知数 巧解几何题
在初中阶段，除了几个特定的问题常用设未知数列方程的方法以外，其实还有很多题目类型可
以通过引入未知数，利用方程思想来解决。

特别是几何问题，学生由于受到定式思维的影响，很难意识到几何与方程之间的关系，从而更加难以从方程的角度切入解决几何问题。

因此，本文试举例探讨几类几何题利用未知数，根据几何性质建立等量关系列方程的解题思路和方法。

1 在等腰三角形中引入未知数
例1（2009年邵阳市中考题） 如图1-1，在梯形ABCD 中，CD AD AB ==,AB AC ⊥,将CB
延长至点F ，使CD BF =. (1) 求ABC ∠的度数；
(2) 求证：CAF ∆为等腰三角形.
图1-1 分析：从已知条件可以得到两个等腰三角形和一个等腰梯形，根据等边对等角的性质，我们不
难得到多个角度之间的数量关系，很容易想到从某一个角出发，依次得到各个角的度数，来得到题目所求角的度数。

但是，这个题目最大的困扰就是没有给出任何一个角的度数，也就是说我们没有一个出发点，那么这么多的数量关系也无法利用。

因此，我们可以引入未知数，设 x ABC =∠，以这个角为切入点根据数量关系依次得出所需角的表达式，再根据他们之间的等量关系列方程求解，即巧妙地突破了这个题目的难点。

解： (1)设 x ABC =∠
∵ AB AC ⊥ ∴ 90=∠CAB ∴ )90(x ABC CAB ACB -=∠-∠=∠
又∵ BC AD // ∴ )90(x ACB DAC -=∠=∠
∵ CD AD = ∴ )90(x DAC DCA -=∠=∠
∴ )2180()90()90(x x x ACB DCA DCB -=-+-=∠+∠=∠
∵ AB CD = ∴ ABC DCB ∠=∠
即
x x =-)2180( 解得 60=x
∴ 60=∠ABC
(2) 略
总结：本题利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，将线段间的相等关系转化为角度之间
的相等关系，然后选取题目所求角设未知数x ，其他各角均可用含x 的代数式表示出来，利用等腰梯形的性质寻求等量关系列方程，求得题目所求。

通过引入未知数，经过代换，列方程解决问题的方法是突破三角形问题最常见的技巧。

2 在勾股定理中引入未知数
F D C B
A
例2（人教版八年级数学教材第71页，综合运用第10题） 如图2-1，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到水池边的水面上，水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？
图2-1 图2-2
分析：如图2-1显然可知，当芦苇被拉至水池一边时，则刚好与池壁、池底围成一个直角三角形，为了方便解题，我们把这个直角三角形截出来，如图2-2。

此时，AC 的长即为水的深度，AB 的长即为芦苇的长度。

不难想到，我们需求的边长即为直角三角形的边长，可用勾股定理解决。

但是有一个困惑，勾股定理可以计算一个未知量的大小，但是在直角三角形中两条边都未知的情况下如何来解决呢？这是我们可以考虑引入未知数，利用一个未知数来表示两个未知量，再利用勾股定理列方程即可突破本题的难点。

解：不妨设x BC =尺，即水的深度为x 尺；
由题意知，芦苇的高度比水的深度多出一尺，即)1(+=x AB 尺
有勾股定理得：2
22AB BC AC =+
即 222)1(5+=+x x 解得12=x
∴ 12=BC 尺，13=AB 尺
答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺。

总结：通常勾股定理的三个量中已知两个量可求第三个量，若仅知一个量而两个量未知则不可直接求出，因此我们可以考虑引入一个未知数，通过两边关系用x 的代数式将未知的两条边表示出来，利用勾股定理列方程从而求所得。

这个策略方法可以应用出勾股定理的多个问题中，总之条件不够，未知数来凑。

3 在三角函数中引入未知数
例3(2012年珠海市中考题) 如图3-1，水渠边有一棵大木瓜
树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A 、B(不计大小)，树干垂直
于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O 处于同一水平面的C
处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°。

求C 处到
树干DO 的距离CO.(结果精确到1米，参考数据：73.13≈，41.12≈)
分析：此类题型是非常典型的解直角三角形的应用题，此题中唯一的已知边是AB=2，而由于知识能力的原因，我的的初中生
解决三角函数问题只能在直角三角形中解决，而已知边AB 却不是直角三角形的边，换言之，我们真正需要用到的直角三角形中没有已知边，那么很明显，此题我们去烧条件，很难直接切入。

因此，我们必须自己创设一个切入
C B A C O
D A B 图3-1
点，不妨引入未知数，设所求x CO =米，利用三角函数分别表示出AO 和BO 的长，在利用等量关系DO AO AB -=列方程求解，此题便水到渠成。

解：不妨设x CO =米
在AOC RT ∆中，∵ 45=∠ACO
∴x CO AO ==米
在BOC RT ∆中，∵ 30=∠BCO
∴CO BO BCO =
∠tan , 即x BO =33， 解得x BO 33=米 而 DO AO AB -=
∴ x x 3
32-= 解得33+=x ， 即7.40≈C 米 总结：在解直角三角形时，我们通常会遇到由于知识水平不够而造成条件不可直接用，以致缺乏切入点，此时我们往往可以通过引入未知数来求寻求切入点，通过题意将各个所需量表达出来列方程求解即可。

这种方法也是解直角三角形最为常见的技巧之一。

4 内切圆问题中引入未知数
例4(人教版九年级数学上册第97页例2) 如图4-1，ABC ∆的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB=9cm ，BC=14cm ，CA=13cm ，求AF ，BD ，CE 的长.
分析：此题不难想到利用切线长定理解决问题，但是由切线长定理不可直接求得某条线段的长度，而只能得到三组相等的线段，结合已知条件又可得到三组等量关系，于是我们此时引入未知数，利用得到的等量关系列出方程组，即可轻松解决这个问题。

解：设cm x AF =，cm y BD =，cm z CE =
由切线长定理可知：
cm x AF AE ==
cm y BD BF == cm z CE CD ==
∴ 可列方程组： 图4-1
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+13149z x z y y x 解得⎪⎩
⎪⎨⎧===954z y x
∴cm AF 4=，cm BD 5=，cm CE 9=
总结：内切圆问题中，往往会出现多组切线，因此可利用切线长定理可得多组相等的线段，如果我们解决这类题型能够适时引入未知数，利用方程思想来解决问题也是一个不错的选择。

5 动点问题中引入未知数
例5(2010年重庆市潼南中考试题) 已知：如图5-1，一次函数121+=
x y 的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数c bx x y ++=221的图像与一次函数12
1+=x y 的图像交于B 、C 两点，O F E
C B A
与x 轴交于D 、E 两点且点D 坐标为（1，0）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC 的面积S
（3）点P 是x 轴上一动点，当点P 运动到何位置时，使得PBC ∆是以P 为直角顶点的直角三角形？求出此时点P 的坐标？
分析：本题的第（3）小题是典型的动点几何题，
而动点问题最大的困难在于图形是变化的，线段的长
度、图形的形状都会随着动点的变化而变化，所以我
们不能用常规的计算方法得出结果。

解决这类题目，
我们就要抓住一个关键：设未知数。

因为未知数是
可以表示任意数，因此就可以借助这个静态字母表
示一个动态几何量，则恰好突破的这个难点。

解：（1）略， 二次函数的解析式为12
3212+-=x x y ； （2）略，四边形BDEC 的面积S 为2
9； （3）设点P 的坐标为(m ,0)
则221x BP +=，2024222=+=BC ，2
22)4(3m PC -+= 当PBC ∆是以P 为直角顶点的直角三角形时，
则 BC PC BP =+22
所以列方程得： 20])4(3[)1(2
22=-+++m x
解得： 11=m ，32=m
∴ 点P 的坐标为(1,0)或(3,0)
总结：解决动点问题最大的困难就在一个“动”字，因为我们的学生的数学解题思维是建立在静态问题上的，所以一旦图形动起来，学生无法入手，找不到方向。

因此，要解决这个问题就要求学生能够将动点问题静态处理，所以抓住关键，设未知数，通过集合性质得到等量关系，列方程解决。

以上几个例题，是在教学过程中遇到的几个引入未知数，利用方程思想来解决的典型例题，把几何问题中某个量设为未知数，利用题设条件、几何定义、定理与有关性质，建立等量关系，列出有关方程或方程组的代数法来求解，这种解题策略而使用得当往往可以减少很多繁琐的几何证明，使思路更加清晰明了，解题更加简便。

因此，在教学时可以适当培养学生在几何题中建立方程模型的思维能力，灵活学生的解题技巧，从而提升学生学习数学的综素养与思维能力。

【参考文献】
[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书·数学.北京：人民教育出版社，2009,3
[2]严慧主编.数学中考专题突破.广州：广东省出版集团，广东人民出版社，2012年11月
[3]海楠.列方程解初中几何题举例.中学生数学，2010,12
[4]王爱民.用列方程的方法解几何题.冀东学刊，1997,6
[5]朱昌宝.构造一元二次方程解几何题.语数外学习（九年级），2007,2。