人教版九年级数学下册《余弦、正切》提升训练

《余弦、正切》提升训练
1.[2017黑龙江绥化中考]某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )
A.3.5sin29°米
B.3.5cos29°米
C.3.5tan29°米
D.
3.5
cos29︒
米
2.[2018湖北武汉二中课时作业]如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD 是⊙A的一条弦，则cos∠O BD=( )
A.1
2
B.
3
4
C.
4
5
D.
3
4
3.[2018山东济南外国语学校课时作业]如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点E反射到点B，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=3，BD=6，CD=12，则tanα的值为( )
A.3
5
B.
4
3
C.
4
5
D.
3
4
4.[2018陕西西安交大附中课时作业]如图，在△ABC中，∠B=90。

，tanC=3
4
，AB=6cm.
动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发(若其中一点到达终点，
则停止运动)，在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )
A.18cm2
B.12cm2
C.9cm2
D.3cm2
5.[2018安徽合肥三十八中课时作业]如图，在Rt△A BC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=α，AC=4，那么BD=____.(用含α的式子表示).
6.[2018四川成都七中课时作业]如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、
C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是____.
7.[2018山西大同六中课时作业]如图，在△A BC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB
上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE=6，cosA=3
5
.
(1)求CD的长；
求tan∠DBC的值.
8.[2018广东实验中学课时作业]如图，已知正方形ABCD中，BC=3，点E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF=BE，连接AE，AF，DE.
(1)求证：△ADF≌△ABE;
(2)若BE=1，求tan∠AED的值.
参考答案
1.A 【解析】在Rt△ABC 中，sin∠ACB= AB
BC
，∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°米，故选A.
2.C 【解析】连接DC ，∵∠DOC=90°，∴CD 是⊙A 的直径，在Rt△COD 中，DO=3，CO=4，由勾股定理，得CD=5，∵在同圆中，同弧所对应的圆心角相同，∴∠OBD=∠OCD，∴cos ∠OB D=cos ∠OCD =
OC DC = 4
5
.故选C 3.B 【解析】由题意得∠CEA=∠DEB=90°－α，易知Rt△ACE∽Rt△BDE，则=
AC CE
BD DE
，即
3612=
-CE CE ，解得CE=4，∵∠A=α，∴tan α=tanA= CE AC = 4
3
.故选B. 4.C 【解析】设运动时间为ts ，则AP=tcm ，PB=(6－t)cm ，BQ=2tcm ，∵tanC= 3
4
=AB BC ，AB=6cm ，∴BC=8cm ，∴0≤t≤4，S △PBQ =
1
2
PB×BQ=t (6－t)=－t 2＋6t=－(t －3)2＋9(0≤t≤4)，∴当t=3时，△PBQ 的面积最大，最大面积为9cm 2.故选C.
5.4sinatana 【解析】在Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，所以∠B CD ＋∠A CD=90°，∠A ＋∠ACD=90°，所以∠BCD =∠A=a ：.因为sina=CD
AC
，所以CD=ACsina=4sina ：，因为tan∠BCD=
BD
CD
，所以BD=CDtan∠BCD=4sinatana. 6.2【解析】如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则E 为CD 的中点，且CD=2BE=2DE.易知△A CP ∽△BDP，∴CP：DP=AC ：BD=3：1，∴CP=3DP ，∴CD=4DP=4EP ，∴BE=2EP ，tan ∠APD=tan ∠EPB=
BE
EP
=2.
7.【解析】(1)在Rt △ADE 中，因为AE=6，cosA=35，所以AD=cos AE
A
=10，由勾股定理，
得22-=DE AD AE 22106-因为DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，所以由角平分线的性质，得CD=DE=8.
(2)由(1)得AC=18，因为cosA=AC
AB
=
3
5
，所以AB=30，由勾股定理，得BC=22
-
AB AC
=22
3018
-=24，所以tan∠DBC=
81
243
==
CD
BC
.
8.【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，∴∠ADF=∠A BE=90°.
在△ADF与△ABE中，ABE
DF
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∠∠
AD AB
ADF
BE
，∴△A DF≌△A BE.
(2)如图，过点A作AH⊥DE于点H，在Rt△A BE中，∵AB=BC=3，BE=1，
∴AE=22
+
AB BE=10.
在Rt△CDE中，∴CD=3，CE=4，∴ED=22
+
CD CE=5.
∴S
△A ED
=
1
2
AD×BA=
1
2
ED×AH，∴
1
2
×3×3=
1
2
×5×AH，∴
1
2
×3×3=
1
2
×5×AH，解得AH=
9
5
，在Rt△AHE中，∵AE=10，AH=
9
5
，∴EH=22
-
AE AH=
13
5
，
∴
9
9
5
tan
1313
5
===
∠
AH
AED
EH
.
名师点睛：由于所求正切值中的角不是在现有的直角三角形中，因此需要过这个角的一边上的点作另一边的垂线构造直角三角形，再利用正切的定义进行求解.。