秦淮区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

秦淮区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知在△ABC 中，a=
，b=
，B=60°，那么角C 等于（ ）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
2． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A ．80 B ．40 C ．60 D ．20
3． 已知圆C ：x 2+y 2
﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ） A ．一定相离 B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心
4．
=（ ）
A ．﹣i
B ．i
C ．1+i
D ．1﹣i
5． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． “x ＞0”是“
＞0”成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．非充分非必要条件
D ．充要条件
7． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π10
8． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，4 9． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
10．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（）
A．45 B．90 C．120 D．360
11．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（）
A．B．﹣C．4 D．
二、填空题
13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB=．
14．若与共线，则y=．
15．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
16．已知向量、满足，则|+|=．
17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，
且θ∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为．
18．圆心在原点且与直线2
x y
+=相切的圆的方程为_____ .
【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.
三、解答题
19．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式
（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
20．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，
（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．
21．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC的面积．
22．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面
ABC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．
23．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．
（Ⅰ）求曲线r的方程；
（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，
（ⅰ）求证：直线CD过定点；
（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．
阿啊阿
24．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S2=4，且a2，a5，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）从数列{a n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n}，记该数列的前n项和为T n，求T n的表达式．
秦淮区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=，
∴sinA==×=，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°，
故选：D．
2．【答案】B
【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，
∴三年级要抽取的学生是×200=40，
故选：B．
【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．
3．【答案】C
【解析】
【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，
∴圆心C（1，0），半径r=，
∵≥＞1，
∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，
∴直线l与圆相交且一定不过圆心．
故选C
4．【答案】B
【解析】解：===i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
5．【答案】B
【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
6．【答案】A
【解析】解：当x＞0时，x2＞0，则＞0
∴“x＞0”是“＞0”成立的充分条件；
但＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立
∴“x＞0”不是“＞0”成立的必要条件；
故“x＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；
故选A
【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
7．【答案】B
【解析】
考点：球与几何体
8．【答案】C
【解析】
考点：茎叶图，频率分布直方图．
9．【答案】D
【解析】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
10．【答案】B
【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，
故选：B．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．12．【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，
∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），
∵x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1
∴f（log3）═﹣
故选：B
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．14．【答案】﹣6．
【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．
15．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】正方体中，BC中点为E，CD中点为F，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
16．【答案】5．
【解析】解：∵=（1，0）+（2，4）=（3，4）．
∴==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
17．【答案】[，﹣1]．
【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴=0，
即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，
故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，
cos2α==2﹣，
故cosα=，
而|AF|=，
|AB|==2c，
而sinθ=
==，
∵θ∈[，]，
∴sinθ∈[，]，
∴≤≤，
∴≤+≤，
∴，
即，
解得，≤e ≤﹣1；
故答案为：[
，
﹣1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
18．【答案】222x y +=
【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线2x y +=的距离，所以
r d ==
=222x y +=. 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设a 1=a ，由题意可得，
解得，或
，
当时，a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1
；
当
时，a n =（2n+79），b n =9•
；
（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1
，
∴c n =
=，
∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•，
∴T n =1•+3•+5•+7•+…+（2n ﹣3）•
+（2n ﹣1）•，
∴T n =2++++
+…+
﹣（2n ﹣1）•
=3﹣
，
∴T n =6﹣
．
20．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=2S n+1①
得a n=2S n﹣1+1②，
①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），
∴a n+1=3a n（n≥2）
又a2=3，a1=1也满足上式，
∴a n=3n﹣1；
b5﹣b3=2d=6∴d=3
∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；
（2），
∴对n∈N*恒成立，
∴对n∈N*恒成立，
令，，
当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，
，
所以实数k的取值范围是
【点评】已知数列的项与前n项和间的递推关系求数列的通项，一般通过仿写作差的方法得到数列的递推关系，再据递推关系选择合适的求通项方法．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，
又∵B为锐角，
∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
∴a2+c2﹣ac=36，
∵a+c=8，
∴ac=，
∴S△ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，
∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，
故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，
∴，
，
设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，
∴，取x=1，则，于是，
∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），
设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
23．【答案】
【解析】满分（13分）．
解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，
∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）
∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）
∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．
由y=，得．
∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）
又PC过点C，y C=，
∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，
∴y C+1=，即．…（6分）
同理，
∴直线CD的方程为，…（7分）
∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，
得x1=1，直线CD的方程为．
设l：y+1=k（x﹣1），
与方程联立，求得x Q=．…（9分）
设A（x A，y A），B（x B，y B）．
联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得
x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得
x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）
∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，
∴+=|PQ|
=
=…（11分）
=
=，
∴+为定值，定值为2．…（13分）
【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得：，解得．
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
即a n=2n﹣1；
（Ⅱ）由已知得，．
∴T n=b1+b2+…+b n=（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n+1﹣1）
=（22+23+…+2n+1）﹣n=．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和的求法，考查了化归与转化思想方法，是中档题．。