广西省北海市某中学2019-2020学年高一第一次月考数学试卷

高一数学
（试卷总分150分，用时120分钟）
一、选择题(共60分，每小题5分).
1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合)(B A C U 的元素个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ． 4
2．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A ．y ＝x －2
B ．y ＝x －1
C ．y ＝x 2
D ．3
1
x y = 3．函数y ＝1log 2(x －2)
的定义域是( ) A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)
4．给出下列说法：
①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，直线b ⊂α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3D.4
5．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )
6．已知,54.3log 2=a ,56.3log 4=b 0.3log 351⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则( )
A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．a >c >b
D ．c >a >b
7．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
8．函数f (x )＝4x ＋12
x 的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称
9．函数f (x )＝|x |＋k 有两个零点，则( )
A ．k ＝0
B ．
k ＞0C ．0≤k ＜1D ．k ＜0 10．已知函数x x f x 2log 31)(-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )
A ．恒为正值
B ．等于0
C ．恒为负值
D ．不大于0
11．设函数⎩
⎨⎧>≤++=0,20,)(2x x c bx x x f ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程 f (x )＝x 的解的个数是( )
A
．1B ．2C ．3D ． 4 12．函数f (x )＝ax 5－bx ＋1，若f (lg(log 510))＝5，则f (lg(lg5))的值为( )
A ．－3
B ．5
C ．－5
D ．－9 二．填空题(共20分，每小题5分).
13．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；
③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .
其中正确的说法是________(填序号)．
14. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM ∥平面DE ；②CN ∥平面AF ；
③平面BDM ∥平面AFN ；④平面BDE ∥平面NCF .
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
15．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.
16.已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．
三．解答题(共70分)
17．(本小题满分10分)求值：
(1).)5.1(833)6.9(4122
32021--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)4log 3log 5log 21log 231425--⋅＋5l o g 52. 18. (本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC ∥AD ，E 为侧棱PD 的中点，且BC ＝2，AD ＝4.求证：CE ∥平面P AB .
19．(本小题满分12分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)过
点(－2,9)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围.
20．(本小题满分12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间.
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．
(1)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f(x)≥g(x)中x的取值范围．
22.(本小题满分12分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.
（答案）
一、选择题
1．【答案】C2．【答案】A3．【答案】C
4．解析：选A对于①，虽然直线l与平面α内的无数条直线平行，但l可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以错误；对于②，因为直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以错误；对于③，因为直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于平面α，所以错误；对于④，因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a ∥α，所以a与平面α内的无数条直线平行，所以正确．综上，正确说法的个数为1.
5．【答案】D[法一(排除法)：当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除A.由于y＝x a递增较慢，所以选D.
法二(直接法)：幂函数f(x)＝x a的图象不过(0,1)点，故A错；B项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B错，D对；C项中由对数函数f(x)＝log a x的图象知a>1，而此时幂函数f(x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．]
6．【答案】C[c＝5log3
10
3
，只需比较log23.4，log43.6，log3
10
3的大小，又
0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log310
3>1，所以a>c>b.]
7．解析：选D在A图中：分别连接PS，QR，则PS∥QR，
∴P，Q，R，S共面．
在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四
点共面．在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面．在D图中：PS与RQ为异面直线，∴P，Q，R，S四点不共面．故选D. 8．【答案】D[易知f(x)的定义域为R，关于原点对称．
∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x
2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．] 9．【答案】D [在同一平面直角坐标系中画出y 1＝|x |和y 2＝－k 的图象，如图所示．若f (x )有两个零点，则必有－k ＞0，即k ＜0.
10．【答案】A [∵函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，
且f (x 0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，均有f (x )>0，
而0<x 1<x 0，∴f (x 1)>0.]
11．【答案】C [因为f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，
所以⎩⎨⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧ b ＝4，c ＝2.所以f (x )＝⎩
⎨⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0. 当x >0时，方程为x ＝2，此时方程f (x )＝x 只有1个解；
当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2，此时方程f (x )＝x 有2个解．所以方程f (x )＝x 共有3个解．]
12．【答案】A [lg(log 510)＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1lg 5＝－lg(lg5)， 设t ＝lg(lg5)，则f (lg(log 510))＝f (－t )＝5.因为f (x )＝ax 5－bx ＋1，
所以f (－t )＝－at 5＋bt ＋1＝5，则f (t )＝at 5－bt ＋1，
两式相加得f (t )＋5＝2，则f (t )＝2－5＝－3，即f (lg(lg5)的值为－3.]
13．答案：①；解析：由公理4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a ⊂平面α，b ⊂平面β时，a 与b 可能平行、相交或异面，故③不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
14.答案：①②③④解析：以ABCD 为下底面还原正方体，
如图．则易判定四个命题都是正确的．
15．【答案】(－1,3) [∵f (x )是偶函数，
∴其图象关于y 轴对称．
又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，
则f (x )的大致图象如图所示，
由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.]
16．【答案】⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，83 [当a ＞1时，f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数，由于f(x)
＞1恒成立，所以f(x)min ＝log a (8－2a)＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f(x)＝log a (8
－ax)在[1,2]上是增函数，由于f(x)＞1恒成立，所以f(x)min ＝log a (8－a)＞1，即a
＞4，且8－2a ＞0，a ＜4，显然这样的a 不存在．故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，83.] 17．(本小题满分10分)求值：
【答案】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫232＝32－1－49＋49＝12.
(2)原式＝－14＋1－2＋2＝34.
18(本小题满分12分).如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯
形，BC ∥AD ，E 为侧棱PD 的中点，且BC ＝2，AD ＝4.求证：CE
∥平面P AB .
证明：取AD 的中点O ，连接OC ，OE .∵E 为侧棱PD 的中点，∴OE ∥P A ， ∵OE ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴OE ∥平面P AB .
∵BC ＝2，AD ＝4，BC ∥AD ∴四边形ABCO 为平行四边形，∴OC
∥AB ，∵OC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴OC ∥平面P AB .
∵OC ∩OE ＝O ，∴平面OCE ∥平面P AB .∵CE ⊂平面OCE ，∴CE ∥平面P AB .
18．(本小题满分12分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)过点(－2,9)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)将点(－2,9)代入f (x )＝a x (a >0，a ≠1)得a －2
＝9，解得a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
.
(2)∵f (2m －1)－f (m ＋3)<0，∴f (2m －1)<f (m ＋3)．∵f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
为减函数， ∴2m －1>m ＋3，解得m >4，∴实数m 的取值范围为(4，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1.
(1)求f (x )的解析式；
(2)作出函数f (x )的图象(不用列表)，并指出它的增区间.
【答案】 (1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1.又因为函数f (x )是奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＋1.
当x ＝0时，由f (0)＝－f (0)，得f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－x －1，x >0，0，x ＝0，
－x 2－x ＋1，x <0.
(2)作出函数图象，如图所示．
由函数图象易得函数的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log (3－x )(a ＞0且a ≠1)．
(1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；
(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．
【答案】(1)由⎩
⎨⎧
x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3，∴函数h (x )的定义域为(1,3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*) ①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧ x －1≤3－x ，
x －1>0，
3－x >0，
解得1＜x ≤2. ②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎨⎧ x －1>0，
3－x >0，
x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.
综上，当0＜a ＜1时，原不等式解集为(1,2]；当a ＞1时，原不等式解集为[2,3)．
22.(本小题满分12分)在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面ABCD 是菱形且AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，试求AA 1.
解：连接CD 1，AC ，由题意得四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ，
所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A 1B ∥CD 1，
所以∠AD 1C (或其补角)为A 1B 和AD 1所成的角，
因为异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，所以∠AD 1C ＝90°，
因为四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中AB ＝BC ＝23，所以△ACD 1是等腰直角三角形，
所以AD 1＝22AC .因为底面ABCD 是菱形且AB ＝BC ＝23，∠ABC ＝120°，
所以AC ＝23×sin60°×2＝6，∴AD 1＝22AC ＝32，
所以AA 1＝AD 21－A 1D 21＝()322－()232＝ 6.。