论文《数学思想在解中考压轴题中的应用》

数学思想在解中考压轴题中的应用
江西省宜丰县棠浦中学龚学文
一、初中数学思想的地位
《数学课程标准》在课程目标中明确指出：“通过义务教育的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。

由此可知，《数学课程标准》已把基本的数学方法作为学生必须掌握的基础知识来要求。

数学思想是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的思想和方法远比掌握一般的数学知识有用得多。

二、中考压轴题的解读
1：压轴题的概念
中考数学试题按题型分类是：一、选择题；二、填空题；
三、解答题。

在这三类题型中，思维难度稍大的题目一般都放在各类题型的最后一题，称为压轴题。

选择题和填空题中的压轴题，被称为小压轴题；解答题中的压轴题（一般是最后一题）叫做大压轴题，我们通常所说的压轴题就是大压轴题。

2：压轴题的特点
中考压轴题的设计，大都有以下共同特点：知识容量大、
能力要求同、解法灵活、思路难觅、突显数学思想方法的应用。

近年来各地的中考压轴题有：函数综合题、操作题、开放题、信息题、动态几何题、新定义题型、探索题、课题学习型等。

中考压轴题主要是为了考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其思维难度高，综合性强，往往都具有较强的选拔功能，它要求学生具有一定的创新意识和创造能力，是为了有效地区分数学尖子学生与一般学生的试题。

3：压轴题应对策略
针对中考数学压轴题的特点，在中考复习阶段，我们要狠抓基础知识的落实。

加大综合题的训练力度，加强解题方法的训练，加强数学思想方法的渗透，注重“基本模式”的积累与变化，调适学生心理，增强学生信心。

在求解中考压轴题时，重视一些数学思想方法的灵活应用，是解好压轴题的重要工具。

一要把好审题关。

审题不要怕慢，只要解题方向明确、解题手段合理，才能提高解题速度和保证解题准确性。

二要注意数学思想方法的运用，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化。

三要具有语言转换的能力、概念转换的能力、数形转换的能力。

下面就2010年部分中考压轴题为例，进一步理解和感受以下几种数学思想方法在解中考压轴题中的应用。

三、数学思想在解中考压轴题的应用举例
1：函数思想
是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

例1：[2010·德化]如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3。

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以
相同的速度
．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）。

时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
①当t=5
2
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

解：（1）设抛物线的函数解析式为：y=a（x-2）2+4，
∵抛物线过点O （0，0），∴a=-1，
∴函数解析式为：y=-（x-2）2
+4，即：y=-x 2
+4x 。

（2）①点P 不在直线ME 上。

理由是：由（1）可知E 为（4，0）， 则直线ME 的解析式为：y=-2x+8。

当52
t =时，P 的坐标为（55,22
），
∵552832
2
-⨯+=≠
∴点P 不在直线ME 上。

②依题意可知：P （t ，t ），N （t ，-t 2
+4t ）， 当0＜t ＜3时，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形是四边形
PNCD
，
依
题意
得
：
21
111
32(4)
2
22
2
P
C
D
P
N C S S S C D A
D P
N ∆∆
=
+=+
=⨯⨯+-+
-
22321
33()24
t t t =-++=--+。

∵抛物线的开口方向向下，∴当
3
321,032
2
4
t t ===
最大值且时，S 。

当t=3或0时，点P 、N 都重合，此时以P 、N 、C 、D
为顶点的多边形是三角形，依题意可得，11
2332
2
ABCD S S ==⨯⨯=矩形。

综上所述，以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积S 存在最大值214
.
思想方法解读：这道是将二次函数与平面几何相结合的函数综合题。

第（1）问根据求二次函数解析式的三种方式，在告诉顶点坐标的情况下，设抛物线的解析式为顶点式，再用待定系数法求得解析式。

体现了“函数思想”解决函数问题。

第（2）问的第1小问判断点P 是否在直线ME 上，判断一个点是否在某条线上，就是看这点的坐标是否是这条线解析式的解，是形“转化”为数的问题。

所以先根据M 、E 的坐标求出ME 的解析式，根据t 的值求出P 的坐标，再用“方程思想”判断点P 是否在直线ME 上。

第（2）问的第2小问一是判断是否S 有最大值，二是最大值是多少。

最大值自然会想到函数。

因为给了t 的取值范围，所以我们要用“分类思想”去分析t 取一般值时，以P 、N 、C 、D 为顶点的图形是什么？t 取特殊值时，以P 、N 、C 、D 为顶点的图形是什么？再分别表示出各种情况下的图形面积，最后比较得出结论。

2：分类讨论思想
分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性。

例2：[2010·福州]如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。

（1） 求证：;AH
EF
AD
BC
F
A E
H
Q D
P
图1
图2图3
（2） 设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？
并求其最大值；
（3） 当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1
个单位的速度沿QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式。

解：（1）∵四边形EFPQ 是矩形，
∴EF ∥PQ ， ∴△AEF ∽△ABC ，
又∵AD ⊥BC ， ∴AH ⊥EF ， ∴;AH
EF
AD
BC
= （2）由（1）得：.810
AH
x = 44.8.5
5
AH x EQ HD AD AH x ∴=∴==-=- ∴22
44488520555
EFPQ S EF
EQ x x x x x ==-=-+=--+矩形（）（）
∵45
-＜0，∴当x=5时，S 矩形EFPQ 有最大值，最大值是20。

（3）由（2）得，EF=5，EQ=4，∵∠C=45°，
∴△FPC 是等腰直角三角
形，
∴
PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9，
分三种情况讨论
①如图1：当0≤t ＜4时，设EF 、PF 分别交AC 于M 、N ，则△MFN 是等腰直角三角形，∴FN=MF=t 。

∴
2211
2020.22
Rt MFN EFPQ S S S t t ∆=-=-=-+矩形
②如图2:当4≤t ＜5时,则ME=5-t,QC=9-t. ∴()()1594428.2
EMCQ S S t t t ==-+-⨯=-+⎡⎤⎣⎦梯形
③如图3:当5≤t ≤9时,设EQ 交AC 于K,则KQ=QC=9-t, ∴()()221199.2
2
KQC S S t t ∆==-=-
综上所述:S 与t 的函数关系式为:
21
20.
2S t =-+ (0≤t ＜4)
428.S t =-+ (4≤t ＜5)
()2
19.2
S t =
- (5≤t ≤9)
思想方法解读：这道是一道平面几何与函数相结合的压轴题.
第(1)问是运用平行得到相似三角形,再根据相似三角形对应边上高的比等于相似比求得.此问用到了”转化思想”,即通过矩形得平行,由平行得相似,由相似得比例线段.
第(2)问先根据第(1)问结论表示线段AH、EQ。

再用面积公式得到S是x的一个二次函数关系式，再根据二次函数的性质求得S的最大值。

此问先用“数形结合思想”表示出EF、EQ的值，再用“函数思想”解决最大值问题。

第（3）问在弄清图形运动的特点和规律后，作出几种符合条件的草图，并抓信图形变化过程中的变量与不变量，然后根据重叠部分面积的不同形状来确定运动时t 分界点及取值范围，从而运用“分类讨论思想”求出面积S与t的函数关系式。

在求每个函数式时，又充分用到了“数形结合思想”。

在解动态题时，往往要用到“分类讨论思想”解决问题。

3：数形结合思想
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都要蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。

数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想。

例3：[2010·武汉]如图，抛物线2
12
y ax ax b
=-+经过点A
（-1，0），C（0，3
2
）两点，且与x轴的另一交点为点B。

（1）求抛物线解析式；
（2） 若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不
与B 重合），Q 在线段MB 上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x ，
2,y 求y 2关于x 的函数关系式，并且直接
写出自变量的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m ，x=n 分别与抛物线交于E 、G 两点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，在备用图中画出大致图象，问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由。

备用图
解：（1）由已知得： 20(1)2(1)32
a a b
b
=--∙-+= ∴ 1
2
32
a b =-=
∴2113;2
2
y x x =-++
（2）由（1）得抛物线顶点M 的坐标为（1，2）∴∠PBM=45°，
又∵∠MPQ=45°，易证△MBP ∽△MPQ ，得
2
,P M
Q M P M B M Q M
B M
P M
=⇒=
备用图
得2222215
(1)4,(03);222
x y y x x x -+==-+≤即
（3）存在，设点E 、G 是抛物线
213
22
y x x =-++
分别与直线x=m ，x=n 的交点， 则E 221313(,)G(,),2
2
22
m m m n n n -++-++、
同理
F 221515(,)(,),2222
m m m n n n -+-+、H
∴2221,21EF m m GH n n =-+=-+。

若四边形EFHG 为平行四边形，得EF=GH 。

即：22220(2)()0,m n m n m n m n --+=⇒+--=由m ≠n 得m+n=2 （0≤m ≤2，且m ≠1）
因此，四边形EFHG 可以是平行四边形， m 、n 之间的数量关系是：m+n=2 （0≤m ≤2，且m ≠1）
思想方法解读：这道题是一道以二次函数为主线综合
性很强的压轴题.
第（1）问直接代入A 、C 两点坐标便可求得。

第（2）问是关于动点问题，可以利用动中取静的方法求解；∠MPQ 与∠PBM 始终相等，△MPQ 与△MBP 始终相似。

灵活运用了“数形结合思想”。

第（3）问先尝试动手画草图，然后再根据自己画的图形，利用以往的知识求解，此问灵活运用“数形结合思想”和“转化思想”将点的坐标与相应的线段长互化，为建立相
应的函数关系或利用点的坐标解决几何问题提供条件。

4：方程思想
所谓方程思想就是从分析问题的数量入手，适当设定未知数，把已知量和未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。

方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要。

例4：[2010·苏州]刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、图②。

图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。

图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE 与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动。

在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：
F、C两点间的距离逐渐。

（填“不变”、“变大”
或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步研究，编制了如下问题：问题
①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C
的连线与AB平行？问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
C
A
F
E 图③
图②图①
解：（1）变小。

（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6， ∴AC=12。

∵∠FED=90°，∠DEF=45°，DE=4 ∴DF=4。

连结FC ，设FC ∥AB 。

∴∠FCD=∠A=30°， 在Rt △FDC 中，
DC= ∴
AD=AC-DC=12-
即AD=（
12-cm
时，FC ∥AB ；
问题②：设当AD=x ，在Rt △FDC 中，
2
22
2(12)16.
F C D C F D x =
+
=-+ （Ⅰ）当FC 为斜
边时，由
22222231
,6(12)16,.6
AD BC FC x x x +=+=-+=
得 （Ⅱ）当AD 为斜边时，
由22222249
,(12)166,86
FC BC AD x x x +=-++==得（不符合题意，
舍去）
（Ⅲ）当BC 为斜边时，由222222,(12)166,AD FC BC x x +=+-+=得 化简得：212620,x x -+=∴△=144-248＜0， ∴方程无解。

∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当316
x =时，以线段AD 、FC 、
BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形。

思想方法解读：这道题是一道操作实验为主线的压轴题。

第（1）问很直观就知道是“变小”。

第（2）问中的问题①我们不妨先作出FC∥AB的草图，由此知道∠FCA=∠A=30°，而FD=DE=4cm，利用Rt△FCD的特殊性得到CD=
所以AD=AC-CD=12-即AD=（12-时，
FC∥AB。

这一问的解答运用了“数形结合”的思想，只有根据题意画出草图，线段之间的数量关系便迎刃而解了。

问题②问以AD、FC、BC为三边的三角形是直角三角形，这里首先考虑的是，哪一边是斜边，所以自然就想到了“分类讨论思想”。

问AD多长时，我们可设出AD的长，这样就表示了CD的长、FC的长，再由勾股定理列出方程就可解决，这一问的解答我们充分用到了“方程思想”，方程有解且方程的解符合题意都可。

5：转化思想
转化思想是解数学问题的一种重要思维方法。

转化思想是分析问题和解决问题的一个基本思想，就解题本质而言，解题就意味着转化，即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“抽象”转化为“具体”，把“一般”转化为“特殊”，“特殊”化归为“一般”，把“高次”转化为“低次”等等。

例5：[2010·江西]课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。

实验与论证
设旋转角1011023456(),,,,A A B A A A ααθθθθ∠=∠所表示的角如
图所示。

B 2
A 2
B 1
1A 0
H
θ
α
α
α
α
θθθB 3
A 3H
B 4A 4
B 5
A 50
A 0
A 0
1
1
1
B 1B 1B 1
A 2
A 2A 2
B 2
B 2B 2
A 3
A 3
B 3
B 3A 4B 4H H 3
45
6
图4
图3
图2
图1
（1）用含α的式子表示角的度数：345,,;θθθ=
=
=
（2）图1-图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情
况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳与猜想
设正n 边形012
1n A A A A -与正n 边形0121n A B B B -重合（其中，
1A 与1B 重合）
，现将正n 边形0121n A B B B -绕顶点
A 0逆时针旋转
180(0
)n
αα。

（3）设n θ与上述“34,,θθ”的意义一样，请直接写出n θ的度数；
（4）试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？，若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由。

B 2
A 2
B 11
A 0
H
θα
3
图1
α
θB 3
A 3H
01
B 1
A 2
B 2
4
图2
解：（1）0060,,36.ααα--
（2）存在。

选图1。

图1中有直线021A H A B 垂直平分，证明如下：
证明：∵012012,A A A A B B ∆∆与是全等的等边三角形
∴0201,A A A B = ∵021012.A A B A B A ∠=∠ 又0020160.A A H A B H ∠=∠= ∴2112.HA B HB A ∠=∠
∴2121..A H B H H A B =∴点在线段的垂直平分线上 又∵0201021..A A A B A B =∴点A 在线段的垂直平分线上 ∴直线021A H A B 垂直平分。

选图2。

图2中有直线022,A H A B 垂直平分证明如下：
0202,A B A A = 022022.A B A A A B ∴∠=∠
又
002102345,A B B A A A ∠=∠=
2222.HB A HA B ∴∠=∠
22.HB HA ∴=
22.H A B ∴点在线段的垂直平分线上
020*******,.
.
A B A A A A B A H A B =∴∴又
点在线段的垂直平分线上直线垂直平分
（3）当n
为奇数时，0
180,n n
θα=- 当n 为偶数时，.n θα=
（4）存在。

当n 为奇数时，直线0112
2
.n n A H A B +-垂直平分
当n 为偶数时，直线02
2
.n n A H A B 垂直平分
思想方法解读：这是一道以探讨数学问题为素材的课题学习压轴题。

这种课题学习不仅仅是对某一数学问题进行全方位地探究，且包括这个问题的应用与拓展，其过程就是一个研究性的学习过程。

第（1）问利用“数形结合”的思想，结合“旋转”
性质便可求解。

第（2）问是探究是否存在性的问题。

假设存在，则
图1中是A 0H 垂直平分线段A 2B 1，图2中是A 0H 垂直平分线段A 2B 2，图3中是A 0H 垂直平分线段A 3B 2。

这时可结合正多边形的性质求证点A 0到线段两端点距离相等就可解决。

第（3）问、第（4）问是第（1）、（2）问的应用与
拓展，是从简单到特殊，从特殊到一般的数学问题，在整个研究过程中应会发现图形的对称性，会将图形简化，会结合图形的其他性质，灵活运用了分类、化归、转化等数学思想方法解决问题。

6：极限思想
极限思想是指用极限的概念分析和解决问题的一种
数学思想。

用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它完全有关的变量，确认这变量，通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用
C B
A
Q
P 图2
极限计算得到这结果。

例6：[2010·福建漳州]如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=8cm ，BC=2cm ，动点P 、Q 同时从A 点出发，点P 沿AB →BC →CD 的方向运动，速度为2cm/s ；点Q 沿线段AD 的方向运动，速度为1cm/s 。

当P 、Q 其中一点先到达终点D 时，另一点也随之停止运动。

设运动时间为t （s ），△APQ 的面积为S （cm 2
）。

（1）当点P 在线段AB 上运动时（如图1），S 与t 之间的函数关系式为：
，自变量t 的取值范围是 ； （2）当点P 在线段BC 上运动时（如图2），请直接写出t 的取值范围，并求S 与t 之间的函数关系式；
（3）试探究：点P 在整个．．运动过程中，当t 取何值时，S 的值最大？
C
B A P
C B
A Q
P C
B
A
Q
P
图3(备用)
图2
图1
解：（1）S 与t
之间的函数关系式为：2
2
S =，t 的取值
范围是0＜t ≤3。

（2）过点C 作CE ⊥AD 于点E ，如图2，则823,2
DE -==
∵CD=6，
C B
A
Q
P 图3(备用)
F ∴∠DCE=30°， ∴∠D=60°，
∴sin 6CE CD D === ∴133
3
3(34).2
S t t ==
≤≤ （3）当点P 在线段CD 上（不与D 点重合）时，4
≤t ＜7，过点P 作PF ⊥AD 于F ，如图3。

∵PD=14-2t ，
∴
23
sin (142)
371(32
PF PD D t t S t t ==-=-+=-+=
+
①∵当0＜t ≤3时，2
.2
S =
由函数图象可知，S 随t 的增大而增大， ∴当t=3
时，2S =最大
②∵当3≤t ≤4
时，,
S =
由函数图象可知，S 随t 的增大而增大， ∴当t=4时，S =最大
③∵当4≤t ＜7时，2.22
S =-
+ 由函数图象可知，S 随t 的增大而减小，
∴当t=4时，
S=
最大
综上所述，在整个运动过程中，当t=4时，S的值最大。

思想方法解读：这是一道动态几何综合题。

第（1）问由梯形各边的长及P、Q的运动速度可知，当P在AB上运动时，△APQ始终保持直角三角形，所以
2
S=，t的取值范围是0＜t≤3。

第（2）问是P点运动的第2阶段，起点是B，终点是C，这是极值问题由线段AB、BC的长和P点的运动速度可知：3≤t≤4，此时△APQ是变化的，S也是变化的，什么不变，AQ边上的高不变，这是解决此问的关键，此时结合图形和线段的值，运用“数形结合”的思想方法便可解决。

第（3）问探究P在整个运动过程中，S的最大值。

结合图形可知，P点的运动线路是折线，有三个阶段，Q点只在AD上运动，所以此问要用到“分类讨论”的思想方法，先把P点在三个阶段上S与t的函数关系式求出，再根据每个函数式中t的取值范围，用“极限”的思想方法求出S的最大值，最后通过比较得出结论。

整个试题围绕着“分类讨论”、“函数”、“极限”、“数形结合”的数学思想方法来解，这时我们应该掌握的。

由以上的试题可看出，在中考压轴题中所体现的数学思想方法并不是单一的，一般每道中考压轴题均综合体现了两
到三种不同的数学思想方法。

我们在求解压轴题时，一定要结合题型特征，注意一些常见的数学思想方法的灵活运用。

唯有掌握了数学思想方法，每个数学问题便可迎刃而解。

[参考文献]：1、《数学课程标准》；
2、《初中数学思想方法》
3、2011《中考数学新评价》（新课标）
4、2011《中考总复习导学》（数学）。