昌平数学二模试卷高三

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像的对称中心为（）
A. (0, -1)
B. (1, -1)
C. (-1, 1)
D. (1, 1)
2. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则向量a·b的值为（）
A. 5
B. -3
C. 0
D. 1
3. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 2n + 1，则数列{an}的项数n的取值范围是（）
A. n > 0
B. n ≥ 1
C. n > 1
D. n ≥ 2
4. 若等差数列{an}的前n项和为S_n，且a_1 = 2，S_5 = 30，则公差d的值为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5. 已知函数f(x) = log_2(x - 1) + x，若函数g(x) = f(x) + 1，则g(x)的图像在y轴的左侧（）
A. 与f(x)的图像重合
B. 位于f(x)的图像下方
C. 位于f(x)的图像上方
D. 与f(x)的图像平行
6. 设复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的取值范围是（）
A. 实部为0的复数
B. 虚部为0的复数
C. 实部和虚部均为0的复数
D. 实部和虚部均不为0的复数
7. 若等比数列{bn}的前n项和为S_n，且b_1 = 1，S_4 = 15，则公比q的值为（）
A. 1
B. 3
C. 1/3
D. -1
8. 若函数f(x) = x^2 + ax + b的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的坐标互为相反数，则a和b的关系为（）
A. a^2 = 4b
B. a^2 = -4b
C. a^2 = b
D. a^2 = -b
9. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）
A. √3/2
B. √2/2
C. 1/2
D. √6/4
10. 已知等差数列{an}和等比数列{bn}的公差和公比均为1，且a_1 = 1，b_1 = 1，则数列{an·bn}的第10项为（）
A. 2^10
B. 3^10
C. 4^10
D. 5^10
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
11. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 2的图像的顶点坐标为______。

12. 若向量a = (2, -3)，向量b = (3, 4)，则向量a + b的模长为______。

13. 数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列{an}的前10项和S_10为______。

14. 若函数f(x) = log_3(x + 1)的图像向右平移2个单位，得到的函数图像的解
析式为______。

15. 在△ABC中，若a = 5，b = 7，c = 8，则△ABC的面积S为______。

三、解答题（本大题共3小题，共40分）
16. （15分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交
点A、B，且A、B两点关于x = -1对称，若f(0) = 3，f(1) = 2，求函数f(x)的
解析式。

17. （15分）在平面直角坐标系中，已知点A(1, 2)，点B(4, 5)，点C(m, n)在
直线y = kx + b上，且△ABC的面积S = 3。

求直线y = kx + b的方程。

18. （10分）已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求证：数列{an}的前n项和S_n = n^2。