北京第80中学2019年高三数学文测试题含解析

北京第80中学2019年高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. l1、l2是空间两条直线，α是平面，以下结论正确的是（）
A．如果l1∥α，l2∥α，则一定有l1∥l2
B．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1⊥α
C．如果l1⊥l2，l2⊥α，则一定有l1∥α
D．如果l1⊥α，l2∥α，则一定有l1⊥l2
参考答案：
D
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：若l1∥α，l2∥α，则有l1∥l2或l1与l2相交或l1与l2异面，故A错误；如果l1⊥l2，l2⊥α，则有l1∥α或l1?α，故B、C错误；
如果l1⊥α，则l1垂直α内的所有直线，又l2∥α，则过l2与α相交的平面交α于a，则l2∥a，∴l1⊥l2，故D正确．
故选：D．
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算求出z，从而求出z的共轭复数即可．
【解答】解：∵，
∴z===1+i，
则z的共轭复数为1﹣i，
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算，考查共轭复数问题，是一道基础题．
3. F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线离心率是（）A．2 B．
C．3 D．
参考答案：
C
略
4. 函数的图像大致是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
5. 如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥
的四个面的面积中最大与最小之和是
A. B.
C. D.
参考答案：
B
6. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长分别为1与的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积等于
( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由题意，此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半，由圆锥的体积公式直接求解即可选出正确选项
解答：解：由题意，此几何体是一个底面半径为1，高为的圆锥沿其对称轴切开后的一半
故其体积是=
故选A
点评：本题考查简单几何体的三视图，此类题的关键是能由实物图得到正确的三视图或者由三视图可准确还原实物图
7. 已知a是函数f（x）＝的零点，若0<x0<a，则f（x0）的值满足（）
A．f（x0）＝0 B．f（x0）<0
C．f（x0）>0 D．f（x0）的符号不确定
参考答案：
B
略
8. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象
向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）
A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称
参考答案：
D
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单
位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．
【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为
y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，
故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）
=sin（2x﹣）关于直线x=对称，
故选：D．
9. 函数的定义域是
A. B. C. D.
参考答案：
D
10. 若是的重心，分别是角的对边，若
，则角（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，2sin2=sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则=．
参考答案：
【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．
【分析】利用2sin2=sinA，求出A，由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．
【解答】解：∵2sin2=sinA，
∴1﹣cosA=sinA，
∴sin（A+）=，
又0＜A＜π，所以A=．
由余弦定理，得a2=b2+c2+bc①，
将sin（B﹣C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，
所以将其角化边，得b?=3??c，即2b2﹣2c2=a2②，
将①代入②，得b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以c2，得﹣﹣3=0，③
解③得=，
所以=．
故答案为：．
12. 设数集M=｛x| m≤x≤m+｝， N=｛x|n－≤x≤n｝，且M 、N都是集合｛x|0≤x≤1｝的子集，如果把b－a叫作集合｛x| a≤x≤b｝的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是__________
参考答案：
__
略
13. 在△ABC中，若a=2,b+c=7,cos B=,则b= 。

参考答案：
4
因为若a=2,b+c=7,cos B=,所以由余弦定理得：
，解得b=4.
14. 已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．
参考答案：
﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；导数的概念及应用．
【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣a的图象上又在直线x﹣y+1=0上，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）
y'|x=m==1
解得，m=1
切点（1，n）在直线x﹣y+1=0上
∴n=2，
而切点（1，2）又在曲线y=lnx﹣a上
∴a=﹣2
故答案为﹣2．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
15. 已知函数的图象为C，关于函数f（x）及其图象的判断如下：
①图象C关于直线x=对称；
②图象C关于点对称；
③由y=3sin2x得图象向左平移个单位长度可以得到图象C；
④函数f（x）在区间（﹣）内是增函数；
⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为π．
其中正确的结论序号是．（把你认为正确的结论序号都填上）
参考答案：
②⑤
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析、判断，即可得出正确的命题序号．
【解答】解：函数，
对于①，f（）=3sin（2×+）=﹣不是最值，
∴f（x）的图象C不关于直线x=对称，①错误；
对于②，f（）=3sin（2×+）=0，
∴f（x）的图象C关于点对称，②正确；
对于③，由y=3sin2x的图象向左平移个单位长度，
得到y=3sin[2（x+）]=3sin（2x+）的图象，不是图象C，③错误；
对于④，x∈（﹣，）时，2x+∈（，），
∴函数f（x）=3sin（2x+）在区间（﹣）内不是增函数，④错误；
对于⑤，|f（x+π）+1|=|3sin（2x+2π+）+1|=|3sin（2x+）+1|=|f（x）+1|，∴|f（x）+1|的最小正周期为π，⑤正确．
综上，正确的结论序号是②⑤．
故答案为：②⑤．
【点评】本题考查了三角函数的图象和性质及其变换的应用问题，是综合性题目．16. 已知是定义域为R的奇函数，且满足，当时，
，则_______．
参考答案：
－0.25
【分析】
先由得到的最小正周期为2，再由函数为奇函数，结合题中解析式，即可求出结果.
【详解】因为满足，
所以，
因此的最小正周期为2；
又是定义域为的奇函数，当时，，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，熟记函数的奇偶性与周期性即可，属于常考题型.
17. 已知平面向量=（k，3），=（1，4），若⊥，则实数k= ．
参考答案：
﹣12
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由⊥，可得?=k+12=0，解出即可得出．
【解答】解：∵⊥，∴?=k+12=0，解得k=﹣12．
故答案为：﹣12．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在三棱锥中，底面, 为的中点,
.
（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离。

参考答案：
略
19. （13分）
射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，中两个飞靶得2分，中一个飞靶得1分，不中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，
第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运动员如进行2轮比赛，求：
（I）该运动员得4分的概率为多少；
（Ⅱ）该运动员得几分的概率为最大？并说明你的理由．
参考答案：
解析：（I）设运动员得4分的事件为A， --------------------------------------------------1分
P(A)=． -------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）设运动员得i分的事件为， ------------------------------------------------7分
，
，
，
∴运动员得2分的概率最大． ---------------------------------------------------------13分
20. 已知椭圆（a>b>0）的离心率为，右焦点为（，0）．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点且斜率为k的直线与椭圆交于点A（x l，y1）,B（x2，y2），若，求斜率k是的值．
参考答案：
略
21. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
参考答案：
(1)当0＜x≤100时，p＝60；
当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；
当100＜x≤600时，
y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
∴y＝
当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；
当100＜x≤600时，
y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.
显然6050＞2000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．
22. 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数 ,满足关系f( + )=f( )+f( )+2.
(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.
(3)若数列满足 =－ ,且对任意n∈N﹡有 =f(n),试求数列的前n项和
.
参考答案：
解析：(1)证明:在已知恒等式中令 = =0得f(0)=－2①又已知恒等式中令 =x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2
∴f(x)+f(－x)=－4 ②设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得
③
∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.④
注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.
(2)证明:设 ,为任意实数,且 < ,则－ >0∴由已知得f(－ )>－2⑤
注意到 =(－ )+由本题大前提中的恒等式得 f( )=f[(－ )+ ] =f(－ )+ f( )+2
∴f( )－f( )=f (－ )+2⑥又由⑤知f (－ )+2>0,∴由⑥得f( )－f( )>0,即f( )>f( ).
于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.
(3)解:∵a n=f(n),∴a1=f(1)=－ , a n+1=f(n+1)
又由已知恒等式中令 =n, =1得f(n+1)=f(n)+f(1)+2∴a n+1= a n+∴a n+1－
a n= (n∈N﹡)
由此可知,数列{ a n }是首项为 =－ ,公差为的等差数列.∴ =－ n+
×即 = (n2－11n).。