清华高等代数讲义(上)

f (β i ) = g(β i ) (i = 1,2,......, l + 1) ， 则 f (x) = g(x) 。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设 f (x) = a0 xn + a1xn−1 +L + an ， 其 中 ai ∈ K , a0 ≠ 0 。 设 f (x) = 0 的 复 根 为 α1,α2 ,L,αn （可能有重复），则
C 内必有一个根。
命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、m 次多项式
f (x) = a0 + a1x + ...... + an x n (an ≠ 0) ， g(x) = b0 + b1 x + ...... + bm x m (bm ≠ 0) ， 如果存在整整数 l , l ≥ m, l ≥ n ,及 l + 1个不同的复数 β1 , β 2 ,......, β l , β l+1 ，使得
数 a1, a2 ,......, an ，使
f (x) = a0 (x − α1 )(x − α 2 )......(x − α n )
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an−1 x + an = 0
第一学期第一次课
1.1.1 代数系统的概念
第一章 代数学的经典课题
§1 若干准备知识
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，
则称这样的一个体系为一个代数系统。
1.1.2 数域的定义
定义（数域） 设 K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数， 且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对 K 内任意两个数 a 、 b （ a 可以等 于 b ），必有 a ± b ∈ K，ab ∈ K，且当 b ≠ 0时，a / b ∈ K ，则称 K 为一个数域。 例 1.1 典型的数域举例： 复数域 C；实数域 R；有理数域 Q；Gauss 数域：Q (i) = { a + b i | a,b ∈Q}，其中 i = −1 。
m n
∈
K
。这就证明了
Q⊆
K
。证毕。
1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念
定义(集合的交、并、差) 设 S 是集合， A 与 B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的 交集，记作 A ∩ B ；把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集，记做 A ∪ B ；从集合 A 中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集， 记做 A \ B 。
证明 设线性方程组为
aa1112xx11
+ +
a12 x2 a22 x2
+L+ +L+
a1n xn a2n xn
= b1, = b2
,
......
am1x1 + am2 x2 +L + amn xn = bn.
（*）
经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**）
证毕。
5
1.3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换
定义（数域 K 上的矩阵） 给定数域 K 中的 mn 个元素 ai j（ i = 1,L, m ，j = 1,L, n ）。 把它们按一定次序排成一个 m 行 n 列的长方形表格

a11
a12
......
a1n

A
=
a21 ......
A
=

a11 a21
......
a12 a22
...... ...... ......
a1n a2n ......
b1 b2

.
am1 am2 ...... amn bn
称为方程组的增广矩阵。
定义(矩阵的初等变换) 对数域 K 上的矩阵的行（列）所作的如下变换
（1） 互换两行（列）的位置；
推论 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。
证明 因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在 C 内有奇数个根，故其中必有一
根为实数。
第一学期第三次课
§3 线性方程组
1.3.1 数域 K 上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。
定义（线性方程组的初等变换） 数域 K 上的线性方程组的如下三种变换

aij =
aij
i=1 j=1
j=1 i=1
事实上，最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：
a11 a12 ...... a1m
a21 a22 ...... a2m
......
...... ......
an1 an2 ...... anm
分别先按行和列求和，再求总和即可。
第一学期第二次课
在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像，记做 f ( A) ，即 f ( A) = {f (a) | a ∈ A}。
1
若 ∀a ≠ a'∈ A, 都有 f (a) ≠ f (a'), 则称 f 为单射。若 ∀b ∈ B, 都存在 a ∈ A ，使得 f (a) = b ，则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
（1） 互换两个方程的位置；
（2） 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素 c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍，这里 k ∈ K
的每一种都称为线性方程组的初等变换。
容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。
命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解
1.1.4 求和号与求积号
1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。
设给定某个数域 K 上 n 个数 a1, a2 ,L, an ，我们使用如下记号：
∑n
a1 + a2 + L + an = ai ,
i =1
n
∏ a1a2 Lan = ai . i =1
当然也可以写成
3
所以 我们记
∏ 1
a0
f (x) =
n i=1
(x −αi ) = (x −α1)(x −α2 )L(x −αn )
= xn − (α1 + α2 +L + αn )xn−1 +L + α1α2 Lαn.
a1 a0
= (−1)1 (α1
+α2
+L+αn) ；
∑ a2
a0
= (−1) 2
α αi1 i2
a1 a0
= (−1)1σ 1 (α1 ,α 2 ,L,α n ) ；
a2 a0
= (−1) 2 σ 2 (α1 ,α 2 ,L,α n ) ；
LLLLLLLL
an a0
= (−1) n σ n (α1 ,α 2 ,L,α n ).
命题 给定 R 上 n 次方程 a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an−1 x + an = 0 ，
a0 ≠ 0 ，
4
如果α = a + b i 是方程的一个根，则共轭复数α = a − b i 也是方程的根。
证明 由已知，
a0α n + a1α n−1 + ...... + an−1α + an = 0 . 两边取复共轭，又由于 a0 , a1 ,......, an ∈R，所以
a0α n + a1α n−1 + ...... + an−1α + an = 0 .
f (x) = q(x)(x − a) + f (a)
证明 对 n 作数学归纳法。
推论 x0 为 f (x) 的零点，当且仅当 (x − x0 ) 为 f (x) 的因式（其中 deg f (x) ≥ 1）。 命 题 （ 高 等 代 数 基 本 定 理 的 等 价 命 题 ） 设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an (a0 ≠ 0，n ≥ 1) 为 C 上的 n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在 n 个复
α αi1 i2 Lα ir ；
0≤i1 ≤i2 ≤L≤ir ≤n
LLLLLLLL
σ n (α1 ,α 2 ,L,α n ) = α1α 2 Lα n （σ1,σ 2 ,L,σ n 称为α1,α2 ,L,αn 的初等对称多项式）。于是有
定 理 2.5 ( 韦 达 定 理 ) 设 f (x) = a0 xn + a1xn−1 +L + an ， 其 中 ai ∈ K , a0 ≠ 0 。 设 f (x) = 0 的复根为α1,α2 ,L,αn 。则
§2 一元高次代数方程的基础知识
1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题 1. 高等代数基本定理
2
设 K 为数域。以 K[x] 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体。如果 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an ∈ K[x], (a0 ≠ 0) ， 则 称 n 为 f (x) 的 次 数 ， 记 为 deg f (x) 。
∑ a1 + a2 + ...... + an = ai ,
1≤i≤n
∏ a1a2 ......an = ai . 1≤i≤n
2. 求和号的性质. 容易证明，
∑ ∑ n
n
λ ai = λai
i=1
i=1
∑ ∑ ∑ n
n
n
(ai + bi ) = ai + bi
i =1
i =1
i =1
∑ ∑ ∑ ∑ n m
0≤i1 ≤i2 ≤n
；
LLLLLLLL
an a0
= (−1) n α1α 2 Lα n .
σ 0 (α1 ,α 2 ,L,α n ) = 1； σ 1 (α1 ,α 2 ,L,α n ) = α1 + α 2 + L + α n ；
LLLLLLLL
∏ σ r (α1 ,α 2 ,L,α n ) =
（1）
（其中 a0 , a1 ,......, an ∈ K , a0 ≠ 0 ）称为数域 K 上的一个 n 次代数方程；如果以 x = α ∈ K
带入（1）式后使它变成等式，则称α 为方程（1）在 K 中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域 K 上的 n (≥ 1) 次代数方程在复数域
a22
...... ......
a2n ......
.
am1 am2 ...... amn
称为数域 K 上的 一个 m 行 n 列矩阵，简称为 m × n 矩阵。
定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵
A 称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到 A 内作为最后一列，得到的 m × (n + 1) 矩阵
定义（集合的映射） 设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ，使得 A 中任意元素 a 在法则 f 下对应 B 中唯一确定的元素（记做 f (a) ），则称 f 是 A 到 B 的一个映射，记为
f : A → B, a a f (a).
如果 f (a) = b ∈ B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
的解也是（*）的解即可。
设 x1 = k1 , x2 = k2 ,......, xn = kn 是（*）的解，即（*）中用 xi = ki (i = 1,2,......n) 代入 后成为等式。对其进行初等变换，可以得到 x1 = k1 , x2 = k2 ,......, xn = kn 代入（**）后也成 为等式，即 x1 = k1 , x2 = k2 ,......, xn = kn 是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。
命题 任意数域 K 都包括有理数域 Q。
证明 设 K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 a ∈ K，且a ≠ 0 。于是
0 = a − a ∈ K， 1 = a ∈ K 。 a
进而 ∀m ∈Z >0 ,
m = 1+1+……+1∈ K 。
最后， ∀m, n
∈Z >0
，
m n
∈
K
，−
m n
=
0
−
（2）把某一行（列）乘以 K 内一个非零常数 c ； （3）把某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，这里 k ∈ K
定理（高等代数基本定理） C[x] 的任一元素在 C 中必有零点。 命题 设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 + ...... + an , (a0 ≠ 0，n ≥ 1) 是 C 上一个 n 次多项式，a 是一个复数。则存在 C 上首项系数为 a0 的 n − 1 次多项式 q(x) ，使得