【北师大版】初二数学上期中一模试卷(附答案)(1)

一、选择题
1．已知锐角AOB ∠，如图
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；
（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．②③④
C ．③④
D ．③
2．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交
,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．AD 是∠BAC 的平分线
B ．60AD
C ∠=︒ C ．点
D 在AB 的垂直平分线上 D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆=
3．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（ ）
A ．8cm
B ．9cm
C ．10cm
D ．11cm 4．如图，AC AD =，BC BD =，则有（ ）
A ．A
B 与CD 互相垂直平分
B ．CD 垂直平分AB
C ．C
D 平分ACB ∠ D ．AB 垂直平分CD
5．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
6．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）
A ．PC PD =
B ．O
C O
D = C ．CPO DPO ∠=∠
D ．PC P
E =
7．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
8．下列命题中，真命题是（ ） A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
9．下列命题中，是假命题的是（ ）
A ．直角三角形的两个锐角互余
B ．在同一个平面内，垂直于同一条直线的两
条直线平行
C ．同旁内角互补，两直线平行
D ．三角形的一个外角大于任何一个内角 10．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ）
A ．5边形
B ．6边形
C ．7边形
D ．8边形 11．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）
A ．AE
B ．AD
C ．C
D D ．CF
12．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）
A ．α
B ．52α
C ．2α
D ．3
2
α 二、填空题
13．如图，DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，若110BAC ∠=︒，则
DAE =∠__________°．
14．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．
15．如图，ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是10、15、20，三条角平分线交于O 点，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．
16．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．
17．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．
18．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若
130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．
19．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．
20．一块含45°角的直角三角板如图放置，其中，直线//a b ，185∠=︒，则2∠=______度．
三、解答题
21．如图1，点C 在线段AB 上，∠A =∠B ，AD =BC ，AC =BE ．
（1）判断△CDE 的形状并说明理由；
（2）若∠A=58°，求∠DCE 的度数；
（3）根据解决问题（1）（2）的经验，请你继续解答下列问题：
如图2，在如图所示的正方形网格中，点P 是BC 边上的一个格点（小正方形的顶点），请你在AB 边上作一点M ，在CD 边上作一点N ，使△MPN 是等腰直角三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
22．在如图所示的方格纸中，
（1）作出ABC 关于MN 对称的111A B C △；
（2）222A B C △是由111A B C △经过怎样的平移得到的？并求出111A B C △在平移过程中所扫过的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且
()2
320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．
（1）求证：AO AB =；
（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；
（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？
24．下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．
求作：直线l的垂线，使它经过点P ．
作法：如图2，
① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；
② 连接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．
④ 作直线PQ ．
∴直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：∵ PQ平分∠APB，
∴∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴△APQ≌△BPQ（）（填推理依据）．
∴∠PQA=∠PQB（）（填推理依据）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
25．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数．
26．（问题引入）
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．
（深入探究）
（2）如图2，在四边形ABDC 中，点O 是∠BAC 和∠ACD 的角平分线的交点，若∠B+∠D=110°，请求出∠AOC 的度数．
（类比猜想）
（3）如图3，在△ABC 中，∠CBO=
13∠DBC ，∠BCO= 13
∠ECB ，∠A=α，则∠BOC=___（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）． （4）如果BO ，CO 分别是△ABC 的外角∠DBC ，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，
∠CBO=∠
1n DBC ∠BCO=1n
∠ECB ，则∠BOC=___（用n 、a 的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．
【详解】
由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，
∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．
∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；
由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，
又∵CD OP ⊥，
∴CP=2CQ ，故②正确；
若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，
又∵=AOP BOP ∠∠，
∴=CPO AOP ∠∠，
∴OC=PC ，
故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．
综上，正确的有②③④．
故选：B ．
【点睛】
本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =
，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD S
S CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断
D ．
【详解】
解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；
∵90,30C B ∠=︒∠=︒，
∴60CAB ∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴30DAC DAB ∠=∠=︒．
∴60ADC ∠=︒．故B 正确；
过D 作DE ⊥AB
∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，
∴AD DB =．
∴AE=BE
∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；
∵30CAD ∠=︒， ∴12
CD AD =
， ∵AD DB =， ∴12DC DB =
． ∴12DAC CD AC S
⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD S S CD DB =，
∴12
CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．
故选择：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
由OB ，OC 分别是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线和OD ∥AB 、OE ∥AC 可推出BD=OD ，OE=EC ，从而得出BC 的长等于△ODE 的周长即可．
【详解】
解：∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，
∴∠ABO=∠BOD ，∠ACO=∠EOC ，
∵点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBD ，∠ACO=∠OCE ；
∴∠OBD =∠BOD ，∠EOC=∠OCE ；
∴BD=OD ，CE=OE ；
∴△ODE 的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC
∵
ODE 的周长为9cm ，
∴BC=9cm ．
故选：B ．
【点睛】 此题考查了平行线性质，角平分线定义以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度中等．
4．D
解析：D
【分析】
根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【详解】
∵AC AD =，BC BD =，
∴AB 垂直平分CD ，
故D 正确，A 、B 错误，
OC 不平分∠ACB ，故C 错误，
故选：D ．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
5．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF ≌△ABC ，
∴BC=EF ，
∴BE+EC=CF+EC ，
∴BE=CF ，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=12(BF-EC)=12
(9-5)=2． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明△OPC ≌△OPD 判断B 选项；根据
△OPC ≌△OPD 即可判断C 选项；证明△DPE ≌△CPF 判断D 选项．
【详解】
∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，
∴PC=PD ，故A 选项正确；
∵∠ODP=∠OCP=90︒，
又∵OP=OP ，PC=PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，
∴OC=OD ，故B 选项正确；
∵△OPC ≌△OPD ，
∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；
∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，
∴△DPE ≌△CPF ，
∴PE=PF，
∵PF>PC，
∴PE>PC，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】
解：A、如果ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．
【详解】
A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；
B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；
C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；
D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
利用三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选
项．
【详解】
解：A. 直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题；
B. 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；
C. 同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角，错误，是假命题；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，三角形外角的性质、平行线的性质及直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
设多边形的边数是n ，根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和公式列出方程即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数是n ，
则180（n ﹣2）=3×360，
解得：n =8．
故选:D ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式以及外角和定理，根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．
【详解】
由图可知，过点A 作BC 的垂线段AD ，则ABC 中，BC 边上的高是AD ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．
【详解】
解：如下图所示，
∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，
∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，
∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，
∴21α∠-∠=，
∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，
∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，
∵//DE BA ，
∴2ABE BED α∠==∠，
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．
二、填空题
13．【分析】先由已知求出∠B+∠C=70°再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD ∠C=∠CAE 则有∠BAD+∠CAE=70°进而求得∠DAE 的度数【详解】解：∵在△A
解析：40︒
【分析】
先由已知求出∠B+∠C=70°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质证得∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，则有∠BAD+∠CAE=70°，进而求得∠DAE 的度数．
【详解】
解：∵在△ABC 中，∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，
∵DF 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ，
∴AD=BD ，AE=CE ，
∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAE ，
∴∠BAD+∠CAE=70°，
∴∠ADE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=110°﹣70°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等理，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的等边对等角的性质是解答的关键．
14．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：
∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE
解析：56°
【分析】
根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；
【详解】
解：AB AC =，
ABC ACB ∴∠=∠，
∵BE=CF ，BD=CE ，
∴在DBE ∆和CEF ∆中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，
DE EF ∴=，
DEF ∴∆是等腰三角形；
DBE CEF ∆≅∆，
∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，
180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，
1(18044)682
B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°
∴∠CEF +∠DEB=112°
180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，
18068562
EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；
15．【分析】由角平分线的性质可得点O 到三角形三边的距离相等即三个三角形的ABBCCA 上的高相等利用面积公式即可求解【详解】解：过点O 作OD ⊥AC 于DOE ⊥AB 于EOF ⊥BC 于F ∵O 是三角形三条角平分线的
解析：2:3:4
【分析】
由角平分线的性质可得，点O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】
解：过点O 作OD ⊥AC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，
∴OD ＝OE ＝OF ．
∵AB ＝10，BC ＝15，CA ＝20，
∴::ABO BCO CAO S S S ＝(12•AB•OE )：(12•BC•OF )：(12
•CA•OD )＝::AB BC CA ＝2:3:4．
故答案为：2:3:4．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理和三角形面积的计算方法是解题的关键．
16．OA ＝OB （答案不唯一）【分析】由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可【详解】解：添加的条件是OA ＝OB 理由如下：∵AD ∥BC ∴∠A ＝∠B ∠C ＝∠D 在△AOD 和
解析：OA ＝OB （答案不唯一）
【分析】
由AD ∥BC 可得∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D ,然后根据全等三角形的判定方法添加条件即可．
【详解】
解：添加的条件是OA ＝OB ，理由如下：
∵AD ∥BC ，
∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D
在△AOD 和△BOC 中
A B AO BO AOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AOD ≌△BOC （ASA ）．
故答案为：OA ＝OB （答案不唯一）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理的内容是解答本题的关键．
17．15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC然后求出DC即得答案【详解】解：∵AC=40cmAD：DC=5：3∴DC=15cm∵BD平分
∠ABCDE⊥AB∠C=90°∴DE=DC=15cm即D到AB
解析：15
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DC，然后求出DC即得答案．
【详解】
解：∵AC=40cm，AD：DC=5：3，
∴DC=15cm，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC=15cm，即D到AB的距离为15cm．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，属于基础题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．18．50°【分析】连接BC根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数即可求得∠A的度数【详解】解：连接BC∵∠BDC＝130°
解析：50°
【分析】
连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数，再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【详解】
解：连接BC，
∵∠BDC＝130°，
∴∠DBC＋∠DCB＝180°−∠BDC＝50°，
∵∠BGC＝90°，
∴∠GBC＋∠GCB＝180°−∠BGC＝90°，
∴∠GBD＋∠GCD＝（∠GBC＋∠GCB）−（∠DBC＋∠DCB）＝40°，
∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABD ＋∠ACD ＝2∠GBD ＋2∠GCD ＝80°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝（∠ABD ＋∠ACD ）＋（∠DBC ＋∠DCB ）＝130°，
∴∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°−130°＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
19．12【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可【详解】∵F 是CE 的中点∴∵E 是BD 的中点∴∴∴△ABC 的面积=故答案为：12【点睛】本题考查了三角形的面积主要利用了三角形的中线
解析：12
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】
∵ F 是CE 的中点，23AEF S cm ∆=
∴ 226ACE AEF S S cm ∆∆== ，
∵ E 是BD 的中点，
∴ ADE ABE S S ∆∆= ，CDE BCE S S ∆∆= ， ∴12
ACE ABC S S ∆∆= ， ∴△ABC 的面积=212cm ．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
20．40【分析】如图（见解析）先根据直角三角板的定义可得再根据平行线的性质可得然后根据三角形的外角性质可得最后根据对顶角相等即可得【详解】如图由题意得：由对顶角相等得：故答案为：40【点睛】本题考查了平 解析：40
【分析】
如图（见解析），先根据直角三角板的定义可得445∠=︒，再根据平行线的性质可得1585=∠∠=︒，然后根据三角形的外角性质可得340∠=︒，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】
如图，由题意得：445∠=︒，
//a b ，185∠=︒，
1855∴∠∠==︒，
∴∠=∠-∠=︒，
35440
∠=∠=︒，
由对顶角相等得：2340
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
三、解答题
21．（1）等腰三角形，理由见解析；（2）58°；（3）见解析
【分析】
(1)利用SAS判定△ADC≌△BCE即可判定结论；
(2)利用三角形内角和定理，平角的定义，推理得证；
(3)构造一对全等的直角三角形，利用上面的结论即可.
【详解】
（1）∵AD =BC，∠A=∠B，AC=BE，
∴△ADC≌△BCE，
∴CD=CE，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC=∠BCE，
∵∠ADC+∠ACD+∠A=180°，
∠ADC+∠BCE+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE，
∵∠A=58°，
∴∠DCE=58°；
（3）如图，根据作图，得△PBM≌△NCP，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
∵∠B=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，平角的定义，熟记三角形全等原理，基本作图是解题的关键.
22．（1）图见解析；（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，面积是16
【分析】
（1）作点A 、B 、C 关于MN 的对称点1A 、1B 、1C ，即可得到111A B C △；
（2）先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到222A B C △，画出平移的图象，求出扫过的面积．
【详解】
解：（1）如图所示，
（2）如图所示，
111A B C △先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到222A B C △，
111A B C △在平移过程中所扫过的面积是图中阴影部分，
162
42124162
S =⨯+⨯⨯=+=． 【点睛】
本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法和图形平移的方法． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，
∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩
∴()1,3A ，()2,0B ．
作AE OB ⊥于点E ，
∵()1,3A ，()2,0B ，
∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，
∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴AEO AEB ∆∆≌，
∴OA AB =．
（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，
∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．
在AOC ∆与ABD ∆中，
∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOC ABD ∆∆≌．
（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．
∵OA AB =，
∴AOB ABO α∠=∠=．
由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，
∴ABD AOB α∠=∠=．
∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，
∴OP 长度不变，
∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 24．（1）见详解；（2）PB ，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．
【分析】
（1）根据尺规作图的步骤先做出PA ，PB ，然后再作出∠APQ 的角平分线PQ 即作出所求图；
（2）根据作图过程知PA=PB ，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．
【详解】
（1）如图：
（2）PB ；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．
【点睛】
此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．
25．8
【分析】
先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n ，根据内角和公式建立关于n 的方程，解之即可．
【详解】
解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，
设这个多边形的边数为n ，
则（n ﹣2）•180°＝1080°，
解得n ＝8，
答：该多边形的边数为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n 为整数）．
26．（1）70°；（2）55°；（3）120°-
13α；（4）()11801n n n α-⨯︒- 【分析】
（1）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB ，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB ，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB ，在△BOC 中利用三角形内角和定理可求得∠BOC ； （2）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC 与∠B+∠D 之间的关系；
（3）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得∠BOC=120°-3α
；
（4）根据三角形的内角和等于180°以及三角形的外角性质列式整理即可得
∠BOC=()11801n n n
α-⨯︒-． 【详解】
（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-(∠ABC+∠ACB)
=360°-140°
=220°，
∵BO 、CO 分别平分∠DBC 和∠ECB ，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠DBC+∠ECB) =12
×220°=110°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-110°=70°；
（2）∵点O 是∠BAC 和∠ACD 的角平分线的交点，
∴∠OAC=12∠CAB ，∠OCA=12
∠ACD ，
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)
=180°-1
2
(∠CAB+∠ACD)
=180°-1
2
(360°-∠B-∠D)
=1
2
(∠B+∠D)，
∵∠B+∠D=110°，
∴∠AOC=1
2
(∠B+∠D)=55°；
（3）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-1
3
(∠DBC+∠ECB)
=180°-1
3
(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°-1
3
(∠A+180°)
=120°-1
3α；
故答案为：120°-1
3α；
（4）在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-1
n
(∠DBC+∠ECB)
=180°-1
n
(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=180°-1
n
(∠A+180°)
=()11801
n
n n
α
-⨯︒
-．
故答案为：()11801
n
n n
α
-⨯︒
-．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．。