2019-2020年高三数学一轮总复习板块命题点专练五三角函数的诱导公式及图象与性质理

2019-2020年高三数学一轮总复习板块命题点专练五三角函数的诱
导公式及图象与性质理
1．(xx·福建高考改编)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于
________．
解析：因为α为第四象限的角， 故cos α＝1－sin 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213
， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－5
12
.
答案：－5
12
2．(xx·四川高考)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2
α的值是________．
解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2
α＝2sin αcos α－cos 2
α
sin 2α＋cos 2
α
＝
2tan α－1tan 2
α＋1 ＝－4－1
4＋1
＝－1. 答案：－1
3．(xx·广东高考改编)已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝15
，那么cos α＝________.
解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.
答案：15
距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝2sin ωx ，
y ＝2cos ωx
得sin ωx ＝cos ωx ，
∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋
π
4
(k ∈Z)．
∵ω＞0，∴x ＝
k πω＋π
4ω
(k ∈Z)． 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π
4ω
，
则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝π
ω
.
又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2
＋(y 2－y 1)2
＝(23)2
，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫πω2＋(22)2
＝12， ∴ω＝π2.
答案：π2
2．(xx·陕西高考改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝
⎛⎭
⎪
⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．
解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 答案：8
3．(xx·浙江高考)函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．
解析：f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1 ＝
1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4.
故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－1时，f (x )取得最小值为32－22＝3－22. 答案：π
3－2
2
4．(xx·天津高考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为
________．
解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称， 所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω
2
＝π
4
＋2k π，k ∈Z. 又ω－(－ω)≤2π
ω
2，即ω2≤π2，所以ω2
＝π4
， 所以ω＝π2
. 答案：
π2
5．(xx·安徽高考)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2
＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为f (x )＝sin 2
x ＋cos 2
x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，
所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，
由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π4上的图象知，
当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，f (x )取得最大值2＋1；
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π
2
时，f (x )取得最小值0.
综上，f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.
6．(xx·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2
x
2.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．
解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，
所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π
3≤π.
当x ＋π3＝π，即x ＝2π
3
时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝－ 3.
7．(xx·重庆高考)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2
x .
(1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π2，π时，求g (x )的值域．
解：(1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2
x
＝12sin 2x －3
2(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，
因此f (x )的最小正周期为π， 最小值为－2＋3
2
.
(2)由条件可知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，
从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1， 那么g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32
，2－32. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32
，2－32.。