2017年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷

2017年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共33分）
1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
【答案】
B
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.
故选B.
2. 下列计算正确的是（）
A.a3⋅a2＝a6
B.(−2a2)3＝−8a6
C.(a+b)2＝a2+b2
D.2a+3a＝5a2
【答案】
B
【考点】
合并同类项
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
完全平方公式
【解析】
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式和合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】
A、a3⋅a2＝a5，故此选项错误；
B、(−2a2)3＝−8a6，正确；
C、(a+b)2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
D、2a+3a＝5a，故此选项错误；
3. 在一个不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是（）
A.1 3
B.3
5
C.3
8
D.5
8
【答案】
D
【考点】
概率公式
【解析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】
由于共有8个球，其中红球有5个，
，
则从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是5
8
4. 一组数据1，5，7，x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是（）
A.6
B.5
C.4.5
D.3.5
【答案】
C
【考点】
算术平均数
中位数
众数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5. 若抛物线y＝−x2+bx+c经过点(−2, 3)，则2c−4b−9的值是（）
A.5
B.−1
C.4
D.18
【答案】
A
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
把(−2, 3)代入y＝−x2+bx+c可得−2b+c＝7，再将所求的式子变形，整体代入即可求出答案
【解答】
∵抛物线y＝−x2+bx+c经过点(−2, 3)，
∴−(−2)2−2b+c＝3，
整理得，−2b+c＝7，
∴2c−4b−9＝2(c−2b)−9＝2×7−9＝5，
6. 下列图象中，能反映等腰三角形顶角y（度）与底角x（度）之间的函数关系的是（）
A. B.
C. D.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
等腰三角形的判定与性质
【解析】
等腰三角形的两个底角相等，由内角和定理可知：x+x+y=180，从而得y=180−2x，由y>0得x<90，又x>0，故0<x<90，据此可得答案．
【解答】
解：由等腰三角形的性质知y=180−2x，且0<x<90，
故选C.
7. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和主视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】
B
【考点】
由三视图判断几何体
【解析】
做出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最少时的数字即可．
【解答】
做出该几何体的俯视图，画出数字，如图所示，
则搭成该几何体的小正方体的个数最少是4，
8. 如图，直线y=−1
2x+b与x轴交于点A，与双曲线y=−4
x
(x<0)交于点B，若
S△AOB=2，则b的值是（）
A.4
B.3
C.2
D.1【答案】
D
【考点】
函数的综合性问题
【解析】
令y=0代入y=−1
2x+b，可求出A(2b, 0)，由S△AOB=2，可求出B的坐标为2
b
，从而
可求出B的坐标为(−2b, 2
b )，将B(−2b, 2
b
)代入y=−1
2
x+b即可求出b的值．
【解答】
令y=0代入y=−1
2
x+b，∴x=2b
∴A(2b, 0)
∴OA=2b
过点B作BC⊥x轴于点C
∵S△AOB=2，
∴1
2
OA⋅BC=2
∴BC=2
b
∴B的纵坐标为2
b
将y=2
b 代入y=−4
x
∴x=−2b ∴B(−2b, 2
b
)
将B(−2b, 2
b )代入y=−1
2
x+b
∴2
b
=2b，
∵b>0
∴b=1
9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC等于（）
A.100∘
B.112.5∘
C.120∘
D.135∘
【答案】
B
【考点】
圆周角定理
圆内接四边形的性质
【解析】
由AB是⊙O的直径，得到∠CAB+∠B=90∘，根据∠B=3∠BAC，求得∠B=67.5，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB+∠B=90∘，
∵∠B=3∠BAC，
∴∠B=67.5，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180∘−∠B=112.5∘，
10. 如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB=2√3，OD=4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（）
A.(−√3, 1)
B.(−1, √3)
C.(−1, √3)或(1, −√3)
D.(−√3, 1)或(1, −√3)
【答案】
C
【考点】
矩形的性质
坐标与图形变化-旋转
【解析】
本题考察了坐标与图形变换-旋转，矩形的性质，解直角三角形．
【解答】
解：在矩形ABCD中，
∵CD=AB=2√3，∠DCO=90∘，
∵OD=4，
∴∠DOC=60∘，OC=2，
①当顺时针旋转至△OD′C′时，如图，
∠D′OC′=∠DOC=60∘，OC′=OC=2，
过C′作C′E⊥OD′于E，则OE=1
2OC′=1，C′E=√3
2
OC′=√3，
∴C′(1, −√3)，
②当逆时针旋转至△OD″C″时，如图，∠D″OC″=∠DOC=60∘，OC″=OC=2，
过C″作C″E⊥OD″于F，则OF=1
2OC″=1，C″F=√3
2
OC′=√3，
∴C″(−1, √3)，
综上所述：点C对应点的坐标是(1, −√3)，(−1, √3)，故选C．
11. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF= EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（）
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】
B
【考点】
正方形的性质
相似三角形的判定
【解析】
①正确，只要证明△NBA≅△NBC，∠ABE+∠ANE=180∘即可解决问题；
②正确．只要证明△AFH≅△AFE即可；
③正确．只要证明∠AMN=∠DFN，∠AFH=∠AFE即可；
④正确．如图2中，首先证明△AMN∽△AFE，可得NM
EF =AN
AE
=
√2
，推出EF=√2MN，
再证明MN2=DN2+DG2=DN2+BM2，即可解决问题；
⑤错误．相似三角形不止4对相似三角形．
【解答】
将△ABE绕点A逆时针旋转90∘得到△ADH．
∵四边形ABCD是中正方形，
∴AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90∘，∠ABD=∠CBD=45∘，在△BNA和△BNC中，
{
BN=BN
∠NBA=∠NBC
BA=BC
，
∴△NBA≅△NBC，
∴AN=CN，∠BAN=∠BCN，
∵EN=CN，
∴AN=EN，∠NEC=∠NCE=∠BAN，
∵∠NEC+∠BEN=180∘，
∴∠BAN+∠BEN=180∘，
∴∠ABC+∠ANE=180∘，
∴∠ANE=90∘，
∴AN=NE，AN⊥NE，故①正确，
∴∠3=∠AEN=45∘，
∵∠3=45∘，∠1=∠4，
∴∠2+∠4=∠2+∠1=45∘，
∴∠3=∠FAH=45∘，∵AF=AF，AE=AH，∴△AFE≅△AFH，
∴EF=FH=DF+DH=DF+BE，∠AFH=∠AFE，故②正确，∵∠MAN=∠NDF=45∘，∠ANM=∠DNF，
∴∠AMN=∠AFD，
∴∠DFE=2∠AMN，故③正确，
∵∠MAN=∠EAF，∠AMN=∠AFE，
∴△AMN∽△AFE，
∴NM
EF =AN
AE
=
√2
，
∴EF=√2MN，
如图2中，将△ABM绕点A逆时针旋转90∘得到△ADG，
易证△ANG≅△ANM，△GDN是直角三角形，
∴MN=GN，
∴MN2=DN2+DG2=DN2+BM2，
∴EF2=2(DN2+BM2)=2BM2+2DN2，故④正确，
图中相似三角形有△ANE∽△BAD∼△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故⑤错误，
二、填空题（每小题3分，满分27分）
同步卫星在赤道上空大约36000000米处，请将数36 000 000用科学记数法表示为
________．
【答案】
3.6×107
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
同步卫星在赤道上空大约36000000米处，请将数36 000 000用科学记数法表示为
3.6×107，
在函数y=x
x+3
中，自变量x的取值范围是________．
【答案】
x≠−3
【考点】
函数自变量的取值范围
【解析】
根据分母不等于0解答即可．
【解答】
由题意得，x+3≠0，
解得x≠−3．
如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条
件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是________．
【答案】
AF＝CE（答案不唯一）
【考点】
平行四边形的性质与判定
【解析】
根据平行四边形的性质得出AF // CE，再根据平行四边形的判定定理得出即可．
【解答】
AF＝CE（答案不唯一），
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，
即AF // CE，
∵AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．
【答案】
8
【考点】
一元一次不等式的运用
【解析】
本题考查了一元一次不等式的应用．
【解答】
解：设打x折，根据题意得：
x≥100(1+20%)，
100(1+50%)⋅1
10
解得：x≥8，
即至多打8折，
故答案为8．
请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数−2，4，−6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是
________（只写一种）
【答案】
8×(−6)÷[4÷(−2)]=24
【考点】
有理数的混合运算
【解析】
首先用4除以−2，构造出−2；然后用8与−6的积除以−2，即可使运算结果为24．【解答】
8×(−6)÷[4÷(−2)]=24
在半径为20的⊙O中，弦AB=32，点P在弦AB上，且OP=15，则AP=________．【答案】
7或25
【考点】
垂径定理
【解析】
作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P 在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．
【解答】
作OC⊥AB于点C，
∴AC=1
AB=16，
2
OC=√OA2−AC2=12，又OP=15，
∴PC=√OP2−OC2=9，
当点P在线段AC上时，AP=16−9=7，
当点P在线段BC上时，AP=16+9=25．
下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为________．
【答案】
40
【考点】
规律型：图形的变化类
规律型：点的坐标
规律型：数字的变化类
【解析】
观察不难发现，相邻两个图形的周长的差为从6开始的连续偶数，然后分别求出第4、5个图形的周长即可．
【解答】
∵10−4=6，
18−10=8，
∴第4个图形的周长为18+10=28，
第5个图形的周长为28+12=40．
若将图中的抛物线y=x2−2x+c向上平移，使它经过点(2, 0)，则此时的抛物线位于x轴下方的图象对应x的取值范围是________．
【答案】
0<x<2
【考点】
二次函数图象与几何变换
抛物线与x轴的交点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设抛物线y=x2−2x+c向上平移后的解析式为y=x2−2x+b，
因为其经过点(2,0)，所以22−2×2+b=0，
解得b=0，所以平移后抛物线的解析式为y=x2−2x，
与x轴的交点的坐标(0,0)，(2,0)，
故抛物线位于x轴下方的图象所对应的x的取值范围是0<x<2．
故答案为：0<x<2．
在△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AB=5，点D在△ABC的边上，且AD=1，将△ABC折叠，使点B落在点D处，折痕交边AB于点E，交另一边于点F，则BE=________．【答案】
2或15
7
【考点】
勾股定理
翻折变换（折叠问题）
【解析】
分两种情况：①D在AB边上，易得BE=DE=1
2
BD=2；②D在AC边上，根据角平
分线的性质可求BE．
【解答】
分两种情况：
①D在AB边上，如图1．
∵将△ABC折叠，使点B落在点D处，折痕交边AB于点E，交另一边于点F，
∴BE=DE=1
2
BD，
∵AB=5，AD=1，
∴BD=AB−AD=5−1=4，
∴BE=2；
②D在AC边上，如图2．
∵在△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AB=5，
∴AC=√AB2−BC2=4，
∵AD=1，
∴CD=3，
∴BC=CD=3，
∵将△ABC折叠，使点B落在点D处，折痕交边AB于点E，交另一边于点F，
∴C与F重合，
∴∠BCE=∠DCE，
∴BE
AE =BC
AC
，
∴ BE 5−BE =34
， 解得BE =157．
三、解答题（满分52分）
先化简，再求值：(
1x−2+1)÷x−1x 2−4，其中x =−sin 30∘．
【答案】
(1x −2+1)÷x −1x 2−4 =
x −1x −2∗(x +2)(x −2)x −1
=x +2， 当x =−sin 30∘=−12时，原式=−12+2=32． 【考点】
分式的化简求值
特殊角的三角函数值
【解析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】
(1x −2+1)÷x −1x 2−4
=
x −1x −2∗(x +2)(x −2)x −1
=x +2， 当x =−sin 30∘=−12时，原式=−12+2=32．
如图，在⊙O 中，AC ̂=CB ̂，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，求证：AD =BE ．
【答案】
证明：连接OC ，
∵ AC
̂=CB ̂， ∴ ∠AOC =∠BOC ．
∵ CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，
∴ ∠CDO =∠CEO =90∘
在△COD 与△COE 中，
∵ {∠DOC =∠EOC ∠CDO =∠CEO =90∘CO =CO
，
∴ △COD ≅△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
连接OC，先根据AC
̂=CB̂得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≅△COE，由此可得出结论．
【解答】
证明：连接OC，
∵AĈ=CB̂，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO=∠CEO=90∘
在△COD与△COE中，
∵{
∠DOC=∠EOC
∠CDO=∠CEO=90∘
CO=CO
，
∴△COD≅△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∵AO=BO，
∴AD=BE．
如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴是直线x=−3，B(−1, 0)，F(0, 1)，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出抛物线顶点E的坐标，并判断AC与EF的位置关系，不需要说明理由．注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−b
2a
，顶点坐标是
(−b
2a , 4ac−b2
4a
)
【答案】
∵ B(−1, 0)，抛物线的对称轴是直线x =−3，
∴ A(−5, 0)，
根据题意得：{−25−5b +c =0−1−b +c =0
， 解得：{b =−6c =−5
， ∴ 抛物线的解析式为：y =−x 2−6x −5；
当x =−3时，y =−(−3)2−6×(−3)−5=4，
∴ 顶点E(−3, 4)，
当x =0时，y =−5，
∴ C(0, −5)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，
把A(−5, 0)和C(0, −5)代入得：{−5k +b =0b =−5
， 解得：{k =−1b =−5
， ∴ 直线AC 的解析式为：y =−x −5，
同理可得：直线EF 的解析式为：y =−x +1，
∴ AC // EF ．
【考点】
待定系数法求二次函数解析式
抛物线与x 轴的交点
【解析】
（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据对称轴求抛物线的顶点E 的坐标，利用待定系数法求直线AC 和EF 的解析式，由k 相等可知：AC // EF ．
【解答】
∵ B(−1, 0)，抛物线的对称轴是直线x =−3，
∴ A(−5, 0)，
根据题意得：{−25−5b +c =0−1−b +c =0
， 解得：{b =−6c =−5
， ∴ 抛物线的解析式为：y =−x 2−6x −5；
当x =−3时，y =−(−3)2−6×(−3)−5=4，
∴ 顶点E(−3, 4)，
当x =0时，y =−5，
∴ C(0, −5)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b ，
把A(−5, 0)和C(0, −5)代入得：{−5k +b =0b =−5
， 解得：{k =−1b =−5
， ∴ 直线AC 的解析式为：y =−x −5，
同理可得：直线EF 的解析式为：y =−x +1，
∴ AC // EF ．
菱形ABCD的周长为8，∠ABC+∠ADC=90∘，以AB为腰，在菱形外作底角是45∘的等腰△ABE，连接AC，CE．请画出图形，并直接写出△ACE的面积．
【答案】
△ACE的面积为2或2−√2．
①如图，当∠ABE=90∘时，∠EAB=∠ABC=45∘，
∴AE // BC，
∴S△ACE=S△ABE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BE=2，
∴S△ACE=S△ABE=1
2
×2×2=2；
②如图，当∠BAE=90∘时，作CF⊥AB于F，连接EF，则∠EAF=∠CFA=90∘，
∴AE // CF，
∴S△ACE=S△AFE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=AE=BC=2，
∴Rt△BCF中，BF=√2，
∴AF=2−√2，
∴S△ACE=S△AFE=1
2AE×AF=1
2
×2×(2−√2)=2−√2．
【考点】
等腰三角形的判定与性质
菱形的性质
【解析】
分两种情况进行讨论：当∠ABE=90∘时，∠EAB=∠ABC=45∘；当∠BAE=90∘时，作CF⊥AB于F，连接EF，分别根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，进行计算即可得到△ACE的面积．
【解答】
△ACE的面积为2或2−√2．
①如图，当∠ABE=90∘时，∠EAB=∠ABC=45∘，
∴AE // BC，
∴S△ACE=S△ABE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BE=2，
∴S△ACE=S△ABE=1
2
×2×2=2；
②如图，当∠BAE=90∘时，作CF⊥AB于F，连接EF，则∠EAF=∠CFA=90∘，
∴AE // CF，
∴S△ACE=S△AFE，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=AE=BC=2，
∴Rt△BCF中，BF=√2，
∴AF=2−√2，
∴S△ACE=S△AFE=1
2AE×AF=1
2
×2×(2−√2)=2−√2．
为了解某中学七年级学生1分钟跳绳情况，随机抽查了七年级部分学生1分钟跳绳的次数，并绘制成如下不完整的统计图表．请根据图表信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了________名学生，d＝________，请补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，1分钟跳绳次数低于120次所在扇形的圆心角是________度；
（3）若该校七年级有750名学生，请通过计算估计该校七年级学生中1分钟跳绳次数不低于175次的有多少人．
被抽查学生1分钟跳绳次数的频数分布表
50,16%
144
50，16%；144
【考点】
用样本估计总体
频数（率）分布直方图
频数（率）分布表
扇形统计图
【解析】
（1）利用30≤x<60的人数是1人，所占的比例是2%即可求得这次共抽查了多少名
学生，再根据频率＝频数÷数据总和求得d，补全频数分布直方图；
（2）求得1分钟跳绳次数低于120次的百分数，扇形的圆心角度数是360度乘以对应的
百分数即可求解；
（3）首先求得所占的比例，然后乘以总人数750即可求解．
【解答】
1÷2%＝50（名），
d＝8÷50＝16%．
答：这次共抽查了50名学生，d＝16%，
a＝50×6%＝3（名），
b＝50−1−3−16−8−2＝20（名），
如图所示：
(2%+6%+32%)×360∘＝144∘．
答：1分钟跳绳次数低于120次所在扇形的圆心角是144度；
750×(1−50%−40%)＝75（人）．
答：估计该校七年级学生中1分钟跳绳次数不低于175次的有75人．
故答案为：50，16%；144．
A，B，C三地在同一条公路上，A地在B，C两地之间，甲、乙两车同时从A地出发匀
速行驶，甲车驶向C地，乙车先驶向B地，到达B地后，调头按原速经过A地驶向C地
（调头时间忽略不计），到达C地停止行驶，甲车比乙车晚0.4小时到达C地，两车距B
地的路程y(km)与行驶时间x(ℎ)之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下
列问题：
（1）甲车行驶的速度是________km/ℎ，并在图中括号内填入正确的数值；
（2）求图象中线段FM所表示的y与x的函数解析式（不需要写出自变量x的取值范围）；（3）在乙车到达C地之前，甲、乙两车出发后几小时与A地路程相等？直接写出答案．
【答案】
50
乙的速度为(90+360)÷5=90(km/ℎ)，
点F 的横坐标为90÷90=1．
∴ 线段FM 所表示的y 与x 的函数解析式为y =90(x −1)=90x −90(1≤x ≤5)． 线段DE 所表示的y 与x 的函数解析式为y =50x +90(0≤x ≤5.4)，
线段DF 所表示的y 与x 的函数解析式为y =90−90x(0≤x ≤1)．
当0<x ≤1时，有90−(90−90x)=50x +90−90，
解得：x =0（舍去）；
当1<x <5时，有|90x −90−90|=50x +90−90，
解得：x 1=97，x 2=9
2． 答：在乙车到达C 地之前，甲、乙两车出发后97小时或9
2小时与A 地路程相等．
【考点】
一次函数的应用
【解析】
（1）观察图象找出A 、C 两地间的距离，再根据速度=路程÷时间，即可求出甲车行驶的速度；由甲车比乙车晚0.4小时到达C 地结合甲车5.4小时到达C 地，可得出乙车到达C 地所用时间；
（2）根据速度=路程÷时间可求出乙车的速度，由时间=路程÷速度可得出点F 的横坐标，再根据路程=速度×（时间−1），即可得出线段FM 所表示的y 与x 的函数解析式；
（3）根据路程=速度×时间（路程=90−速度×时间），可得出线段DM(DF)所表示的y 与x 的函数解析式，分0<x ≤1以及1<x <5两种情况，找出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
A 、C 两地间的距离为360−90=270(km)，
甲车行驶的速度为270÷5.4=50(km/ℎ)，
乙车达到C 地所用时间为5.4−0.4=5(ℎ)．
故答案为：50；5．
乙的速度为(90+360)÷5=90(km/ℎ)，
点F 的横坐标为90÷90=1．
∴ 线段FM 所表示的y 与x 的函数解析式为y =90(x −1)=90x −90(1≤x ≤5)． 线段DE 所表示的y 与x 的函数解析式为y =50x +90(0≤x ≤5.4)，
线段DF 所表示的y 与x 的函数解析式为y =90−90x(0≤x ≤1)．
当0<x ≤1时，有90−(90−90x)=50x +90−90，
解得：x =0（舍去）；
当1<x <5时，有|90x −90−90|=50x +90−90，
解得：x 1=97，x 2=9
2．
答：在乙车到达C 地之前，甲、乙两车出发后97小时或92小时与A 地路程相等．
“一带一路”的战略构想为国内许多企业的发展带来了新的机遇，某公司生产A ，B 两种机械设备，每台B 种设备的成本是A 种设备的1.5倍，公司若投入16万元生产A 种设备，36万元生产B 种设备，则可生产两种设备共10台．请解答下列问题：
（1）A 、B 两种设备每台的成本分别是多少万元？
（2）若A ，B 两种设备每台的售价分别是6万元，10万元，公司决定生产两种设备共60台，计划销售后获利不低于126万元，且A 种设备至少生产53台，求该公司有几种生产方案；
（3）在（2）的条件下，销售前公司决定从这批设备中拿出一部分，赠送给“一带一路”沿线的甲国，剩余设备全部售出，公司仍获利44万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台A 种设备，航空运输每次运2台B 种设备（运输过程中产生的费用由甲国承担）．直接写出水路运输的次数．
【答案】
设A 种设备每台的成本是x 万元，B 种设备每台的成本是1.5x 万元．
根据题意得：16x +36
1.5x =10，
解得：x ＝4，
经检验x ＝4是分式方程的解，
∴ 1.5x ＝6．
答：A 种设备每台的成本是4万元，B 种设备每台的成本是6万元．
设A 种设备生产a 台，则B 种设备生产(60−a)台．
根据题意得：{(6−4)a +(10−6)(60−a)≥126a ≥53
， 解得：53≤a ≤57．
∵ a 为整数，
∴ a ＝53，54，55，56，57，
∴ 该公司有5种生产方案．
设水路运输了m 次，则航空运输(4−m)次，该公司赠送4m 台A 种设备，(8−2m)台B 种设备，
根据题意得：6(a −4m)+10[60−a −(8−2m)]−4a −6(60−a)＝44，
整理得：a +2m −58＝0，
解得：m ＝29−12a ．
∵ 53≤a ≤57，0<m <4，且a 、m 均为正整数，
∴ m ＝1或2．
当m ＝1时，a ＝56，
∴ 60−a ＝4，8−2m ＝6．
∵ 4<6，
∴ m ＝1不合适，舍去；
当m ＝2时，a ＝54，
∴ 60−a ＝6，8−2m ＝4．
∵ 6>4，
∴ m ＝2符合题意．
∴ 水路运输的次数为2次．
【考点】
分式方程的应用
一元一次不等式组的应用
【解析】
（1）设A 种设备每台的成本是x 万元，B 种设备每台的成本是1.5x 万元．根据数量＝总价÷单价结合“投入16万元生产A 种设备，36万元生产B 种设备，则可生产两种设备共10台”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A 种设备生产a 台，则B 种设备生产(60−a)台．根据销售后获利不低于126万元且A 种设备至少生产53台，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，再根据a 为正整数即可得出a 的值，进而即可得出该公司生产方案种数；
（3）设水路运输了m 次，则航空运输(4−m)次，该公司赠送4m 台A 种设备，(8−2m)台B 种设备，根据利润＝销售收入-成本结合公司获利44万元，即可得出关于a 、m 的二元一次方程，根据a 、m 的取值范围结合a 、m 均为正整数，再代入m 值验证生产的B 种设备是否低于赠送的B 种设备，由此即可得出结论．
【解答】
设A 种设备每台的成本是x 万元，B 种设备每台的成本是1.5x 万元．
根据题意得：16x +361.5x =10，
解得：x ＝4，
经检验x ＝4是分式方程的解，
∴ 1.5x ＝6．
答：A 种设备每台的成本是4万元，B 种设备每台的成本是6万元．
设A 种设备生产a 台，则B 种设备生产(60−a)台．
根据题意得：{(6−4)a +(10−6)(60−a)≥126a ≥53
， 解得：53≤a ≤57．
∵ a 为整数，
∴ a ＝53，54，55，56，57，
∴ 该公司有5种生产方案．
设水路运输了m 次，则航空运输(4−m)次，该公司赠送4m 台A 种设备，(8−2m)台B 种设备，
根据题意得：6(a −4m)+10[60−a −(8−2m)]−4a −6(60−a)＝44，
整理得：a +2m −58＝0，
解得：m ＝29−12a ．
∵ 53≤a ≤57，0<m <4，且a 、m 均为正整数，
∴m＝1或2．
当m＝1时，a＝56，
∴60−a＝4，8−2m＝6．
∵4<6，
∴m＝1不合适，舍去；
当m＝2时，a＝54，
∴60−a＝6，8−2m＝4．
∵6>4，
∴m＝2符合题意．
∴水路运输的次数为2次．
已知：如图，直线y=1
2
x+b与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA
的长是方程x2−7x−8＝0的一个根，请解答下列问题：
（1）求点B坐标；
（2）双曲线y=k
x
(k≠0, x>0)与直线AB交于点C，且AC＝5√5，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=√5，直线l⊥y轴，垂足为点P(0, 7)，点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解方程x2−7x−8＝0得：x＝8，或x＝−1，
∵线段OA的长是方程x2−7x−8＝0的一个根，
∴OA＝8，∴A(−8, 0)，
代入y=1
2
x+b得：−4+b＝0，
∴b＝4
∴B(0, 4)；
在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝4，
∴AB=√OA2+OB2=√82+42=4√5，
过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
则CH // OB，
∴△AOB∽△AHC，
∴OB
CH =AB
AC
=OA
AH
，
即4
CH =√5
5√5
=8
AH
，
解得：CH＝5，AH＝10，∴OH＝10−8＝2，
∴C(2, 5)，
∵双曲线y=k
x
(k≠0, x>0)经过点C，
∴k＝2×5＝10；
存在，理由如下：
分两种情况：
①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC 交直线l于M，如图2所示：
则EG // OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴EG
OB =AG
AO
=AE
AB
=√5
4√5
=1
4
，
∴EG=1
4OB＝1，AG=1
4
AO＝2，
∴OG＝8−2＝6，
∴E(−6, 1)，
∵EM⊥AC，
∴设直线EM的解析式为y＝−2x+c，
把点E(−6, 1)代入得：12+c＝1，
解得：c＝−11，
∴直线EM的解析式为y＝−2x−11，
当y＝7时，7＝−2x−11，
∴x＝−9，
∴M(−9, 7)，
∵C(2, 5)，
∴点N的坐标为(−1, 11)；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为(−7, 3)；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如图3所示：
则∠EGM＝∠MHC＝90∘，EG＝7−1＝6，CH＝7−5＝2，
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠EMC＝90∘，
由角的互余关系得：∠GEM＝∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，
∴GM
CH =EG
MH
，
∴GM⋅MH＝CH⋅EG＝2×6＝12，
又∵GM+MH＝6+2＝8，
∴GM＝2，MH＝6，
∴M的坐标为(−4, 7)，
∵E(−6, 1)，C(2, 5)，
∴N(0, −1)；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为(−4, 1)；
综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为(−1, 11)或(−7, 3)或(−4, −1)或(0, −1)．
【考点】
反比例函数综合题
【解析】
（1）解方程x2−7x−8＝0得：x＝8，或x＝−1，得出OA＝8，A(−8, 0)，代入y=
1
2
x+b求出b＝4，即可得出B(0, 4)；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB=√OA2+OB2=4√5，过点C作CH⊥x轴于
H，则CH // OB，由平行线得出△AOB∽△AHC，得出OB
CH =AB
AC
=OA
AH
，求出CH＝5，AH
＝10，得出OH＝2，C(2, 5)，代入双曲线切线k＝10即可；
（3）分两种情况：①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为(−1, 11)或(−7, 3)；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，由矩形的性质和相似三角形的判定与性质得出点N的坐标为(−4, −1)或(0, −1)．
【解答】
解方程x2−7x−8＝0得：x＝8，或x＝−1，
∵线段OA的长是方程x2−7x−8＝0的一个根，
∴OA＝8，∴A(−8, 0)，
代入y=1
2
x+b得：−4+b＝0，
∴b＝4
∴B(0, 4)；
在Rt△AOB中，OA＝8，OB＝4，
∴AB=√OA2+OB2=√82+42=4√5，
过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示：
则CH // OB，
∴△AOB∽△AHC，
∴OB
CH =AB
AC
=OA
AH
，
即4
CH =√5
5√5
=8
AH
，
解得：CH＝5，AH＝10，
∴OH＝10−8＝2，
∴C(2, 5)，
∵双曲线y=k
x
(k≠0, x>0)经过点C，
∴k＝2×5＝10；
存在，理由如下：
分两种情况：
①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC 交直线l于M，如图2所示：
则EG // OB，
∴△AGE∽△AOB，
∴EG
OB =AG
AO
=AE
AB
=√5
4√5
=1
4
，
∴EG=1
4OB＝1，AG=1
4
AO＝2，
∴OG＝8−2＝6，
∴E(−6, 1)，
∵EM⊥AC，
∴设直线EM的解析式为y＝−2x+c，
把点E(−6, 1)代入得：12+c＝1，
解得：c＝−11，
∴直线EM的解析式为y＝−2x−11，
当y＝7时，7＝−2x−11，
∴x＝−9，
∴M(−9, 7)，
∵C(2, 5)，
∴点N的坐标为(−1, 11)；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为(−7, 3)；
②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如图3所示：
则∠EGM＝∠MHC＝90∘，EG＝7−1＝6，CH＝7−5＝2，
∵四边形EMCN是矩形，
∴∠EMC＝90∘，
由角的互余关系得：∠GEM＝∠HMC，
∴△EGM∽△MHC，
∴GM
CH =EG
MH
，
∴GM⋅MH＝CH⋅EG＝2×6＝12，
又∵GM+MH＝6+2＝8，
∴GM＝2，MH＝6，
∴M的坐标为(−4, 7)，
∵E(−6, 1)，C(2, 5)，
∴N(0, −1)；
当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为(−4, 1)；
综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为(−1, 11)或(−7, 3)或(−4, −1)或(0, −1)．。