江西省2023-2024学年九年级上学期期末数学试题及参考答案

江西省2024届九年级期末综合评估
数学
上册第21章下册第27章
说明：共有六个大题、23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1.江西气象台发布的天气预报显示，明天江西某地下雪的可能性是75%．则“明天江西某地下雪”（
）A.是必然事件
B.是不可能事件
C.是随机事件
D.无法确定是何种事件
2.若
23m n =，则m n n +等于（）A.53 B.35 C.2
3 D.13.在反比例函数3k y x -=
的图象上有()()121,,2,A y B y --两点，且12y y >，则k 的取值范围是（）A.0k < B.0k > C.3k < D.3
k >4.出于安全考虑，某村庄准备在新修的道路转弯处加一个如图所示的正三角形的警示牌，用来提醒过往车辆注意安全，已知警示牌的边长为20cm,经过一段时间的使用发现此警示牌的效果不够明显，于是将此警示牌的边长扩大为原来的2倍，那么扩大后的警示牌的面积是（）
A.2
B.2
C.2
D.2
5.如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度y （m ）与运动时间x （min ）的运动路线图的一部分，它可以近似地看作抛物线2y ax x c =++的一部分，其中OA 表示跳台的高度，50m OA =，PD 为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q 时，点Q 的坐标为()60,20，则该运动员在空中到达的最大高度PD 的长为（）
A.65m
B.60m
C.55m
D.50m
6.如图，AD BC ∥，90 2.68ADC AD BC DC ∠==== ，，．若在直线CD 上有一点P ．使点,,P A D 组成的三角形与PBC 相似，且相似比不为1．则这样的点P 有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.请写出一个k 的值，使得反比例函数k y x
=的图象位于第一、第三象限：________．8.如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为DC 延长线上的一点．若62BCE ∠= ．则BAD ∠的度数是________．
9.如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为______．
10.已知,a b 是223x x +=的两个根则ab 的值为________．
11.四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点F 、窥衡杆与四分仪的一边BC 交于点H ．如图2，四分仪为正方形ABCD ．方井为矩形BEFG ．若测量员从四分仪中读得AB 为0.8.BH 为0.4实地测得BE 为2，则井深BG 为________．
12.如图，在平面直角坐标系中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()5,0-，点C 在x 轴上方，且ABC 是等腰直角三角形，若反比例函数k y x
=的图象经过点C ．则k 的值为________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程2:0x x -=．
（2）如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转50 后得到A OB ''△，若15AOB ∠= ．求AOB '∠的度数
14.如图正比例函数3y x =的图象与反比例函数k y x
=的图象相交于,A B 两点，且点A 的坐标为()1,a ．
（1）求反比例函数的解析式
（2）根据图象填空：点B 的坐标为．关于x 的不等式3k x x ≥解集为．
15.某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读活动，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，诵读的篇目有四种类型：A ．人生哲理；B ．家国情怀；C ．励志劝勉；D ．山明水秀．参与者需从这四种类型中随机抽取一种进行诵读．
（1）若小贤参加“单人项目”，则他抽中的恰好是“B ．家国情怀”的概率为．
（2）小凡和小欣参加“双人项目”，比赛规定：参加“双人项目”的两位同学，一位同学先抽，不放回，另一位同学再抽，且每人只能抽取一次，请用画树状图或列表的方法，求他们恰好抽到“A ．人生哲理”和“C ．励志劝勉”的概率．
16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010⨯的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的ABC ．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）以点C 为位似中心，在图1中画出11A B C ，使ABC 与11A B C 的对应比为1:2．且点1A 在AC 的延长线上．
（2）在图2中画出EDC △．,ABC EDC ∽且CDE 的周长是ABC 长的3倍．
17.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架()EF 放在离树()AB 适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架()EF 上的点E 处，然后沿着直线BF 后退至点D 处，
这时恰好在镜子里看到树的顶端A ．再用皮尺分别测量,,,BF DF EF ，观测者目高()CD 的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD BD ⊥于点D ，EF BD ⊥于点.F AB BD ⊥于点,6B BF =米，
2DF =米．0.55EF =米， 1.65CD =米，求这棵树的高度（AB 的长）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强()Pa P 与气球体积()3
m V 之间成反比例关系，其图象如图所示
（1）求()Pa P 与()3
m V 之间的函数解析式．（2）当22m V =时．求P 的值．
（3）当气球内的气压大于36000Pa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于3m a ，请直接写出a 的值．
19.课本再现
如图．在ABC 中，CD 是边AB 上的高．AD CD CD BD
=．
（1）求ACB ∠的度数．
（2）拓展延伸：若 5.4AC CD ==，求BC 的长．
20.如图．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0k y x x
=<图象经过四边形OABC 的顶点A ．对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ，4AOD S = ，且OBC AOD ∠=∠．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）1322
AD CD OD =⋅=求点B 的坐标．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.如图1，AB 是O 的一条弦，BC 是O 的切线．AD 是O 的直径．E 是AB 上一动点，过点E 作直线EF AD ⊥于点G ，交BC 于点H ．
（1）求证BH EH =．
（2）如图2，若E 是AB 的中点．8AB =，103
BH =，求AG 的长．六、解答题（本大题共12分）
22.综合与实践
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“相似”主题下设计的问题，请你解答
【问题情境】
在ABC 中，,A B A C D =是BC 边上一点，ADE B ∠=∠，DE 与AC 交于点E ．
【初步探究】
（1）如图1，若DE AB ∥，EF AD ⊥于点F ．
①求证2AB BD BC =⋅．②求DF CD
的值．【拓展延伸】
（2）如图2，G 是DE 延长线上一点，若,GA AD GD GC ⊥=已知10,16AB BC ==，求BD 的长
江西省2024届九年级期末综合评估
数学
上册第21章下册第27章
说明：共有六个大题、23个小题，满分120分，作答时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分．
1.江西气象台发布的天气预报显示，明天江西某地下雪的可能性是75%．则“明天江西某地下雪”（
）A.是必然事件 B.是不可能事件
C.是随机事件
D.无法确定是何种事件
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，掌握每种事件的概念即可解题．
【详解】解：因为明天江西某地下雪的可能性是75%，不是一定下雪，也不是一定不下雪，所以明天江西某地下雪是随机事件．
故选：C ．
2.若23m
n =，则m n
n +等于（）A.53 B.3
5 C.2
3 D.1
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用已知用同一未知数表示出n ，m 的值，进而化简得出答案．【详解】解：∵2
3m n =，
∴设2m a =，则3n a =，则2
35
33m n a a
n a ++==．
故选：A ．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握分式的约分是解题的关键．
3.在反比例函数3k
y x -=的图象上有()()121,,2,A y B y --两点，且12y y >，则k 的取值范围是（）
A.0
k < B.0k > C.3k < D.3
k >【答案】D
【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用反比例函数图象增减性得到30k -<是解题的关键．
【详解】解：由题意得：点A B ，在同一象限，且y 随x 的增大而增大，
所以30k -<，
解得：3k >，
故选:D ．
4.出于安全考虑，某村庄准备在新修的道路转弯处加一个如图所示的正三角形的警示牌，用来提醒过往车辆注意安全，已知警示牌的边长为20cm,经过一段时间的使用发现此警示牌的效果不够明显，于是将此警示牌的边长扩大为原来的2倍，那么扩大后的警示牌的面积是（）
A.2
B.2
C.2
D.2
【答案】A
【解析】【分析】本题考查三角形的面积，相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，
∵ABC 为等边三角形，
∴60B ∠=︒，
又∵AD BC ⊥，
∴30BAD ∠=︒，
∴110cm 2BD AB =
=，
∴AD ===，
∴21202ABC S =
⨯⨯= ，由题可知扩大前后的两个图形是相似形，相似比为1:2，
∴面积比为1:4，
∴扩大后的面积为2，
故选A ．
5.如图，这是某运动员在单板滑雪大跳台中的高度y （m ）与运动时间x （min ）的运动路线图的一部分，它可以近似地看作抛物线2y ax x c =++的一部分，其中OA 表示跳台的高度，50m OA =，PD 为该运动员在空中到达的最大高度，若该运动员运动到空中点Q 时，点Q 的坐标为()60,20，则该运动员在空中到达的最大高度PD 的长为（
）
A.65m
B.60m
C.55m
D.50m
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，把点A 的坐标确定，代入解析式，确定抛物线，求出顶点坐标即可．
【详解】根据题意，得()
0,50A ，把()0,50A ，()60,20Q 分别代入解析式，得3600602050a c c ++=⎧⎨=⎩
，解得14050
a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故抛物线解析式为215040y x x =-
++，故()21405040y x x =--+
()21206040
x =--+，故顶点坐标为()20,60，
故最大高度为60m ，
故选B ．
6.如图，AD BC ∥，90 2.68ADC AD BC DC ∠==== ，，．若在直线CD 上有一点P ．使点,,P A D 组成的三角形与PBC 相似，且相似比不为1．则这样的点P 有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】C
【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据已知可分两种情况讨论，①PAD PBC ∽，②APD PBC ∽△△，在这两种情况下，设PD x =，需注意分以下情况讨论，当P 在线段CD 上，当P 在线段CD 延长线上，当P 在线段DC 延长线上，再根据相似三角形，对应线段成比例，建立等式，即可解题．
【详解】解：AD BC ∥ ，90ADC ∠= ，
90PAD ∴∠=︒，
下面分两种情况讨论：
①PAD PBC ∽，
AD PD BC PC
∴=， 2AD =，6BC =，8DC =，
设PD x =，
下面分三类讨论，
当P 在线段CD 上，则8PC x =-，
268x x
∴=-，解得2x =，当P 在线段CD 延长线上，则8PC x =+，
268x x
∴=+，解得4x =，当P 在线段DC 延长线上，则8PC x =-，
268
x x ∴=-，解得4x =-（舍去），②APD PBC ∽△△，
AD PD PC BC
∴=，设PD x =，
下面分三类讨论，
当P 在线段CD 上，则8PC x =-，
286
x x ∴=-，解得12x =，26x =，当26x =时，相似比为1，不符合题意，舍去，当P 在线段CD 延长线上，则8PC x =+，
2
86
x x ∴=+，解得14x =，24x =-（舍去），当P 在线段DC 延长线上，则8PC x =-，2
86x x ∴
=-，解得14x =，24x =-+（舍去），综上所述，这样的点P 有4个，
故选：C ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.请写出一个k 的值，使得反比例函数k y x =
的图象位于第一、第三象限：________．【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．【详解】解：∵反比例函数k y x
=
的图象位于第一、第三象限，∴0k >，
故答案为：1．
8.如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为DC 延长线上的一点．若62BCE ∠= ．则BAD ∠的度数是________．
【答案】62︒
【解析】
【分析】本题考查圆的内接四边形对角互补，掌握性质即可解题．
【详解】解： 四边形ABCD 内接于O ，
180BAD BCD ∴∠+∠=︒，
62BCE ∠= ，
118BCD ∴∠=︒，
62BAD ∴∠=︒，
故答案为：62︒．
9.如图，直线123l l l ∥∥，直线AC 和DF 被直线1l 、2l 、3l 所截，2AB =，5BC =，6EF =，则DE 的长为______．
【答案】
125
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解： 直线123l l l ∥∥，
AB DE BC EF
∴=，2AB = ，5BC =，6EF =，
256
DE ∴=，
125DE ∴=，故答案为：125
．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
10.已知,a b 是223x x +=的两个根则ab 的值为________．
【答案】3
-【解析】
【分析】此题考查的是一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程解的定义和一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键．
【详解】解：由223x x +=可得2230x x +-=，
∵,a b 是方程的两根，
∴3ab =-，
故答案为：3-．
11.四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点F 、窥衡杆与四分仪的一边BC 交于点H ．如图2，四分仪为正方形ABCD ．方井为矩形BEFG ．若测量员从四分仪中读得AB 为0.8.BH 为0.4实地测得BE 为2，则井深BG 为________．
【答案】3.2
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，能得出ABH FEH ∽是解题的关键．
【详解】解：依题意，AB EF ，
∴ABH FEH ∽，
∴AB BH EF EH
=，∵测量员从四分仪中读得AB 为0.8，BH 为0.4，实地测得BE 为2．∴
0.80.420.4EF =-解得： 3.2EF =，
∴ 3.2BG =，
故答案为：3.2．
12.如图，在平面直角坐标系中点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()5,0-，点C 在x 轴上方，且ABC 是等腰直角三角形，若反比例函数k y x
=的图象经过点C ．则k 的值为________．
【答案】4-，20-，6
-【解析】
【分析】本题考查图形和坐标，等腰三角形的性质，利用分类讨论求出点C 的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()5,0-，
∴()154AB =---=，
当A ∠为直角时，则点C 的坐标为()1
4-，，∴144k =-⨯=-，
当B ∠为直角时，则点C 的坐标为()54-，
，∴5420k =-⨯=-，
当C ∠为直角时，则点C 的坐标为()32-，
，∴326k =-⨯=-，
综上所述k 的值为4-，20-，6-，
故答案为：4-，20-，6-．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程2:0x x -=．
（2）如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转50 后得到A OB ''△，若15AOB ∠= ．求AOB '∠的度数
【答案】（1）10x =，21x =（2）35︒
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程和旋转的性质，解题的关键明确对应边旋转前后的夹角是旋转角．（1）运用因式分解法解题即可；
（2）根据旋转的性质可知，旋转角等于50︒，从而可以得到BOB '∠的度数，由15AOB ∠=︒可以得到的AOB '∠度数．
【详解】解：（1）20x x -=，
(1)0-=x x ，
解得：10x =，21x =；
（2）解：∵将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转50 后得到A OB ''△，
∴50BOB ∠=' ，
又∵15AOB ∠= ，
∴501535AOB BOB AOB ''∠=∠-∠=-= ．
14.如图正比例函数3y x =的图象与反比例函数k y x
=的图象相交于,A B 两点，且点A 的坐标为()1,a ．
（1）求反比例函数的解析式
（2）根据图象填空：点B 的坐标为
．关于x 的不等式3k x x ≥解集为．
【答案】（1）3
y x =（2）()1
3--，；10x -≤<或1x ≥【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题、用待定系数法求反比例函数解析式，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
（1）先将点()1,a 代入正比例函数3y x =中求得3a =，再根据待定系数法即可求解；
（2）联立两解析式求得()1
3B --，，分析题意可得要求当反比例函数的值小于等于正比例函数的值时x 的取值范围，结合图象即可求解．
【小问1详解】
解：∵点()1,a 在正比例函数3y x =的图象上，
∴313a =⨯=，
∴()1
3A ，，∵反比例函数k y x =
的图象过点()13A ，，∴133k =⨯=，∴反比例函数的表达式为3y x
=
；【小问2详解】解方程组33y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，得：13x y =⎧⎨=⎩，13x y =-⎧⎨=-⎩
，∴点B 的坐标为()1
3--，；∵3k x x
≥，即反比例函数的值小于等于正比例函数的值，∴结合函数图象可知，此时10x -≤<或1x ≥．
故答案为：()1
3--，；10x -≤<或1x ≥．15.某校举办了以“弘扬传统文化，品经典国学”为主题的诵读活动，分“单人项目”和“双人项目”两种
形式，诵读的篇目有四种类型：A ．人生哲理；B ．家国情怀；C ．励志劝勉；D ．山明水秀．参与者需从这四种类型中随机抽取一种进行诵读．
（1）若小贤参加“单人项目”，则他抽中的恰好是“B ．家国情怀”的概率为．
（2）小凡和小欣参加“双人项目”，比赛规定：参加“双人项目”的两位同学，一位同学先抽，不放回，另一位同学再抽，且每人只能抽取一次，请用画树状图或列表的方法，求他们恰好抽到“A ．人生哲理”和“C ．励志劝勉”的概率．
【答案】（1）
14
（2）16【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：小贤参加“单人项目”，他抽中的可能有4种结果，他们是等可能性的，他抽中的篇目恰好属于“B ．家国情怀”有1种可能，即概率为
14
；【小问2详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中他们恰好抽到“A ．人生管理”和“C ．励志劝勉”类篇目的结果数为2；所以他们恰好抽到“A ．人生管理”和“C ．励志劝勉”类篇目的概率为21126
=．16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010⨯的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的ABC ．请仅用无刻度的直尺完成以下作图．
（1）以点C 为位似中心，在图1中画出11A B C ，使ABC 与11A B C 的对应比为1:2．且点1A 在AC 的延长线上．
（2）在图2中画出EDC △．,ABC EDC ∽且CDE 的周长是ABC 长的3倍．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作相似三角形和维斯图形，熟练掌握位似图形的位置是解题的关键．
（1）根据位似的性质找到对应点1A ，1B 顺次连接即可求解；
（2）作相似三角形，使得相似比为3:1即可．
【小问1详解】
如图，11A B C 即为所作；
【小问2详解】
如图，EDC △即为所作．
17.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架()EF 放在离树()AB 适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架()EF 上的点E 处，然后沿着直线BF 后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A ．再用皮尺分别测量,,,BF DF EF ，观测者目高()CD 的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知CD BD ⊥于点D ，EF BD ⊥于点.F AB BD ⊥于点,6B BF =米，
2DF =米．0.55EF =米， 1.65CD =米，求这棵树的高度（AB 的长）．
【答案】这棵树的高度为3.85米
【解析】
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
过点E 作水平线交AB 于点G ，交CD 于点H ，根据镜面反射的性质求出CHE AGE ∽，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】解：过点E 作水平线交AB 于点G ，交CD 于点H ，如图，
∵DB 是水平线，,,CD EF AB 都是铅垂线，
0.55DH EF GB ∴===米，2EH DF ==米，6EG FB ==米，
1.650.55 1.1CH CD DH ∴=-=-=(米)，
又根据题意，得90,CHE AGE ∠=∠=︒CEH AEG ∠=∠，
CHE AGE ∴ ∽，
EH CH EG AG ∴=，即2 1.16AG
=，解得： 3.3AG =米，
3.30.55 3.85AB AG GB ∴=+=+=(米)，
答：这棵树的高度为3.85米．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强()Pa P 与气球体积()3
m V 之间成反比例关系，其图象如图所示
（1）求()Pa P 与()3
m V 之间的函数解析式．（2）当22m V =时．求P 的值．
（3）当气球内的气压大于36000Pa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于3m a ，请直接写出a 的值．
【答案】（1）18000P V
=
（2）9000Pa
（3）0.5
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出解析式是解决此题的突破口．（1）设出反比例函数的解析式，代入点的坐标，即可解决；
（2）由题意可得22m V =，代入到解析式中即可求解；
（3）为了安全起见，36000Pa P ≤，列出关于a 的不等式，解不等式，即可解决．
【小问1详解】解：设这个函数解析式为：m P V
=，代入点的坐标()1.512000，得， 1.51200018000m =⨯=，∴这个函数的解析式为18000P V =
；【小问2详解】
当22m V =时，180009000Pa 2P =
=；【小问3详解】
∵气球内气体的压强大于36000Pa 时，气球将爆炸，
∴为了安全起见，36000Pa P ≤，∴1800036000V
≤，∴30.5m V ≥，
又∵a 为最小值，
∴为了安全起见，a 的值为0.5．
19.课本再现
如图．在ABC 中，CD 是边AB 上的高．AD CD CD BD
=．
（1）求ACB ∠的度数．
（2）拓展延伸：若 5.4AC CD ==，求BC 的长．
【答案】（1）90ACB ∠=︒
（2）203
BC =
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握两边成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．
（1）证明ACD CBD △∽△，既可以得到A BCD ∠=∠，进而得到结果；
（2）先根据勾股定理得到AD 的长，然后根据ACD CBD △∽△，得到
BC CD AC AD =，代入数值计算即可．【小问1详解】
∵CD 是边AB 边上的高，
∴90ADC CDB ∠=∠=︒.∵AD CD CD BD
=，∴ACD CBD △∽△，
∴A BCD ∠=∠，
在ACD 中，90ADC ∠=︒，
∴90A ACD ∠+∠=︒，
∴90BCD ACD ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒；
【小问2详解】
解：∵ 5.4AC CD ==，
∴3AD ===，
∵ACD CBD △∽△，∴
BC CD AC AD =，即453BC =，解得：203BC =．20.如图．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数()0k y x x
=<图象经过四边形OABC 的顶点A ．对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ，4AOD S = ，且OBC AOD ∠=∠．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）1322
AD CD OD =⋅=求点B 的坐标．【答案】（1）8
y x
=-
（2）60,3B ⎛+ ⎝⎭
【解析】
【分析】（1）本题考查利用反比例函数图象上的点与坐标轴构成的三角形面积等于2k ，即可求解．
（2）本题考查相似三角形的性质和判定，设3AD a =，利用1322
AD CD OD =⋅=和4AOD S = ，得出AD 、OD 、CD ，再结合题干的条件证明DBC DOA ∽△△，利用相似比得出BD ，即可解题．
【小问1详解】
解：4AOD S = ，AC 平行于x 轴，交y 轴于点D ，
28AOD k S ∴== ，
反比例函数()0k y x x
=<图象在第二象限，0k ∴<，则8k =-，
8y x
∴=-．【小问2详解】
解： 对角线AC x ∥轴，交y 轴于点D ，4AOD S = ，
90ADO CDB ∴∠=∠=︒
1322
AD CD OD =⋅= ，3CD ∴=，
设3AD a =，则2OD a =，故
2342a a ⋅=，解得1233a =，23a =-（舍去），
AD ∴=
，OD =，OBC AOD ∠=∠ ，
DBC DOA ∴∽△△，
OD AD DB CD ∴=，即432333
DB =，解得2DB =，故6433OB OD DB +=+=，6430,3B ⎛⎫+∴ ⎪ ⎪⎝
⎭．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.如图1，AB 是O 的一条弦，BC 是O 的切线．AD 是O 的直径．E 是AB 上一动点，过点E 作直线EF AD ⊥于点G ，交BC 于点H ．
（1）求证BH EH =．
（2）如图2，若E 是AB 的中点．8AB =，103BH =
，求AG 的长．【答案】（1）见解析
（2）163
AG =【解析】【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质和判定和切线的性质，连接OB ，利用切线性质和等角的余角相等，再结合题干的条件证明HBE HEB ∠=∠，即可解题．
（2）本题考查等腰三角形性质、勾股定理和相似三角形的性质和判定，作HM BE ⊥于点M ，利用等腰三角形性质、勾股定理和题干的条件，求得HM 、BM 、EM 、AE ，再证明AGE HME ∽△△，利用相似比，即可解题．
【小问1详解】
解：连接OB ，如图所示：
BC 是O 的切线．
90OBH ∴∠=︒，
90HBE OBA ∴∠+∠=︒，
直线EF AD ⊥于点G ，有90A GEA ∠+∠=︒，
GEA HED ∠=∠ ，
90A HEB ∴∠+∠=︒，
OA OB = ，
A OBA ∴∠=∠，
HBE HEB ∴∠=∠，
BH EH ∴=．
【小问2详解】
解：作HM BE ⊥于点M
，如图所示：
90HMB HME ∴∠=∠=︒，
BH EH = ，
BM EM ∴=，
E 是AB 的中点，8AB =，
4AE BE ∴==，
2BM EM ∴==，
103
BH =
，83
HM ∴==，90AGE HME ∠=∠=︒ ，则AEG HEM ∠=∠，
AGE HME ∴∽△△，
AE AG ME HM ∴=，有4823AG =，解得163AG =．六、解答题（本大题共12分）
22.综合与实践
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“相似”主题下设计的问题，请你解答
【问题情境】
在ABC 中，,A B A C D =是BC 边上一点，ADE B ∠=∠，DE 与AC 交于点E ．
【初步探究】
（1）如图1，若DE AB ∥，EF AD ⊥于点F ．
①求证2AB BD BC =⋅．②求DF CD
的值．【拓展延伸】
（2）如图2，G 是DE 延长线上一点，若,GA AD GD GC ⊥=已知10,16AB BC ==，求BD 的长
【答案】（1）①见解析②12（2）9【解析】
【分析】（1）①根据平行的等边对等角得到BAD C ∠=∠，再根据公共角B B ∠=∠，证明BAD BCA ∽，即可得到结论；②过点E 作EN CD ⊥于点，证明DEF DEN ≌，即可解题；
（2）过点A 作AF BC ⊥于点F ，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点G 作GH DC ⊥于点H ，得出4cos cos 5ADG B ∠==，然后推导ADM DGH ∽，得到AD AM DG DH
=，即可解题．【详解】（1）①证明：∵DE AB ∥，
∴BAD ADE ∠=∠，
又∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
又∵ADE B ∠=∠，
∴BAD C ∠=∠，
∵B B ∠=∠，
∴BAD BCA ∽，∴BA BD BC BA
=，即2AB BC BD =⋅；②证明：如图，过点E 作EN CD ⊥于点，
∵DE AB ∥，
∴B EDC ∠=∠，
由①知B C ∠=∠，
C EDC ∴∠=∠，
∴ED EC =，
EN CD ⊥ ，
2CD DN ∴=，
ADE B ∴∠=∠，
ADE EDC ∴∠=∠，
又EN CD ⊥ ，EF AD ⊥，
∴90,
DFE DNE ∠=∠=︒又∵DE DE =，
DEF DEN ∴ ≌，
DF DN ∴=，∴1222
DF DF DF CD DN DF ===；
（2）过点A 作AF BC ⊥于点F ，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点G 作GH DC ⊥于点H ，
设BD y =，则16CD y =-，
∵10,16AB AC BC ===，
∴8BF CF ==，∴4cos 5
BF B AB ==，在Rt BDM 中，4cos 5
BM BD B y =⋅=，
∴4105
AM y =-，在DCG 中，DG GC GH DC =⊥，，∴()111622
DH DC y ==-，在Rt ADG 中，GA AD ⊥，
∴90GAD ∠=︒，∴4cos cos 5
AD ADG B DG ∠===，∵ADC B DAM ADG GDC ∠=∠+∠=∠+∠，且B ADG ∠=∠，
∴DAC GDC ∠=∠，
又∵DM AB ⊥，GH DC ⊥，
∴90AMD DHG ∠=∠=︒，
∴ADM DGH ∽，∴AD AM DG DH =，即()4104515162y y -
=-，解得：9y =，
∴9BD =．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．。