人教版八年级数学下册第17章 章末小结与提升

章末小结与提升
重难点突破
类型1 勾股定理
1.如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边的垂线，垂足分别为D，E，F，已知AB=AC=10，BC=12，且PD∶PE∶PF=1∶3∶3，则AP的长为( B )
A. B. C.7 D.8
2.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于3或2.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，DC=4，∠A=60°，∠D=150°，试求BC的长度.
解:连接BD.
∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=3，∠ADB=60°.
又∵∠ADC=150°，
∴∠CDB=∠ADC-∠ADB=150°-60°=90°.
∵DC=4，∴BC==5.
类型2 勾股定理的逆定理
4.在△ABC中，若a=n2-1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是( D )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
5.已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB=13，AC=8，则BD2-DC2=105 .
6.如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13.求证:AB⊥AD.
证明:延长AD至点E，使DE=AD，连接CE，BE.
∵D为边BC的中点，∴CD=BD.
又∵AD=DE，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=13.
在△ABE中，AE=2AD=12，∴AE2+AB2=122+52=169.
又∵BE2=132=169，∴AE2+AB2=BE2，
∴△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，
即AB⊥AD.
类型3 勾股数
7.若3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a+b的值是17 .
8.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组:( 3，4，5 )，( 5，12，13 )，( 7，24，25 )，…分析上面勾股数组可以发现，4=1×( 3+1 )，12=2×( 5+1 )，24=3×( 7+1 )，…分析上面规律，第5个勾股数组为( 11，60，61 ) .
类型4 原命题与逆命题
9.下列命题:①若>1，则a>b;②若a+b=0，则|a|=|b|;③等边三角形的三个内角都相等;④底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的有( A )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.命题“若a，b互为倒数，则ab=1”的逆命题是若ab=1，则a，b互为倒数.
11.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题. 【解析】“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上”.此逆命题为真命题.
已知:如图，CA=CB.
求证:点C在线段AB的垂直平分线上.
证明:过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ADC和Rt△BDC中，
∴Rt△ADC≌Rt△BDC，∴AD=BD，
∴CD垂直平分AB，即点C在线段AB的垂直平分线上.
初高中知识衔接
1.如果△ABC的三边分别为a，b，c.
( 1 )求证:a2+c2-2ac<b2;
( 2 )当a2c2-b2c2=a4-b4时，试判断△ABC的形状.
解:( 1 )过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，b2=CD2+AD2，
在Rt△BCD中，CD2=a2-BD2，
∴b2=a2-BD2+( c-BD )2，
∴a2+c2-2c·BD=b2.
∵BD<a，∴a2+c2-2ac<b2.
( 2 )∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴c2( a2-b2 )-( a2+b2 )( a2-b2 )=0，
∴( a2-b2 )( c2-a2-b2 )=0，
∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0，
∴a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.。