高二人教A版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法
高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》教案2 新人教A版必修5
课题：3.2一元二次不等式及其解法（2）
【学习目标】
1．知识与技能：理解一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续探究一元二次不等式解法的步骤和过程。
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情感、态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想
【学习重点】熟练掌握一元二次不等式的解法
【学习难点】理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【授课类型】新授课
课后反思：
高二数学教·学案
【学习目标】
通过进一步探究一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，研究含有参数的一元二次不等式的解法，提高分析问题和解决问题的能力。
【学习重点】
含参数的一元二次不等式的解法
【学习难点】
含参数的一元二次不等式的解法
【授课类型】新授课
【学习方法】讲练结合法。
2020年高二人教A版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法1
课题: §3.2一元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->； 当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。
高二人教A版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法
一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.［例题剖析］ 例1解下列不等式（1）022<--x x （2）01652<-+-x x（3）0122<-+-x x （4）0962≤+-x x（5）01062≤++x x （6）0222<---x x 课本80页练习例2已知不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131|x x 试解不等式022>-+-a x cx变式：已知的大小）与（）比较（的值）求（的正负）确定（）的解集是（）（且)7(f 5f 3ab -c 2a 14,20f ,)(2-<++=x c bx ax x f。
人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)
3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <b a .若a ＝0，b <0，解集为R ；b ≥0，解集为∅. 2．三个“二次”的关系通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)． 不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 － ＋ ＋ ＋ x －2 － － ＋ ＋ x －3 － － － ＋(x －3)(x －2)·(x －1) － ＋ － ＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}． 一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解 原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布 二次函数的图象 充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解 原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解 原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}； 当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ； 当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}； 当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅； 当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析 题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布 方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用 方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项 调整前 调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解 设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8， 所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0， 对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立． 当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0， 即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0， 解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0， 即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ， 代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例 解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解 方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二 设lg x －1＝t ， 则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三 解方程lg x －1＝3－lg x ， 解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数． 且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )， 则10≤x ≤100.方法四 令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示： 易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )． 即lg x －1≤3－lg x 成立． 由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2， 解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析 本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x <b a ＋1， 其中含三个整数，∴－3≤b 1－a <－2,2<ba －1≤3.∴2a －2<b ≤3a －3.∴{ 3a －3≥b >0，a －2<b <a ＋1，∴{ a >1，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析 本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学《3.2 一元二次不等式及其解法(一)》教案 新人教A版必修5
福建省长乐第一中学高中数学必修五《3.2 一元二次不等式及其解法（一）》教案教学要求：正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程. 教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法.教学难点：理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程吗？2、比较的大小：二、讲授新课：1、教学不等式的解集①若判别式，设方程的二根为，则：时，其解集为；时，其解集为.②若，则有：时，其解集为；时，其解集为.③若，则有：时，其解集为；时，其解集为..④一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关，从而可数形结合法分析其解集.我们由此总结出解一元二次不等式的三部曲“方程的解→函数草图→观察得解”⑤简单的无理不等式的解法的关键是将无理不等式化为有理不等式。
2、教学例题：①出示例1：求不等式的解集.（解方程→给出图象→学生板演）②变式训练：求不等式的解集.③变式训练：求不等式的解集.④出示例2：求不等式（方程的解→函数草图→观察得解）⑤出示例3：已知的解集为，试求的值，并解不等式（将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来）⑥变式训练：已知不等式的解集为，且，求不等式的解集.3、小结：不等式的解集情况，解一元二次不等式的三步曲.三、巩固练习：1、求不等式的解集.2、不等式的解集是，则的值是_________3、作业：教材P90 1、4题.。
人教A版-数学-高二上册必修5-含参数的一元二次不等式的解法-教学设计
教学设计学段：高中学科：数学课题：含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式解法一、教学目标1.知识目标：在一元二次不等式的解法学习的基础上，使学生掌握解含参数的一元二次不等式时分类讨论的标准有三个：二次项系数、判别式、根的大小，在具体题目中根据要求准确解决问题。
2.能力目标：通过图像法渗透数形结合、分类讨论，化归等数学思想，培养学生动手能力，观察分析能力，抽象概括等能力，提升学生逻辑推理、数学抽象及数学运算等学科核心素养。
3.情感、态度与价值观目标：通过学生对参数不重不漏的讨论，培养学生理性思维，激发学生超越自我的潜力，提高数学学习兴趣。
二、学情分析在本节课之前学生学习了一般的一元二次不等式的解法，了解了一元二次方程、二次函数及一元二次不等式间的关系，本节课利用讲授法，结合数形结合思想，将知识具体化、实际化，这样既体现本节课的教学重点，又突破教学难点。
三、教学重、难点重点 : 使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。
难点 : 数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想的应用和理解，以及分类讨论的标准。
四、教学过程设计（一）复习回顾1.一元二次不等式的解题步骤：一化（将一元二次不等式化为一端为0，而且二次项系数为正的不等式）；→二求（求对应方程的∆，进而求出对应方程的根）；→三画（画出对应二次函数的图象，标根）；→四写（根据二次函数图象，数形结合，写出不等式的解集）。
（二）新知探究1．含参数的一元二次不等式的解题步骤在解含参数的一元二次型不等式时，由于参数取值的不同会导致不等式解集的不同，因此需对参数进行分类讨论，为做到不重不漏，需考虑：(1)关于不等式类型的讨论：对二次项系数a>0, a=0, a<0的讨论；(2)关于对应方程的根讨论：对判别式∆>0, ∆=0, ∆<0讨论；(3)关于对应方程根大小的讨论：x1 >x2,x1=x2,x1<x2。
2．例题讲解例题1：解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.分析：(1)因为二次项系数含有参数a，所以先对二次项系数分类，分a=0与a≠0两大类；(2)当不等式为一元二次不等式时，对其∆进行讨论，确定不等式对应方程根的个数情况；(3)因为对应方程根1/a中含有参数a，因此要对两根1与1/a的大小分类讨论。
高中数学必修5第三章3.2一元二次不等式式及其解法
≤
3 2
或x
≥1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
思考题1
已知ax2 +2x
+c
>
0的解集为 禳镲睚x
-
1
<
x
<
1
,
镲铪 3 2
试求a, c的值，并解不等式 - cx2 +2x - a > 0。
解：对于任意实数x，
x2－2x+3=(x－1)2+2>0，
因此不等式（1）的解集为
实数集R，
y
3
不等式（2）无解，或说它 2
的解集为空集.
1
x
-1 O 1 2 3 -1
练习2．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式可化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
方程4x2+x－1=0的根是
一元二次不等式及其解法
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的不等式，叫一元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
2a
韦达定理
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
(2)二次函数
y ax2 bx c(a 0)
开口方向；
b 对称轴 x
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.2(二)一元二次不等式及其解法(二)
§3.2（二）
【学习目标】 1．能运用三个“二次”的关系解决有关的数学问题． 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型， 并加以解决．
本 讲 栏 目 开 关
3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 【学法指导】 1．利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题的切入点， 快速找到有效的解题途径． 2．解决有关一元二次不等式恒成立的问题，一方面，要充分 利用二次函数图象分析解决有关问题； 另一方面还应依具 体情况， 选择不同的字母作为自变量， 再利用图象分析解 决问题．
0<x1≤x2
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（二）
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
本 讲 栏 目 开 关
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x1－k· x2－k>0
Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2（二）
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0
本 讲 栏 目 开 关
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
{x|x∈R 且 b x≠－ } 2a
R
(a>0)的解集
∅
∅
2．解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式 变形 ，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2＋bx＋c>0 (a>0)，ax2＋bx＋c<0 (a>0)； (2)计算相应的 判别式 ； (3)当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
高二人教A版必修5系列教案：3.2一元二次不等式及其解法4 最新修正版
一元二次不等式及其解法（1）三维目标：一、知识与技能1、 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；2、 通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系（即“三个二”）；3、 会求解一元二次不等式，并从解法中归纳设计求解的程序框图。
二、过程与方法1、 采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2、 通过师的引导，充分发挥学生的主体作用，作好探究性实验；3、 理论联系实际，激发学生的学习积极性。
三、情感态度与价值观1、 通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；2、 通过研究函数、方程与不等式间的内在联系，使学生从中认识到事物间是相互联系、相互转化，密不可分的观点。
教学重点：1、 从实际问题中抽象出一元二次不等式的模型；2、 围绕一元二次不等式的解法展开探究，熟练掌握数形结合的思想与方法。
教学难点：“三个二次”间的相互转化的能力培养。
教具准备：多媒体及课件、三角板。
教学过程：一、 创设问题情境，导入新课（投影问题）教材P85互联网的收费问题从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)二、 新授课1、一元二次不等式的定义形如250x x -<，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2、探究一元二次不等式250x x -<的解集问题：怎样求不等式（1）的解集呢？引导学生回顾以前过的一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的关系。
进而探究：一元二次不等式与一元二次方程、二次函数间又有类似的关系？方程的根与函数的零点：方程有实数根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系易知：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。
高二人教版必修五系列教案一元二次不等式及其解法
［补充］
（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程） 参考答案：
1．不对。同 x = −2 时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。
2．（1）
x
−
5
x
15
2
2
（2）原不等式可化为： 3x − 2 0 ，即 x − 2 0
2x
解集为 x x 0或x 2。
（3）原不等式可化为 (x
号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本 P20 上关于不等式 (x + 4)( x −1) 0 求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次
不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该 问题．）
【答】因为满足不等式组
x x
+ −
−1)2 (x
−
2)
0
( x
− 1) 2
0
x − 2 0
解集为x x 2但x 1
（4）原不等式可化为
x −1 0 (x − 2)( x
−
3)
0
或
x −1 0 (x − 2)( x
−
3)
0
解集为 x1 x 2或x 3
（5）原不等式可化为：
x2
−2 1 −
0
2x2
−x−6
0
2x2
−x−60
抓住相应二次函数 y = ax 2 + bx + c(a 0) 的图像。
课本第 19 页上的例 1．例 2．例 3．它们均是求解二次项系数 a 0 的一元二次不等式， 却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课 本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。
高中数学必修五教案-3.2 一元二次不等式及其解法(6)-人教A版
3.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1、知识与技能目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可转化为一元一次不等式组；（3）会利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，并理解它们三者之间的内在联系；2、过程与方法目标：通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式，向学生渗透数形结合、等价转换、函数与方程等基本数学思想；3 、情感、态度与价值观目标：通过研究函数、方程与不等式三者的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证唯物观。
．【教学重点】重点是一元二次不等式的解法．【教学难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．【教学过程设计】教学环节教学活动设计意图创设情景问题：①解方程023=+x; ②作函数y=3x+2的图像; ③解不等式023>+x。
>a0<a一次函数)0(≠+=abaxy的图像一元一次方程=+bax的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=abxx⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=abxx一元一次不等式>+bax的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧->abxx⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<abxx一元一次不等式<+bax的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<abxx⎭⎬⎫⎩⎨⎧->abxx在解决上述三个问题的基础上分析一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,回答能否通过观察一次函数的图像来求一元一次不等式的解？【答】二次函数c bx ax y ++=2的图像开口向上且分别与x 轴交于两点，一点及无交点。
现在请同学们观察表中的二次函数图像，并写出相应一元二次不等式的解。
ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像02=++c bx ax 的根 ab x 22,1∆±-=ab x x 221-== ∅02>++c bx ax 的解02<++c bx ax 的解【答】02>++c bx ax 的解依次是{}.R ;2R ;21⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈><a b x x x x x x x x 但或02<++c bx ax 的解依次是{}.;;21∅∅<<x x x x深化将实际问题转化为数学问题的过程与方法，培养学生探究解决问题的方法、思路与策略，提高学生应用所学知识解决问题的能力。
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一、知识与技能
1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；
2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；
3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；
4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；
2.培养学生分析问题和解决问题的能力；
3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.
1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.
［例题剖析］ 例1解下列不等式
（1）022<--x x （2）01652<-+-x x
（3）0122<-+-x x （4）0962≤+-x x
（5）01062≤++x x （6）0222<---x x 课本80页练习
例2已知不等式022>++c x ax 的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
<<-2131|x x 试解不等式022>-+-a x cx
变式：
已知的大小
）与（）比较（的值）求（的正负
）确定（）
的解集是（）（且)7(f 5f 3a
b -
c 2a 14,20f ,)(2-<++=x c bx ax x f。