2019沈阳市高三监测三 (理科数学)(含答案)

2019
一、选择题：
1. 已知i为虚数单位，则2019
3
2i
i
i
i+
+
+
+ 等于(
A.i
B.1
C.i-
2. 已知集合()
{}N
y
x
y
x
y
x
A∈
≤
+
=,
,2
|
,，则A
A．1 B．5 C．6
3. “
3
3
=
k”是“直线l：)2
(+
=x
k
y与圆1
2
2=
+y
x
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.
4. 若非零向量b
a,=()
20
a b b
+∙=，则a
A.
6
π
B.
3
π
C.
6
5π
5.已知数列{}n a是等差数列，且1472
a a aπ
++=，则
A B．C
6. 我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、
《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,
中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10
内容,则所选2
A.
14
15
B.
1
15
C.
7. 设
2018
log
a=
2019
log
b=
1
2019
2018
c=，则a，b，c的大小关系是( )
A.a b c
>>B.a c b
>>C.c a b
>>D.c b
>>
8. 已知函数()x e
x
A
x
f-
⋅
+
=ϕ
ω
sin
)
((0,
Aω
>>
取值为( )
A.
2
π
B. π
9. 已知函数f(x)＝x3－2x＋1+e x－
1
e x，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a
2)≤2，则实数a的
取值范围是( )A.⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
3
1-，B. ⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
1
2
3
-，C . ⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2
1
1-，D. ⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
1
2
1
-，
10. 如图，在正四棱柱
1111
ABCD A BC D
-中，底面边长为2，直线
1
CC与平面
1
ACD所
成角的正弦值为
1
3
，则正四棱柱的高为()
A.2
B.3
C.4
D.5
11. 已知F是双曲线()
22
22
:10,0
x y
C a b
a b
-=>>的右焦点，过点F作垂直于x轴的直
线交该双曲线的一条渐近线于点M，若2
FM a
=，记该双曲线的离心率为e，则2e=( )
A B C D
12.已知函数()
()
,0
2
1,0
x
x
m
e mx x
f x
e x x
-
ì
++<
ï
=í
ï-?
ïî
(e为自然对数的底)，若方程()()0
f x f x
-+=有
且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是( )
A．()
0,e B．()
,e+?C．()
0,2e D．()
2,e+?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知球O的内接圆锥体积为
2π
3，其底面半径为1，则球O的表面积为______．
14. 若
sin
a xdx
π
=⎰，则
9
a
x
⎛
-
⎝
的展开式中常数项为____________.
15.已知椭圆()
22
22
:10
x y
C a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
12
,F F，P为椭圆C上一点，且
123
F PF
p
?，若
1
F关于
12
F PF
Ð平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．
16. 数列{}n a的前n项和为n S，且1
2-
=n
n
S，则数列6
7
2+
-
=
n
n
n
a
a
b的最小值为 .
三、解答题：
17.(本小题满分12分)
在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、，且满足(
)
2
222
b c a b c a -+=(其中c b ≠) (I)求证：A =2B ;
(II)若x x x f cos sin )(+=，求)(B f 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元：
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)
(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； (2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？
19.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为
PC 上的点，且BE ⊥平面APC
(Ⅰ)求证：平面PAD ⊥平面PBC ；
(Ⅱ)当三棱锥P ABC -体积最大时，求二面角B AC P --的大小；
20.(本小题满分12分)
已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，()
02,M y -是C 上一点，且2MF =. (Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)过点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 两点作抛物线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，点P 关于直线AB 的对称点Q ，判断四边形P AQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由. 21.(本小题满分12分) 已知()x ae x x f x ln 2
12
-+=． (I)
设2
1
=
x 是()x f 的极值点，求实数a 的值，并求()x f 的单调区间； (II)当0>a 时，求证：()2
1
>x f ．
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l 的参数方程为242
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)，
直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点.
(Ⅰ)
写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若,,PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲 已知函数()|1||1|f x m x x =---+． (I)当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
(Ⅱ)若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．
2019沈阳市高中三年级教学质量监测(三)
数学试题参考答案(理科)
命题：张茜 吴哲 李曙光 王海涛 李刚 孙昕 审题 王恩宾 考生须知：
1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.
3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.
4. 考试结束，只需上交答题卡.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D ；
2.C ；
3. A ；
4.D ；
5.A ；
6.A ；
7.C ；
8.B ；
9. C ；10.C ；11.A ；12.D . 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
25π4；14. 672；
16.6-. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
17.(本小题满分12分)
解析：(I )由已知，两边同时除以abc 2，
得()
abc b c a b abc c a 222
222-+=...........................................................2分 化简，得ac
b c a b a 222
22-+=. 由正弦定理和余弦定理，得B B
cos sin 2sinA
=..............................4分
解得，B B B A 2sin cos sin 2sin ==
所以B A 2=或π=+B A 2
又因为c b ≠，所以B A 2=........................................................6分 (II )由⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
+=4sin 2cos sin )(πx x x x f ，
得⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
4sin 2)(πB B f .........................................................8分
由⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=<<=<<<π
πππ
B C B A B 30200，解得30π<<B ...........................10分
所以
12
74
4
π
π
π
<
+
<B
，所以1()f B <≤分
18.(本小题满分12分)
解析：(1)设事件A 为“顾客获得半价”，则()321344432
P A =
⋅⋅=，....................2分 所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：2
291831321024
P ⎛⎫
=-= ⎪
⎝⎭.....................4分 (2)若选择方案一，则付款金额为32050270-=. ...................5分 若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为160,224,256,320............6分
()316032
P X ==
， ()32332112113
22444444444432P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，
()32312312113
25644444444432P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，
()1233
32044432P X ==⋅⋅=，.........................................................................................10分
313133
16022425632024032323232
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.
所以方案二更为划算.................................................... .............. .............. .......................12分
19.(本小题满分12分)
(1)证明：侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB
底面=ABCD AB ，四边形ABCD 为正方
形，,BC AB BC ∴⊥⊂面ABCD ，BC ∴⊥面PAB ，------------------------------------2分
又AP ⊂面PAB ，AP BC ∴⊥， -----------------------------------3分
BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，AP BE ∴⊥， -----------------------------------4分
,,BC BE B BC BE =⊂平面PBC ，AP ∴⊥面PBC ， ----------------------------------5分
AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC . ----------------------------------6分
(2)111
323
P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==
⨯⨯⨯⨯=⨯⨯， 求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值.
令,PA x PB y ==，由(1)知，PA PB ⊥，224x y ∴+=， 而22112
3323
P ABC
x y V xy -+=≤⨯=，
当且仅当x y =
，即PA PB =
P ABC V -的最大值 为2
3
. --------------------------8分
如图所示，分别取线段AB ，CD 中点,O F ，连接,OP OF ，
以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y
轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．
由已知()0,1,0A -，()0,1,2C ，()1,0,0P ， 所以()1,1,0AP =，()0,2,2AC =， 令(),,n x y z =为面PAC 的一个法向量， 则有0
220
x y y z +=⎧⎨
+=⎩，()1,1,1n ∴=- -------------------------10分
易知()1,0,0m =为面ABC 的一个法向量 令面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角
则1cos 3
n m
n m
θ⋅=
=
=⋅θ∴= ----------------------------------12分
20.(本小题满分12分)
解析：(Ⅰ)解：根据题意知，，①因为，所以.②
联立①②解得，.
所以抛物线的方程为. .. .............................................................4分
(Ⅱ)四边形存在外接圆.
设直线方程为，代入中，得，
设点，，则()
2
1610k D=+>，，
且
，
. .. .............................................................6分
所以
，
因为
，即
，所以
.
因此，切线的斜率为，切线的斜率为......................................8分
由于，所以，即△是直角三角形，
所以△的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，
所以点一定在△的外接圆上，即四边形存在外接圆. ...................................10分 又因为
，所以当
时，线段
最短，最短长度为，
此时圆的面积最小，最小面积为.......................................................................................12分
21.(本小题满分12分)
解析：
(I )由题意，函数()x f 的定义域为()∞+，
0，
又由()x ae x x f x
1-
+='，且2
1
=x 是函数()x f 的极值点， 所以0221
2121
=-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛'ae f ，解得e e a 23=，.......................2分
又0>a 时，在()∞+，0上，()x f '是增函数，且021=⎪⎭
⎫
⎝⎛'f ， 所以()0>'x f ，得21>
x ，()0<'x f ，得2
10<<x ， 所以函数()x f 的单调递增区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+，21
，单调递减区间为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
210，..........5分
(II )由(I )知因为，在上，是增函数，
又(且当自变量逐渐趋向于时，趋向于
)，
所以，，使得
，.......................8分
所以，即，............................9分
在上，，函数是减函数，
在上，
，函数
是增函数，
所以，当时，取得极小值，也是最小值，
所以，...11分
令，
则，
当
时，，函数
单调递减，所以
，
即()min 1
()2
f x f x ≥>
成立....................................12分
(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程选讲
解：⑴ 曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>，——————————2分 直线l 的普通方程为20x y --=——————————4分
（2）直线l 的参数方程与曲线C
的直角坐标方程联立，得)()24840t a t a -+++=，
()840a a ∆=+>，点,M N 分别对应参数12,t t 恰为上述方程的两实根，
)124t t a +=+，()1284t t a =+，——————————6分
由已知1212,,PM t PN t MN t t ===-，由已知,,PM MN PN 成等比数列， 由此得2
12
12t t t t -=，()2
1212124t t t t t t +-=，
代入得)
()
()()2
448484a a a +-⨯+=+ ——————————8分
解得1a =或4a =-，01a a >∴= ———————10分
23.(本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲
解：(1)当5m =时，52,1,()3,11,
52, 1.x x f x x x x +<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
————————————2分 由()2f x >得不等式的解集为3
3|2
2x x ⎧⎫
-
<<⎨⎬⎩
⎭
． ————————————4分 (2)由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，——6分
因为2,1,()2,11,2,1,m x x f x m x m x x +<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪->⎩
在1x =-处取得最大值2m -， ———————8分
所以要使二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，
只需22m -≥，即4m ≥. ————————————10分。