北京市昌平区 2017-2018 学年九年级上学期期末数学试题含答案

北京市昌平区 2017-2018 学年九年级上学期期末考
试试题含答案
一、选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
1.已知∠A为锐角，且sinA=，那么∠A 等于（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由∠A为锐角，且sinA=，得
∠A=45°，
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．长方体D．球体
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．
故选：A．
【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
3.如图，点 B 是反比例函数 y=（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B 作
BA⊥x 轴于点 A，BC⊥y 轴于点 C，矩形 AOCB 的面积为 6，则 k 的值为（）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【分析】可根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义得到 k 的值．
【解答】解：因为矩形AOCB 的面积为6，
所以 k 的值为 6，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】由⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC 的度数．
【解答】解：∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°．
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5.将二次函数 y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的
是（）
A．y=（x﹣6）2+5B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9
【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，故选：
C．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
6.如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，点 B 的对应点为点 E，点 A 的对应点为
点D，当点E 恰好落在边AC 上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC 的度数是（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】由旋转性质知△ABC∽△DEC，据此得∠ACB=∠DCE=30°、AC=DC，继而可得答案．
【解答】解：由题意知△ABC∽△DEC，
则∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC===75°，
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
7.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径
AB的延长线于点 D，若∠A=25°，则∠D的度数是（）
A．25°B．40°C．50°D．65°
【分析】连接 OC．由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠DOC=50°，接下来，由切线的性质可证明∠OCD=90°，最后在△OCD 中依据三角形内角和定理可求得∠D 的度数．
【解答】解：连接 OC．
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=25°．
∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°．
∵CD 是⊙的切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠D=180°﹣90°﹣50°=40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC 和∠OCD 的度数是解题的关键．
8.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50 米折返跑．在整个过程中，跑步
者距起跑线的距离y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关系如下图所示．下列叙述正确的是（）
A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C.小苏在跑最后 100m 的过程中，与小林相遇 2 次
D.小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程
【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前 15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．
【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故 A 错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故 B 错误；
小林在跑最后 100m 的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知 1 次，故 C 错误；
根据图象小苏前 15s 跑过的路程小于小林前 15s 跑过的路程，故 D 正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
9.请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y=﹣．
【分析】根据反比例函数的性质可得 k＜0，写一个 k＜0 的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，
∴y=﹣，
故答案为：y=﹣．
【点评】此题主要考查了反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，点 B 的坐标分别为（0，2），（﹣1，
0），将线段 AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），
则点A的对应点 A'的坐标为（3，2）．
【分析】根据平移的性质即可得到结论．
【解答】解：∵将线段 AB 沿 x 轴的正方向平移，若点 B 的对应点 B′的坐标为（2，0），
∵﹣1+3=2，
∴0+3=3
∴A′（3，2），
故答案为：（3，2）
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．
11.如图，PA，PB分别与⊙O相切于 A、B两点，点 C为劣弧 AB上任意一点，过
点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP=8，则△PDE的周长为16
．
【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；
【解答】解：∵DA、DC、EB、EC 分别是⊙O 的切线，
∴DA=DC，EB=EC；
∴DE=DA+EB，
∴PD+PE+DE=PD+DA+PE+BE=PA+PB，
∵PA、PB 分别是⊙O 的切线，
∴PA=PB=8，
∴△PDE 的周长
=16．故答案为：16
【点评】该命题以圆为载体，以考查切线的性质、切线长定理及其应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．12.抛物线 y=x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为直线
x=1 ．
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（0，3）和 B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x==1．
故答案为：直线 x=1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关系是解答此题的关键．
13.如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为π
．
【分析】求出圆心角∠AOB 的度数，再利用弧长公式解答即可．
【解答】解：如图，连接 OA、OB，
∵ABCDEF 为正六边形，
∴∠AOB=360°×=60°，
的长为=
π．故答案为：π
【点评】本题主要考查正多边形的性质和弧长公式，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
14.如图，在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点 D 是 AC 边上一
点，将△BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在 AB 边的 E 点，那么 AE 的长度是4 ．
【分析】由勾股定理可知AB=10，由折叠的性质得 BE=BC=6，再由线段的和差
关系即可求解．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知AB=
=10．由折叠的性质得：BE=BC=6，
则 AE=AB﹣BE=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等．
15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△CDE 可以看作是△AOB 经过若干次图形
的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB 得到△CDE 的过程：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°，再沿 x 轴向右平移一个单位．
【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD 得到△AOB 的过程．【解答】解：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°，再沿 x 轴向右平移一个单位得到△CDE，
故答案为：将△AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°，再沿 x 轴向右平移一个单位
【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
16.阅读以下作图过程：
第一步：在数轴上，点 O 表示数 0，点 A 表示数 1，点 B 表示数 5，以 AB 为直径作半圆（如图）；
第二步：以 B 点为圆心，1 为半径作弧交半圆于点 C（如图）；
第三步：以 A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点 M．
请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为+1 ．
【分析】按照要求作图即可得点 M，连接 AC、BC，由题意知 AB=4、BC=1、∠ACB=90°，从而可得AM=AC==，继而可得答案．
【解答】解：如图，点 M 即为所求，
连接 AC、BC，
由题意知，AB=4、BC=1，
∵AB 为圆的直径，
∴∠ACB=90°，
则AM=AC===，
∴点 M表示的数为+1，
故答案为： +1．
【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理．
三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）
17．（5 分）计算：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°．
【分析】根据解特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：2sin30°﹣tan60°+cos60°﹣tan45°
=
=．
【点评】考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（5 分）二次函数图象上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式 y=a（x+1）2﹣4，然后把点（0，3）代入求出 a 即可；（2）利用描点法画二次函数图象．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设
二次函数的解析式为：y=a（x+1）2﹣4，
把点（0，3）代入 y=a（x+1）2﹣4 得 a=1
∴抛物线解析式为 y=（x+1）2﹣4；
（2）如图所示：
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
19．（5 分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D．AC=10，cosA=，求 BC 的长．
【分析】先在 Rt△ABD 中利用 cosA 的定义可计算出 AD 的长，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AC=AB，AB=10，
∴AC=10．
在 Rt△ABD 中
∵cosA==，
∴AD=8，
∴DC=2．
∴．
∴．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
20．（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，连接 AC，BC．（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）若 AB=10，CD=8，求 BE 的长．
【分析】（1）根据等弧对等角证明即可；
（2）连接OC，根据垂径定理得到CE=DE=CD=4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算 OB﹣OE 即可．
【解答】（1）证明：∵直径 AB⊥弦 CD，
∴弧 BC=弧 BD．
∴∠A=∠BCD；
（2）连接 OC
∵直径 AB⊥弦 CD，CD=8，
∴CE=ED=4．
∵直径 AB=10，
∴CO=OB=5．
在 Rt△COE 中，∵OC=5，CE=4，
∴OE==3，
∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．
21．（5 分）尺规作图：如图，AC 为⊙O 的直径．
（1）求作：⊙O 的内接正方形 ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）当直径 AC=4 时，求这个正方形的边长．
【分析】（1）过点 O 作出直径 AC 的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形 ABCD 的边长．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵直径 AC=4，
∴OA=OB=2．
∵正方形 ABCD 为⊙O 的内接正方形，
∴∠AOB=90°，
∴．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及正多边形和圆，正确掌握正方形的性质是解题关键．
22．（5 分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点 D 用高 1.5 米的测角仪DA 测得塔顶 M 的仰角为 30°，然后沿 DF 方向前行 40m 到达点 E 处，在 E 处测得塔顶 M 的仰角为 60°．请根据他们的测量数据求此塔 MF 的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【分析】首先证明 AB=BM=40，在 Rt△BCM 中，利用勾股定理求出 CM 即可解决问题；
【解答】解：由题意：AB=40，CF=1.5，∠MAC=30°，∠MBC=60°，
∵∠MAC=30°，∠MBC=60°，
∴∠AMB=30°
∴∠AMB=∠MAB
∴AB=MB=40，
在 Rt△BCM 中，
∵∠MCB=90°，∠MBC=60°，
∴∠BMC=30°．
∴BC==20，
∴，
∴MC≈34.64，
∴MF=CF+CM=36.14≈36.1．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明 AB=BM=40，属于中考常考题型．
四、解答题（共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分）
23．（6 分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当
水面的宽度为 10m 时，桥洞与水
面的最大距离是 5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是方案二（填方案一，方案二，或方案三），则 B 点坐标是（10，0），求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为 6m，求水面上涨的高度．
【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点 B 的坐标即可；（2）根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B 坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式，再根据题意可知水面宽度变为 6m 时 x=2 或 x=8，据此求得对应 y 的值即可得．
【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B 的坐标为（10，0），
故答案为：方案二，（10，0）；
（2）由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），设抛物线解析式为 y=a（x﹣5）2+5，
把点（0，0）代入得：
0=a（0﹣5）2+5，即a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣5）2+5，
由题意知，当x=5﹣3=2 时，﹣（x﹣5）2+5= ，
所以水面上涨的高度为米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．24．（6 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C、F 为⊙O 上两点，且点 C 为弧 BF 的中点，过点 C 作 AF 的垂线，交 AF 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点D．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）如果半径的长为3，tanD=，求 AE的长．
【分析】（1）连接 OC，如图，由弧 BC=弧 CF 得到∠BAC=∠FAC，加上∠OCA= ∠OAC．则∠OCA=∠FAC，所以 OC∥AE，从而得到 OC⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先在 Rt△OCD 中利用正切定义计算出 CD=4，再利用勾股定理计算出OD=5，则sinD=，然后在Rt△ADE 中利用正弦的定义可求出 AE的长．【解答】（1）证明：连接 OC，如图，
∵点 C 为弧 BF 的中点，
∴弧 BC=弧 CF．
∴∠BAC=∠FAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠OCA=∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：在Rt△OCD中，∵tanD==，OC=3，
∴CD=4，
∴OD==5，
∴AD=OD+AO=8，
在Rt△ADE中，∵sinD===，
∴AE=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
25．（6 分）小明根据学习函数的经验，对函数 y=x4﹣5x2+4 的图象与性质进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）自变量 x 的取值范围是全体实数，x 与 y 的几组对应数值如下表：
…0 1 2
其中 m=；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于 y轴对称；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程 x4﹣5x2+4=0 有 4 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当 x2＞x1＞2 时，比较 y1 和
y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“=”）；
③若关于 x 的方程 x4﹣5x2+4=a 有 4 个互不相等的实数根，则 a 的取值范围是
．
【分析】（1）观察对应数值表即可得出；
（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；
（3）观察函数图象，即可求得．
【解答】解：（1）观察对应数值表可知：m=0，
（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：
（3）观察函数图象，发现该函数图象关于 y 轴对称，（答案不唯一），
故答案为：函数图象关于 y 轴对称；
（4）①∵函数的图象与 x 轴有 4 个交点，∴方程 x4﹣5x2+4=0 有 4 互不相等的实数根，
故答案为 4；
②函数图象可知，当x2＞x1＞2 时，y1＜y2；
故答案为＜；
③观察函数图象，结合对应数值表可知：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．
26．（6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与 y轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B 顶点为 C 点．
（1）求点 A 和点 B 的坐标；
（2）若∠ACB=45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2），与直线 AB 交于点 N（x3，y3），若 x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接
写出 x1+x2+x3 的取值范围为．
【分析】（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；
（2）确定点 C 坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）如图，当直线 l 在直线 l1与直线 l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线 l 经过点 A 、点 C 时的 x1+x3+x2 的值即可解决问题；
【解答】解：（1）∵抛物线 y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与 y 轴交于点 A，
∴点 A 的坐标为（0，﹣3）；
∵抛物线 y=mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线 x=1，
∴点 B 的坐标为（1，0）．
（2）∵∠ACB=45°，
∴点 C 的坐标为（1，﹣4），
把点 C 代入抛物线 y=mx2﹣2mx﹣3
得出 m=1，
∴抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3．
（3）如图，
当直线l1 经过点A 时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，
当直线 l2 经过点 C 时，直线 AB 的解析式为 y=3x﹣3，
∵C（1，﹣4），
∴y=﹣4 时，x=﹣
此时，x1=x2=1，x3=﹣，此时x1+x3+x2=，
当直线 l 在直线 l1与直线 l2之间时，x3＜x1＜
x2
∴．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，解答（3）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度．
五、解答题（共 2 道小题，每小题 7 分，共 14 分）
27．（7 分）已知，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D 为 BC 边上的一点．（1）以点 C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转 90°，得到△BCE，请你画出旋转后的图形；
（2）延长 AD 交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE；
（3）若AC=，BF=1，连接CF，则 CF的长度为．
【分析】（1）直接利用旋转的性质即可得出结论；
（2）先判断出△CBE≌△CAD，得出∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，即可得出结论；
（3）先利用相似三角形的性质求出BD= x，CD=（3﹣x），用BC=BD+CD= ，建立方程求出BD=，CD= ，∴BD=CD，再利用三角形
的面积求出CM=1，进而根据勾股定理得，AM=2，再△AMC∽△BNF，
求出FN= ，BN= ，∴DN=BD﹣BN= ，得出CN=CD+DN= ，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）如图 1，△BCE 即为所求；
（2）证明：如图 2，
∵△CBE 由△CAD 旋转得到，
∴△CBE≌△CAD，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠CBE+∠E=∠CAD+∠E，
∴∠BCE=∠AFE=90°，
∴AF⊥BE；
（3）如图3，在Rt△ABC中，BC=AC=，
∴AB=AC=，
在 Rt△ABF 中，根据勾股定理得，AF=3，
设 AD=x，
∴DF=3﹣x，
由旋转知，CE=CD，BE=AD=x
由（2）知，∠BFD=90°=∠BCE，
∵∠B=∠B，
∴△BFD∽△BCE，
∴，
∴= ，
∴BD= x，CD=（3﹣x），
∵BC=BD+CD=，
∴x+ （3﹣x）= ，
∴x=，
∴BD=，CD=，
过点 C 作 CM⊥AD 于 M，
∴S△ACD=AC×CD=AD×CM，
∴CM==1，
在 Rt△AMC 中，根据勾股定理得，AM=2，过点 F 作 FN⊥BC 于 N，
∴∠BNF=90°=∠AMC，
由旋转知，∠CAM=∠FBN，
∴△AMC∽△BNF，
∴=，
∴= ，∴
FN= ，BN= ，
∴DN=BD﹣BN= ，
∴CN=CD+DN= ，
在 Rt△CNF中，CF==
故答案为：．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出 BD，CD 的值．
28．（7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，给出如下定义：记点 P 到 x 轴的距离为 d1，到 y 轴的距离为 d2，若 d1≥d2，则称 d1 为点 P 的最大距离；
若
d1＜d2，则称 d2 为点 P 的最大距离．
例如：点 P（﹣3，4）到到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，因为 3＜4，所以点 P 的最大距离为 4．
（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5 ；
②若点B（a，2）的最大距离为 5，则 a的值为±5 ；
（2）若点 C 在直线 y=﹣x﹣2 上，且点 C 的最大距离为 5，求点 C 的坐标；
（3）若⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，直接写出⊙O 的半径 r 的取
值范围．
【分析】（1）①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最大距离”；
②点 B（a，2）到 x 轴的距离为 2，且其“最大距离”为 5，所以 a=±5；（2）根据点 C 的“最大距离”为 5，可得 x=±5 或 y=±5，代入可得结果；（3）如图，观察图象可知：当⊙O 于直线 x=5，直线 x=﹣5，直线 y=5，直线y=﹣5 有交点时，⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，
【解答】解：（1）①∵点 A（2，﹣5）到 x 轴的距离为 5，到 y 轴的距离为 2，∵2＜5，
∴点 A 的“最大距离”为 5．
②∵点 B（a，2）的“最大距离”为 5，
∴a=±5；
故答案为 5，±5．
（2）设点 C 的坐标（x，y），
∵点 C 的“最大距离”为 5，
∴x=±5 或y=±5，
当x=5 时，y=﹣7，
当x=﹣5 时，y=3，
当 y=5 时，x=﹣7，
当 y=﹣5 时，x=3，
∴点 C（﹣5，3）或（3，﹣5）．
（3）如图，观察图象可知：当⊙O 于直线 x=5，直线 x=﹣5，直线 y=5，直线y=﹣5 有交点时，⊙O 上存在点 M，使点 M 的最大距离为 5，
∴．
【点评】本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。